楊世文，范志瑞

（中北大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，山西 太原 030051）

DMO方法及BCP方法對碳纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化結(jié)果影響的對比分析

楊世文，范志瑞

（中北大學(xué)機械與動力工程學(xué)院，山西 太原 030051）

DMO方法和BCP方法是碳纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中常采用的鋪層角度參數(shù)化方法。不同的參數(shù)化方法對優(yōu)化結(jié)果有很大的影響，合理的參數(shù)化方法選擇對實際工程優(yōu)化具有重要意義。本文結(jié)合算例，從收斂速率、收斂率以及編碼依賴性三個方面進行對比，分析了此兩種方法對拓撲優(yōu)化結(jié)果的影響，以對工程實際設(shè)計優(yōu)化進行理論性指導(dǎo)。

碳纖維復(fù)合材料；拓撲優(yōu)化；DMO方法；BCP方法

CLC NO.: TB330.1 Document Code: A Article ID: 1671-7988(2015)06-118-04

前言

碳纖維復(fù)合材料因其具有較高的比剛度、比強度、耐高溫及抗腐蝕性等優(yōu)良的特性而被廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶及汽車等領(lǐng)域[1][2]。在汽車領(lǐng)域內(nèi)，隨著節(jié)能環(huán)保、低碳等理念的日益深入，輕量化設(shè)計的需求日益迫切。據(jù)可靠數(shù)據(jù)統(tǒng)計，每一代新車型的推出，其質(zhì)量都會比原來下降10%左右。然而，隨著汽車設(shè)計優(yōu)化技術(shù)的不斷發(fā)展，采用傳統(tǒng)材料所帶來的輕量化的空間越來越小。近年來，隨著碳纖維制造工藝不斷進步，其在汽車上的應(yīng)用越來越廣泛。從碳纖維復(fù)合材料與傳統(tǒng)材料的對比中可得，采用碳纖維復(fù)合材料對傳統(tǒng)材料替換后的車身質(zhì)量可比原來下降30%～50%。因此，碳纖維復(fù)合材料在汽車中的應(yīng)用極具潛力。

傳統(tǒng)的碳纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)優(yōu)化中，主要采用遺傳算法、蟻群算法等啟發(fā)式優(yōu)化算法。例如：文獻[3]以最大化屈曲載荷為目標(biāo)，采用遺傳算法對帶加強筋碳纖維復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化；文獻[4]以結(jié)構(gòu)的質(zhì)量為目標(biāo)，采用蟻群算法對碳纖維復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化。

由于啟發(fā)式優(yōu)化算法大多采用隨機搜索策略，其尋優(yōu)效率較低。為了獲得較理想的優(yōu)化結(jié)果，通常需要成千上萬次迭代，因此實際優(yōu)化中會造成巨大的計算成本。針對于此，諸多學(xué)者提出了碳纖維復(fù)合材料拓撲優(yōu)化的相關(guān)理論。

設(shè)計變量的參數(shù)化是拓撲優(yōu)化首要解決的問題。參數(shù)化包含鋪層層數(shù)的參數(shù)化和鋪層角度參數(shù)化兩個方面。鋪層層數(shù)參數(shù)化可采用傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化中的SIMP法[5]及RAMP法[6]，以0和1來表征材料的有無。鋪層角度參數(shù)化是區(qū)別于傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化的最大不同，也是碳纖維復(fù)合材料拓撲優(yōu)化研究的重點之一。

在實際的優(yōu)化中，可將不用的鋪層角度視為不同的材料。基于此，Sigmund[7][8]基于傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化理論提出了兩項材料插值模型。該方法采用一個設(shè)計變量來控制單元選擇其中一種材料。然而，實際工程中鋪層角度不僅限于兩種，因此Lund教授提出了離散材料優(yōu)化（DMO）方法[9][10][11]。同時，張衛(wèi)紅教授針對此問題提出了雙值參數(shù)化（BCP）方法[12]。

