鐘曉珠，馬躍超，劉金憲，邢海龍，王知力

（1.河北科技學院公共課部，河北保定071000；2.燕山大學理學院，河北秦皇島066004；3.青島農(nóng)業(yè)大學信息與科學學院，山東青島266109）

不確定非線性系統(tǒng)SISO的綜合終端滑模跟蹤控制器及擴展狀態(tài)觀測器

鐘曉珠1，馬躍超2，?，劉金憲1，邢海龍3，王知力1

（1.河北科技學院公共課部，河北保定071000；2.燕山大學理學院，河北秦皇島066004；3.青島農(nóng)業(yè)大學信息與科學學院，山東青島266109）

對帶有線性動力學性能和非線性動力學性能及帶有系統(tǒng)內(nèi)部不確定因素和外界擾動因素的單輸入單輸出系統(tǒng)，本文給出了終端滑模跟蹤控制方法。由于該系統(tǒng)狀態(tài)難以測量，本文將系統(tǒng)內(nèi)部未知的復雜非線性動力學因素及系統(tǒng)外界擾動因素統(tǒng)稱為“總擾動”，并視其為系統(tǒng)模型的增廣狀態(tài)。該增廣狀態(tài)及系統(tǒng)狀態(tài)可以通過一個線性擴展狀態(tài)觀測器同步評估出來。本方法的特點是設計這樣一個觀測器以保證近似誤差一致最終有界于一個半徑為設計參數(shù)的函數(shù)的球內(nèi)，該球半徑可以通過優(yōu)化設計參數(shù)達到任意小的程度。基于所設計的線性擴展狀態(tài)觀測器的輸出，文中給出了保證系統(tǒng)輸出密切跟蹤所需信號的終端滑?？刂破鳎瑪?shù)值模擬的結(jié)果表明所給出的控制器是有效的。

滑?？刂?；擴展狀態(tài)觀測器；非線性系統(tǒng)；一致最終有界

0 引言

在過去的幾十年里，各種不確定非線性系統(tǒng)魯棒控制技術(shù)已得到快速發(fā)展。在這些魯棒控制方法中，滑?？刂疲⊿MC）技術(shù)對于具有內(nèi)部不確定性及外界擾動性的系統(tǒng)具有良好的魯棒性［1?7］。由于強勁的魯棒性，SMC技術(shù)被廣泛用來改進很多實際系統(tǒng)的性能，例如諧波振蕩器［8］、倒立擺系統(tǒng)［9］、雙罐系統(tǒng)［10］等。近年來，由于終端滑模跟蹤控制方法可在有限時間內(nèi)使系統(tǒng)狀態(tài)達到平衡，從而吸引了眾多學者的關(guān)注。文獻［11］對單輸入單輸出（SISO）非線性系統(tǒng)，將快速終端動力學技術(shù)用于改進滑模控制性能。文獻［12］研究了多輸入多輸出（MIMO）線性系統(tǒng)的終端滑?？刂疲═SMC）方法。文獻［13］對于不確定多輸入線性系統(tǒng)提出了帶終端滑模的變結(jié)構(gòu)控制設計方法。應用TSMC方法，文獻［14］研究了帶時滯的非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)方法。

然而，通常只有當系統(tǒng)的所有線性及非線性動力學性能已知的情況下，基本的滑?？刂坡刹攀强蓪崿F(xiàn)的。由于在實際中某些線性及非線性系統(tǒng)動力學性能通常是未知的，因而基本滑?？刂齐y以直接應用到具有未知函數(shù)性能的非線性系統(tǒng)上。有鑒于此，近些年，對于非線性不確定系統(tǒng)，人們研究了綜合各種不同評估技術(shù)的SMC方法。該綜合控制方法應用某些評估技術(shù)以逼近系統(tǒng)未知動力學性能，逼近模型內(nèi)部的不確定性能及模型外界擾動因素，基于這些估值則可設計出系統(tǒng)的SMC律。擾動觀測器（DO）及模糊邏輯系統(tǒng)常被用做評估手段。對于具有擾動影響的非線性系統(tǒng)，文獻［1 5］研究了基于控制的擾動觀測器（DOBC）及TSMC。文獻［16］提出了基于擾動觀測器的一類不確定非線性系統(tǒng)的滑?？刂品椒ǎ媚：壿嬒到y(tǒng)逼近未知系統(tǒng)函數(shù)。文獻［17］對一類具不確定性因素及外界擾動因素的SISO非線性系統(tǒng)，給出了一種自適應模糊滑?？刂破?，該控制器融合了一個魯棒積分控制律。然而，這些方法都要求系統(tǒng)狀態(tài)是可觀測的。當多變量系統(tǒng)狀態(tài)無法觀測時，研究不確定非線性系統(tǒng)的SMC問題就變得更具挑戰(zhàn)性。

