莊金洪

（福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校基礎(chǔ)部，福建福州350012）

交換半環(huán)上上三角矩陣代數(shù)的廣義Jordan導(dǎo)子

莊金洪

（福建商業(yè)高等?？茖W(xué)校基礎(chǔ)部，福建福州350012）

探討了交換半環(huán)上上三角矩陣代數(shù)的廣義Jordan導(dǎo)子的刻畫問題，證明了交換半環(huán)R上的上三角矩陣代數(shù)Tn（R）到Tn（R）-雙模M的每個廣義Jordan導(dǎo)子都可以分解成一個廣義導(dǎo)子和一個反導(dǎo)子之和。

交換半環(huán)；上三角矩陣代數(shù)；廣義Jordan導(dǎo)子；廣義導(dǎo)子；反導(dǎo)子

1　預(yù)備知識

關(guān)于Jordan導(dǎo)子和廣義Jordan導(dǎo)子已經(jīng)有很多研究[1-10]。Herstein[1]證明了定義在特征不等于2的素環(huán)上的每個Jordan導(dǎo)子都是導(dǎo)子；D.Benkovic[2]證明了交換幺環(huán)R上的上三角矩陣代數(shù)Tn（R）到Tn（R）-雙模M的每個Jordan都可以分解成一個導(dǎo)子和一個反導(dǎo)子之和；莊金洪等在文獻(xiàn)[3]中將D.Benkovic的結(jié)論推廣到交換半環(huán)上。邵霞等在文獻(xiàn)[4]中證明了從含單位元的交換環(huán)上的上三角矩陣代數(shù)到其雙模的每個廣義Jodan導(dǎo)子是一個廣義導(dǎo)子和一個反導(dǎo)子的和。那么，對于含有單位元交換半環(huán)R，每個定義在上三角矩陣代數(shù)Tn（R）到Tn（R）-雙模M的廣義Jodan導(dǎo)子是否也可分解成廣義導(dǎo)子和反導(dǎo)子之和？本文旨在研究這個問題，并得到肯定的回答。

定義1[10]設(shè)R是一個非空集合，“+”與“·”是定義在R中的兩個代數(shù)運(yùn)算。如果

（1）（R，+，0）是一個交換幺半群，其中0為R的加法恒等元；

（2）（R，·，1）是一個幺半群，其中1為R的乘法恒等元；

（3）對任意的a，b，c∈R，均有a·（b+c）=a·b+a·c，（a+b)·c=a·c+b·c;

（4）?a∈R，0·a=a·0=0

（5）0≠1。

則稱R為一個半環(huán)，記為（R，+，·，0,1）或簡記為R。其中加法恒等元0稱為半環(huán)R的零元，而乘法恒等元1稱為R的單位元，通常a·b簡記為ab。

半環(huán)R稱為交換半環(huán)，如果?a，b∈R，均有ab=ba。

定義2[10]設(shè)R是一個半環(huán)，（M，+，0M）是一個交換幺半群，若有一個從R×M到M的映射（r，m）→rm，若滿足下列5個條件，對于任意的r，r'∈R;m，m'∈M,均有

（1）r（m+m'）=rm+rm'；

（2）（r+r'）m=rm+r'm；

（3）（rr'）m=r（r'm）;

（4）1Rm=m;

（5）r0M=0M=0Rm;

則稱M為半環(huán)R上的一個左半模，簡稱左R-半模。

類似地，可定義半環(huán)R上的右半模。

設(shè)R和S時半環(huán)，（M，+，0M）是一個交換幺半群。稱（M，+，0M）是一個（R,S）-雙半模，如果M既是一個左R-半模，又是一個右S-半模，且滿足?m∈M，r∈R，s∈S，均有（rm）s=r（ms）

定義3[12]設(shè)R是一個交換半環(huán)，（A,+,·，0,1）是一個半環(huán)。如果（A,+,0）是R上的一個左半模，且滿足?r∈R，x，y∈A，均有r（xy）=（rx）y=x（ry），則稱A是R上的一個代數(shù)。

設(shè)A是R上的一個代數(shù)，A的一個非空集合B稱為A的一個子代數(shù)，如果對任意的b，b'∈B, r∈R,均有b+b'，bb'，rb∈B。

定義4設(shè)A是R上的一個代數(shù)，M是一個A-雙半模，Δ：A→M是A到M的一個映射。如果對于任意a，b∈A，r∈R，均有Δ（a+b）=Δ（a）+Δ（b），Δ（ra）=rΔ（a），則稱Δ是一個R-線性映射。

定義5設(shè)A是R上的一個代數(shù)，M是一個A-雙半模。

（1）設(shè)τ：A→M是一個R-線性映射，如果對于任意a，b∈A均有τ（ab+ba）=τ（a）b+aτ（b）+τ（b）a+ b（τ）a，則稱τ是一個Jordan導(dǎo)子。

（2）設(shè)Δ：A→M是一個R-線性映射，如果存在Jordan導(dǎo)子τ，使得對于任意a，b∈A，均有Δ（ab+ba）=Δ（a）b+aτ（b）+Δ（b）a+bτ（a），則稱Δ是一個廣義Jordan導(dǎo)子，τ稱為相關(guān)的Jordan導(dǎo)子。