DMO方法和BCP方法是碳纖維復(fù)合材料拓撲優(yōu)化中常采用的兩種方法。不同的鋪層角度參數(shù)化方法對優(yōu)化的效率及優(yōu)化的結(jié)果有很大的影響。本文在對此兩種方法作簡要介紹的基礎(chǔ)上，通過實際算例對兩種方法的收斂速率、收斂率以及編碼依賴性等方面進行對比，并闡述兩種方法的優(yōu)劣，以對實際工程設(shè)計及優(yōu)化進行指導(dǎo)。

1、DMO方法及BCP方法概述

DMO方法和BCP方法均是基于多材料拓撲理論發(fā)展而來的。在備選角度數(shù)目相同的情況下，BCP方法采用的設(shè)計變量的數(shù)目較少。

1.1 DMO方法概述

DMO方法是對兩相材料插值模型的拓展，因此它是廣義的多材料插值模型。該方法中各單元內(nèi)材料的取值通過設(shè)計變量的插值得到。插值的數(shù)學(xué)表達式如下：

其中：i表示第i個單元；j表示第j種材料； n表示備選材料的數(shù)目；為第i個單元的彈性矩陣；ωi,j為第i個單元第j種材料的權(quán)重；Di,j表示第i個單元第j種材料所對應(yīng)的單元彈性矩陣。

該方法中一種備選角度（即備選材料）需對應(yīng)一個設(shè)計變量。當(dāng)單元總數(shù)為N時，設(shè)計變量的總數(shù)為N×n。與傳統(tǒng)的拓撲優(yōu)化類似，設(shè)計變量可取0和1之間的值。為了使得優(yōu)化過程中得到明晰的材料分布，也即使得設(shè)計變量的取值趨向于0或1，在權(quán)重表達式中引入了懲罰系數(shù)。此時，帶懲罰指數(shù)的材料插值表達式為：

其中，xi,j為第i個單元第j中備選角度的人工密度；p為懲罰系數(shù)。

由于在實際優(yōu)化中，（2）式所采用的插值模型難以將設(shè)計變量0/1化，且各設(shè)計變量不關(guān)聯(lián)。因此文獻[9]對該插值模型進行了改進。改進后的插值表達式如下：

采用（3）式進行材料插值時，會造成材料的權(quán)重系數(shù)和不為1，因此需對材料的權(quán)重進行歸一化處理。此時，材料的插值表達式為：

其中：ωi,j為第i個單元第j中備選材料歸一化后的權(quán)重系數(shù)。

1.2 BCP方法概述

如式（5）所示，m種備選角度可視為m種材料，各單元由鋪層角度決定的材料彈性矩陣通過各備選鋪層角度所決定的材料彈性矩陣加權(quán)得到。

其中：i為單元編號；j為備選角度編號；D為由鋪層角度決定的材料彈性矩陣；m為備選角度的數(shù)量；ω為各角度的權(quán)重，其表達式如公式（6）所示。

其中：mv為設(shè)計變量的數(shù)量；xik為設(shè)計變量；p為懲罰指數(shù)；Sjk為一系數(shù)，其表達式如式（7）所示。

設(shè)計變量數(shù)目mv與備選角度數(shù)量m的關(guān)系如式（8）所示。

由式（8）可知，用m個設(shè)計變量即可表示m=[2(mv?1)+1,2mv]

v種備選角度。式（6）中的懲罰指數(shù)p可對中間密度進行懲罰，驅(qū)使設(shè)計變量向其邊界靠近。例如，當(dāng)m=4時需要2個設(shè)計變量對備選角度進行編碼，系數(shù)Sjk的取值如表1所示。

2、DMO方法與BCP方法收斂速率及收斂率的對比

為了更好的描述兩種方法的對比，引入收斂速率和收斂率兩個概念。收斂速率表征優(yōu)化進程收斂的快慢，采用當(dāng)優(yōu)化進程達到收斂條件時所需的迭代次數(shù)來描述。由于優(yōu)化過程中對設(shè)計變量進行松弛，當(dāng)優(yōu)化目標(biāo)對設(shè)計變量的導(dǎo)數(shù)不敏感時，最終優(yōu)化結(jié)果中會存在設(shè)計變量不趨向于0或1的情況。在此引入收斂率來對優(yōu)化結(jié)果的收斂狀況進行評定，其表達式如下：