眾所周知，擴展狀態(tài)觀測器具有很多良好的性質(zhì)，諸如只要求系統(tǒng)模型很少的信息量，并能緊密跟蹤系統(tǒng)的外界擾動影響及系統(tǒng)狀態(tài)信息［18?23］。本文針對SISO非線性系統(tǒng)，研究了結(jié)合線性擴展狀態(tài)觀測器（LESO）的終端滑模跟蹤控制方法。該系統(tǒng)模型具有已知的線性動力學性能、未知的非線性動力學性能以及模型內(nèi)部的不確定因素和外界擾動影響因素，并且系統(tǒng)狀態(tài)難以測量。所有這些因素被視為系統(tǒng)的“總擾動”，而本文方法主要特點是設計一個LESO用來評估系統(tǒng)“總擾動”及系統(tǒng)狀態(tài)。對“總擾動”的評估值用以反饋補償系統(tǒng)，以達到系統(tǒng)擾動的衰減與消除，從而將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個線性系統(tǒng)。因而應用TSMC律設計生成一個線性系統(tǒng)以保證系統(tǒng)輸出緊密跟蹤所需信號。

1 問題的導出

考慮下述SISO非線性不確定系統(tǒng)

此處，b1，b2，…，bn及 g是已知實常數(shù)，u∈R及y∈R分別是輸入及輸出。未知函數(shù)f（·）表示復雜非線性動力學性質(zhì)，函數(shù)Δb1，Δb2，…，Δbn－1及Δbn是模型的不確定性質(zhì)，函數(shù)w是未知的外界擾動。記

W（t）＝Δb1x＋Δb2x′＋…＋Δbnx（n－1）＋f（·）＋w， W（t）被視為系統(tǒng)（1）的總擾動。對系統(tǒng)（1）引入下述假設。

假設：未知函數(shù) w是連續(xù)可微的，記W·＝h。所有u，W，h及系統(tǒng)（1）的解是有界的，對于t≥0有｜h｜≤ρ，ρ是已知常數(shù)。

方程（1）用狀態(tài)空間形式改寫為

假設系統(tǒng)狀態(tài)是難以測量的，假定非線性系統(tǒng)（2）是可控的，輸入u是有界的，輸入增益g是非零的，因此不失一般性設g＞0。控制目的是設計終端滑?？刂破?，使得系統(tǒng)輸出y緊密跟蹤當前模型不確定性和外部擾動所生成的信號yd。

為了設計SISO不確定非線性系統(tǒng)（1）的終端滑模控制器，引入下述引理。

引理1［12］假設存在一個連續(xù)正定函數(shù)V（t）使得：V·（t）＋αV（t）＋λVγ（t）≤0對于?t＞0，則V（t）在有限時間內(nèi)收斂于平衡點

2 LESO設計及收斂性分析

令xn＋1（t）＝W（t）是（2）的擴展狀態(tài)，相應的擴展系統(tǒng)（2）如下：

此處x＝（x1x2… xn＋1）T∈Rn＋1表示擴展系統(tǒng)狀態(tài)向量。上述擴展系統(tǒng)矩陣形式如下：

系統(tǒng)（3）的LESO如下：

增益參數(shù)a1，a2，…，an，an＋1及ε要滿足

其中，P及Q是對稱正定矩陣。

注1此處LESO（4）的參數(shù)矩陣不同于文獻［21］中的矩陣。此外選擇總擾動

作為擴展狀態(tài)，即xn＋1（t）＝W（t）。所以該擴展狀態(tài)并不包含已知線性動力學性能項b1x＋b2x′＋…＋bnx（n－1）。這一跟蹤技術(shù)完全不同于文獻［21］及［22］中給出的典型的ESO方法。引入觀測誤差Z＝（z1z2… zn＋1）T，其中，zi＝xi－i，i＝1，2，…，n＋1。由（3）減去（4）得到誤差動力學系統(tǒng)如下：

定理1考慮滿足假設（1）的系統(tǒng)（6）的誤差，方程（6）的解Z：［t0t1］?Rn＋1，Z（t0）＝Z0是一致最終有界的，其最終上界是 κ（ε）＝即對任何0＜ε＜1，有｜｜Z｜｜≤κ（ε），?t≥tf（ε），此處