（3）設(shè)ψ1：A→M是一個R-線性映射，如果對于任意a，b∈A，均有ψ1（a）b=ψ1（a）b+aψ1（b），則稱ψ1是一個導(dǎo)子。

（4）設(shè)d：A→M是一個R-線性映射，如果存在導(dǎo)子ψ1，使得對于任意a，b∈A，均有d（ab）= d（a）b+aψ1（b），則稱d是一個廣義導(dǎo)子，ψ1是稱為相關(guān)的導(dǎo)子。

（5）設(shè)δ：A→M是一個R-線性映射，如果對于任意a，b∈A，均有δ（ab）=δ（b）a+bδ（a），則稱δ是一個反導(dǎo)子。

定義6設(shè)R是一個交換半環(huán)，Mn（R）是R上所有n階矩陣組成之集，對于a∈R，A=（aij），B=（bij）∈Mn（R），定義A+B=（aij+bij）n×n，

不難驗證，Mn（R）對于矩陣的加法與純量乘法構(gòu)成一個左R-半環(huán)，稱為交換半環(huán)R上的矩陣半模，其零元是n階零矩陣O。而Mn（R）對于上述3個運(yùn)算構(gòu)成交換半環(huán)R上一個代數(shù)，稱為交換半環(huán)R上的矩陣代數(shù)。再設(shè)Tn（R）是交換半環(huán)R上的所有n階上三角矩陣組成之集，Dn（R）是交換半環(huán)R上的所有n階對角矩陣組成之集，用Eij表示第（i，j）處元素為1，其余元素均為0的m×n矩陣。不難證明Tn（R）和Dn（R）都是矩陣代數(shù)Mn（R）的子代數(shù)。

本文假設(shè)所有的半模M都是2-非撓的，即對于任意的a，b∈M，如果2a=2b，那么a=b。

2　主要結(jié)果及其證明

引理1設(shè)R是一個交換半環(huán)，A是R上的一個代數(shù)，M是一個A-雙半模，Δ：A→M是一個廣義Jordan導(dǎo)子，τ是相關(guān)的Jordan導(dǎo)子，那么

（1）?a∈A，均有Δ（a2）=Δ（a）a+aτ（a）；

（2）Δ（0）=0.

證明：（1）由廣義Jordan導(dǎo)子的定義，?a，b∈A，Δ（ab+ba）=Δ（a）b+aτ（b）+Δ（b）a+bτ（a）?，F(xiàn)令a=b，則有2Δ（a2）=2（Δ（a）a+aτ（a））。因為半模M是2-非撓的，所以Δ（a2）=Δ（a）a+aτ（a）。

（2）Δ（0）=Δ（02）=Δ（0）·0+0·Δ（0）=0。

引理2[3]設(shè)R是一個交換半環(huán)，M是一個Tn（R）-雙半模且滿足?a∈M，由a+a=a可推出a= 0，τ：Tn（R）→M是一個Jordan導(dǎo)子。那么存在一個導(dǎo)子φ1：Tn（R）→M和一個反導(dǎo)子δ1：Tn（R）→M且δ1（Dn）=0，使得τ=φ1+δ1，其中Dn是對角矩陣，且對1≤i≤j≤n，δ1（Eij）=δ1（Eij）eii=Ejjδ1（Eij）。

定理1設(shè)R是一個交換半環(huán)，M是一個Tn（R）-雙半模且滿足?a∈M，由a+a=a可推出a=0，Δ：Tn（R）→M是一個廣義Jordan導(dǎo)子，τ是相關(guān)的Jordan導(dǎo)子，那么存在一個廣義導(dǎo)子d：Tn（R）→M和一個反導(dǎo)子δ：Tn（R）→M且δ1（Dn）=0，使得Δ=d+δ。

證明：作一個R-線性映射Tn（R）→M，滿足對于任意1≤i≤j≤n，均有d（Eij）=Δ（Eii）Eij+Eiiφ1（Eij）與一個R-線性映射δ：Tn（R）→M，滿足

則有Δ=d+δ。

事實上，（1）當(dāng)1≤i=j≤n時，

d（Eii）=Δ（Eii）Eii+Eiiφ1（Eii）（由d的定義）

=Δ（Eii）Eii+Eiiφ1（Eii）+Eiiδ1（Eii）(由引理2可知δ1（Eii）=0）

=Δ（Eii）Eii+Eii（φ1（Eii）+δ1（Eii））=Δ（Eii）Eii+Eiiτ（Eii）（由引理2，τ=φ1+δ1）

=Δ（E2ii）（由引理1（1))

=Δ（Eii）

(2)當(dāng)1≤i＜j≤n時,

Δ（Eij）=Δ(EiiEij+EijEii)

又由于Δ，d，δ都是R-線性映射，所以Δ=d+δ。

下證d：Tn（R）→M是一個關(guān)于φ1的廣義導(dǎo)子，而δ：Tn（R）→M是一個反導(dǎo)子。

1.證明d：Tn（R）→M是一個關(guān)于φ1的廣義導(dǎo)子。

首先證明對任意的1≤i≤j≤n和1≤k≤l≤n，均有d（EijEkl）=d（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl）。