其中：N為單元的總數(shù)；Ns為收斂時設(shè)計變量取值為0或1的單元的數(shù)目。

2.1 算例描述

分別基于DMO方法 和BCP 方法對MBB 梁的鋪層角度進行優(yōu)化。由于結(jié)構(gòu)對稱，故只需選取結(jié)構(gòu)的右半部分進行優(yōu)化。其右半部分的幾何尺寸、載荷及邊界條件如圖1所示。平板的厚取1mm。為了便于比較，結(jié)構(gòu)的鋪層層數(shù)為1。該結(jié)構(gòu)被20×20 的正方形網(wǎng)格離散為400 個單元。材料的屬性如表2所示：

2.2 算例結(jié)果及分析

以最小化結(jié)構(gòu)柔順度為目標(biāo)，分別基于DMO方法和BCP方法對鋪層角度進行參數(shù)化，并采用序列二次規(guī)劃法對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化。優(yōu)化過程中，DMO方法和BCP方法所采用的懲罰指數(shù)均為2，此兩種方法的優(yōu)化初始變量取值分別為0和0.5。優(yōu)化終止條件為兩次臨近迭代的設(shè)計變量取值之差小于或等于0.001。優(yōu)化進程結(jié)束時，平板各單元鋪層角度的分布圖如圖2、3所示。收斂過程如圖4所示。

由圖2和圖3的對比中可得，采用BCP方法所得優(yōu)化結(jié)果中可以確定的單元鋪層角度的數(shù)量多于DMO方法，即采用BCP方法對鋪層角度進行參數(shù)化時，優(yōu)化的收斂率較高。算例中采用DMO方法所得優(yōu)化結(jié)果的收斂率為94.5%，而采用BCP方法所得優(yōu)化結(jié)果的收斂率為98.5。

由圖4可得，當(dāng)?shù)^程終止時BCP方法所需的迭代次數(shù)為12步，而采用DMO方法所需的迭代次數(shù)為19步。并且采用BCP方法所得結(jié)構(gòu)的柔順度要小于DMO方法。因此采用BCP方法所得結(jié)構(gòu)的性能較好。

3、BCP方法編碼依賴性分析

采用BCP方法時，則需要一組設(shè)計變量來描述一種備選材料。當(dāng)設(shè)計變量與備選材料采用不同的映射關(guān)系時，可能會得到不同的優(yōu)化結(jié)果。

3.1 算例描述

結(jié)構(gòu)的幾何尺寸及邊界條件如圖5所示。平板的鋪層層數(shù)為7。單一鋪層的厚度為0.25mm。各個鋪層的材料屬性如表2所示。為了說明BCP方法對編碼的依賴性，算例中分別采用兩種編碼方式對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化。變量取值與備選材料的映射關(guān)系如表3、表4所示。

3.2 算例結(jié)果及分析

以最小化結(jié)構(gòu)柔順度為目標(biāo)，分別采用兩種編碼方式對鋪層角度進行參數(shù)化，并采用序列二次規(guī)劃法對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化。優(yōu)化中懲罰指數(shù)取值為2。設(shè)計變量的初值為0.5。優(yōu)化終止條件為兩次臨近迭代的設(shè)計變量取值之差小于或等于0.001。采用兩種編碼方式進行優(yōu)化時的收斂過程如圖6所示。

由圖6可得，采用第一種映射關(guān)系，經(jīng)過16步迭代后優(yōu)化進程終止。而采用第二種映射關(guān)系時，優(yōu)化收斂出現(xiàn)了震蕩。優(yōu)化變量取值在不用取值之間不停跳動，以至于優(yōu)化進程無法收斂。因此，采用BCP方法對備選鋪層角度進行參數(shù)時，該方法對編碼方式具有很強的依賴性。