是帶有正常數(shù)v0的有限時間，v0與ε無關(guān)，與初始值有關(guān)。

由此，所有的ηi，i＝1，…，n＋1滿足下述所有微分方程

另一方面，如果V0≤?2，則V≤?2（t≥t0），從而存在一個有限時間函數(shù)tf（ε）使得對于t≥t0＋ tf（ε），V≤?2并且有。結(jié)合?的定義，對于t≥t0＋tf（ε），有

進而，對于t≥t0＋tf（ε）有

注2由定理1在有限時間tf（ε）后，誤差估計進入到閉球｛Z：｜｜Z｜｜≤κ（ε）｝。易證上述閉球的半徑可以由設計參數(shù)ε調(diào)節(jié)，而且因為0，當ε?0誤差估計值Z?0，應當指出所提出的ESO方法是適用于具有已知線性及非線性動力學性能項的擴展狀態(tài)。

所以LESO（4）既可以對系統(tǒng)狀態(tài)進行評估，又可以對系統(tǒng)擴展狀態(tài)進行評估，即

3 終端SMC設計

這里對于所有適于應用LESO方法的系統(tǒng)狀態(tài)及總擾動給出終端SMC方法。為了得到終端滑模跟蹤控制，定義s1＝y(tǒng)－yd，則s1對時間的n階導數(shù)為。由上式，對系統(tǒng)（1）的TSMC方法進行的迭代如下［11］

這里αi＞0，βi＞0，pi及qi，（i＝1，2，…，n－1）是正的奇數(shù)并且pi＜qi，對于每一個si，i＝2，…，n－1，有

由此，基于終端滑模跟蹤控制方法的LESO可以設計為u＝－u0／g，

上述終端滑?？刂圃O計方法可以總結(jié)為下述定理。

定理2 考慮具有模型不確定性及外界擾動的不確定非線性系統(tǒng)（1）及LESO被設計為（4）～（5）的形式在終端滑模跟蹤控制模型（15）中系統(tǒng)輸出y在有限時間內(nèi)收斂于所需信號yd。

證明把（15）代入（14）得

根據(jù)引理1及（17）可以知道s1＝y(tǒng)－yd?0即y?yd。（證畢）

4 數(shù)值模擬

給定的數(shù)值模擬的結(jié)果說明了本文所提出的控制方法的有效性?？紤]一個二階系統(tǒng)模型：

系統(tǒng)（18）的狀態(tài)空間形式為

這里模型的不確定性參數(shù)為Δb1＝0.02sin（πt），Δb2＝0.02cos（πt），系統(tǒng)非線性動力學函數(shù)，外界擾動參數(shù) w（t）＝2sin（0.1πt）＋3sin，所以總擾動參數(shù)為

為了設計LESO及滑?？刂?，增益參數(shù)分別取做：ε＝0．01，a1＝2．825 2，a2＝4．408 5，a3＝0．912 9，α1＝50，β1＝0．5，δ＝60，μ＝0．8，p1＝5，q1＝7，初始狀態(tài)條件任意選擇為x1＝0．1，x2＝0．2，預定軌跡取作yd＝2sin（0.2t）。LESO及滑模跟蹤控制方法如下給定

圖1～2給出了將控制器（21）應用到系統(tǒng)（19）數(shù)值模擬結(jié)果。圖1（a）說明系統(tǒng)輸出曲線、所需信號曲線、跟蹤誤差曲線，圖1（b）分別給出了控制律曲線，由圖1（a）可以看到除了某些由LESO的高增益引起的尖點外，跟蹤誤差非常小，此外，圖1中的（b）說明控制量很小。圖2表明LESO的跟蹤性能，由圖2可以看到LESO的輸出可以緊密跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)及總擾動因素，且誤差很小，所以系統(tǒng)狀態(tài)及總擾動被其估值替代其在系統(tǒng)控制律的設計當中可以被消除。

圖1 輸出值y，理想信號yd以及控制律u的曲線Fig.1 Trajectories of output y，desired signal ydas well as control law u

圖2 LESO的跟蹤性能Fig.2 Tracking performance of LESO

5 結(jié)束語

本文對于一類LESO非線性不確定系統(tǒng)提出了基于終端滑模跟蹤的LESO算法，這一LESO算法以任意小的誤差逼近系統(tǒng)狀態(tài)以及總擾動參數(shù)。該總擾動參數(shù)的估計值被用來補償原系統(tǒng)并進一步實現(xiàn)系統(tǒng)擾動的衰減和消除，本文所提出的終端滑?？刂破骺梢员ＷC系統(tǒng)輸出緊密跟蹤所需信號，最后數(shù)值模擬結(jié)果表明所提出的滑模跟蹤控制方法是有效的。

［1］Kao Y G，Xie J，Wang C H，et al.A sliding mode approach to H∞non?fragile observer?based control design for uncertain Markovian neutral?type stochastic systems［J］.Automatica，2015，52（1）：218?226.