由d的定義有，d（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl）=（Δ（Eii）Eij+Eiiφ1（Eij））Ekl+Eijφ1（Ekl）=Δ（Eii）EijEkl+Eiiφ1（Eij）Ekl+Ei-jφ1（Ekl）=Δ（Eii）EijEkl+Eii（φ1（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl））=Δ（Eii）EijEkl+Eiiφ1（EijEkl）。

（1）j≠k時，d（EijEkl）=0，d（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl）=Δ（Eii）EijEkl+Eiiφ1（Eij）Ekl=0。

（2）j=k時，d（EijEkl）=d（Eil），d（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl）=Δ（Eii）Eil+Eiiφ1（Eil）=d（Eil）。

由（1），（2）知，對任意的1≤i≤j≤n和1≤k≤l≤n，均有d（EijEkl）=d（Eij）Ekl+Eijφ1（Ekl）。

對任意的a，b∈Tn（R），設(shè)bklEkl，其中aij，bkl∈R，那么d（a）b+aφ1（b）=d。這樣d：Tn（R）→M是一個關(guān)于φ1的廣義導(dǎo)子。

2.證明δ：Tn（R）→M是一個反導(dǎo)子，且δ=δ1。

要證δ=δ1，只要證明對任意的1≤i≤j≤n，有δ（Eij）=δ1（Eij）。

（1）當(dāng)1≤i=j≤n時，由引理2及δ的定義可知，δ（Eii）=0=δ1（Eii）。

（2）當(dāng)1≤i＜j≤n時，

δ（Eij）=Δ（Eij）Eii+Eijφ1（Eii）（根據(jù)δ的定義）

=Δ（EjjEij+EijEjj）Eii+Eijφ1（Eii）

=(Δ（Ejj)Eij+Ejjτ（Eij）+Δ（Eij）Ejj+Eijτ（Ejj）)Eii+Eijφ1（Eii）(根據(jù)Δ的定義）

=Ejjτ（Eij）Eii+Eijτ（Ejj）Eii+Eijφ1（Eii）（EijEii=0，EjjEii=0）

=Ejj（φ1（Eij）+δ1（Eij））Eii+Eij（φ1（Ejj）+δ1（Ejj））Eii+Eijφ1（Eii）（由引理2，τ=φ1+δ1）

=Ejjφ1（Eij）Eii+Ejjδ1（Eij）Eii+Eijφ1（Ejj）Eii+Eijφ1（Ejj）（由引理2，δ1（Ejj）=0）

=Ejjφ1（EiiEij）Eii+Ejjδ1（Eij）Eii+Eij（φ1（Ejj）Eii+Ejjφ1（Eii））（因為Eij=EiiEij，Eij=EijEjj）

=Ejj（φ1（Eii）Eij+Eiiφ1（Eij））Eii+Ejjδ1（Eij）Eii+Eijφ1（EjjEii）（φ1是導(dǎo)子）

=Ejjδ1（Eij）Eii(EjjEii=0,EijEii=0)

=δ1（Eij）(引理2，δ1（Eij）=δ1（Eij）Eii=Ejjδ1（Eij））。

所以δ=δ1，且δ是一個反導(dǎo)子。

推論1[1]設(shè)R是一個交換幺環(huán)，M是一個2-非撓的Tn（R）雙模，Δ：Tn（R）→M是一個Jordan導(dǎo)子，那么存在一個導(dǎo)子d：Tn（R）→M和一個反導(dǎo)子δ：Tn（R）→M，使得Δ=d+δ且δ（Dn）=0，其中Dn時對角矩陣。

[1］HERSTEIN IN．Jordan derivationsof prime rings［J］．Proc Amer Math Soc，1957（8）：1104－1110．

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［3］莊金洪，譚宜家．關(guān)于上三角矩陣代數(shù)的Jordan導(dǎo)子［J］．福州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，40（6）：707－712．

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(責(zé)任編輯：朱聯(lián)九）

Generalized Jordan Derivations of Upper Triangular Matrix Algebra Over Commutative Sem irings

ZHUANG Jin-hong
(Department of Basis Course,Fujian Commercial College，F(xiàn)uzhou 350012，China)

Let R be a commutative semiring，and let Tn（R）be a upper triangularmatrix algebra over R,it is proved that erery generalized Jordan derivation from Tn（R）into its bisem imodule is the sum of a generaliazed derivation and an antiderivation.

commutative sem iring；upper triangularmatrix algebra；generalized Jordan derivation;generalized derivation;antiderivation

O153.3

A

1673-4343（2015）06-0007-04

10．14098／j．cn35－1288／z．2015．06．002

2015-05-27

福建省自然科學(xué)基金項目（2013J05005)（JA13402)；福建商業(yè)高等?？茖W(xué)?？蒲许椖浚⊿Z201409B）

莊金洪，男，福建莆田人，講師。主要研究方向：矩陣代數(shù)。