4、結(jié)論

本文對碳纖維復(fù)合材料結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化中常采用的兩種鋪層角度參數(shù)化方法進行了對比，并通過實際算例詳細分析了此兩種方法對優(yōu)化過程的影響。具體結(jié)論總結(jié)如下：

（1）BCP方法與DMO方法相比，參數(shù)化過程中所需變量數(shù)目較少。

（2）在編碼方式選擇合理的情況下，采用BCP方法所需優(yōu)化迭代次數(shù)較少，同時優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的性能也相對較好。

（3）采用BCP方法對鋪層角度進行參數(shù)化時，優(yōu)化結(jié)果對編碼方式具有很強的依賴性。如果編碼方式選擇不當(dāng)，

優(yōu)化結(jié)果不理想，甚至無法得到優(yōu)化結(jié)果。

[1] 李威,郭權(quán)鋒. 碳纖維復(fù)合材料在航天領(lǐng)域的應(yīng)用[J]. 中國光學(xué),2011,03:201-212.

[2] 楊小平,黃智彬,張志勇,楊虎平,周宇君. 實現(xiàn)節(jié)能減排的碳纖維復(fù)合材料應(yīng)用進展[J]. 材料導(dǎo)報,2010,03:1-5+10.

[3] Le Riche R, Haftka R T. Optimization of laminate stacking sequence for buckling load maximization by genetic algorithm [J]. AIAA journal, 1993, 31(5): 951-956.

[4] Wang W, Guo S, Chang N, et al. Optimum buckling design of composite stiffened panels using ant colony algorithm[J]. Composite Structures, 2010, 92(3): 712-719.

[5] Murakami K, Irie N, Tomita S. SIMP (Single Instruction stream/ Multiple instruction Pipelining): a novel high-speed singleprocessor architecture[C]//ACM SIGARCH Computer Architecture News. ACM, 1989, 17(3): 78-85.

[6] Stolpe M, Svanberg K. An alternative interpolation scheme for minimum compliance topology optimization[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2001, 22(2): 116-124.

[7] Sigmund O, Torquato S. Design of materials with extreme thermal expansion using a three-phase topology optimization method[C] //Smart Structures and Materials' 97. International Society for Optics and Photonics, 1997: 52-60.

[8] Sigmund O. Design of multiphysics actuators using topology optimization-Part I: One-material structures[J]. Computer methods in applied mechanics and engineering, 2001, 190(49): 6577-6604.

[9] Lund E, Stegmann J. On structural optimization of composite shell structures using a discrete constitutive parametrization[J]. Wind Energy, 2005, 8(1): 109-124.

[10] Lund E. Buckling topology optimization of laminated multi-ma terial composite shell structures[J]. Composite Structures, 2009, 91(2): 158-167.

[11] Lund E, Kühlmeier L, Stegmann J. Buckling optimization of lamin ated hybrid composite shell structures using discrete material optimization[C]//6th World Congress on Structural and Multidisci plinary optimization. 2005.

[12] Gao T, Zhang W, Duysinx P. A bi-value coding parameterization scheme for the discrete optimal orientation design of the composite laminate[J]. International Journal for Numerical Methods in Engine -ering, 2012, 91(1): 98-114.

Influences analysis of CFRP topology optimization about DMO and BCP method

Yang Shiwen, Fan Zhirui
（School of Mechanical and Power Engineering North University, Shanxi Taiyuan 030051）

DMO and SFP methods are mainly adopted in parameterization of topology optimization for composite laminates. The method of parameterization determines the quality of optimization result and relevance of optimization result to industry. In order to achieve deep understanding of the influence of two methods mentioned above to optimization result, numerical example is carried out to demonstrate differences between two methods in rate of convergence, proportion of convergence and dependence of coding method.

CFRP; Topology optimization; DMO method; BCP method

TB330.1

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