［2］Ma Y C，Zheng Y Q.Projective lag synchronization of Markovian jumping neural networks with mode?dependent mixed time?delays based on an integral sliding mode controller［J］.Neurocomputing，http：／／dx.doi.org／10.1016／j.neucom.2015.05.062.

［3］Chen B，Niu Y，Zou Y.Adaptive sliding mode control for stochastic Markovian jumping systems with actuator degradation［J］.Automati?ca，2013，49（12）：1748?1754.

［4］Kao Y，Li W，Wang C.Non?fragile observer based H∞sliding mode control for Itstochastic systems with Markovian switching［J］. Robust and Nonlinear Control，2013，24（15）：2035?2047.

［5］Khalil H K.Nonlinear Systems［M］.3rd ed.Prentice?Hall，Upper Saddle River，NJ，2002.

［6］Hirschorn R M.Generalized sliding?mode control for multi?input nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2006，51（9）：1410?1422.

［7］Lu X Y，Spurgeon S K.Robust sliding mode control of uncertain nonlinear system［J］.Systems＆ Control Letters，1997，45（2）：75?90.

［8］Marquart C A，Zourntos T，Magierowski S，et al.Sliding?mode am?plitude control techniques for harmonic oscillators［J］.IEEE Trans?actions on Circuits and Systems—II Express Briefs，2007，54（11）：1014?1028.

［9］Chen C S，Chen W L.Robust adaptive sliding?mode control using fuzzy modeling for an inverted?pendulum system［J］.IEEE Transac?tions on Industrial Electronics，1998，45（2）：297?306.

［10］Khan M K，Spurgeon S K.Robust MIMO water level control in in?terconnected twin?tanks using second order sliding mode control［J］.Control Engineering Practice，2006，14（4）：375?386.

［11］Yu X H，Man Z H.Fast terminal sliding?mode control design for non?linear dynamical systems［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems?I Fundamental Theory and Applications，2002，49（2）：261?274.

［12］Man Z H，Yu X H.Terminal sliding mode control of MIMO linear systems［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems?I，F(xiàn)unda?mental Theory and Applications，1997，44（11）：1065?1070.

［13］Fridman E.Output regulation of nonlinear systems with delay［J］. Systems＆Control Letters，2003，50（1）：81?93.

［14］Yu X H，Man Z H.Multi?input uncertain linear systems with termi?nal sliding?mode control［J］.Automatica，1998，34（3）：389?392.

［15］Wei X J，Guo L.Composite disturbance?observer?based control and terminal sliding mode control for non?linear systems with disturb?ances［J］.Control，2009，82（6）：1082?1098.

［16］Chen M，Chen W H.Sliding mode controller design for a class of uncertain nonlinear system based disturbance observer［J］.Adaptive Control and Signal Processing，2010，24（1）：51?64.

［17］Ho H F，Wong Y K，Rad A B.Adaptive fuzzy sliding mode control with chattering elimination fornonlinearSISO systems［J］. Simulation Modeling Practice and Theory，2009，17（8）：1199?1210.

［18］韓京清.自抗擾控制器及其應用［J］.控制與決策，1998，13（1）：19?23.

［19］Xing Hai?Long，Jeon Jin?Han，Park K C，et al.Active disturbancerejection control for precise position tracking of ionic polymer?metal composite actuators［J］.IEEE ASME Transactions on Mechatronics，2013，18（1）：86?95.

［20］Han J Q.From PID to active disturbance rejection control［J］.IEEE Transactions on Industrial Electronics，2009，56（3）：900?906.

［21］Gao Z.Scaling and bandwith?parameterization based controller tun?ing［C］／／Proceedings of the 2003 American Control Conference， Denver，Colorado，USA，2003，4989?4996.

［22］韓京清.一類不確定對象的擴張狀態(tài)觀測器［J］.控制與決策，1995，10（1）：85?88.

［23］Narendra，K.S.，Balakrishnan，J.A common Lyapunov function for stable LTI systems with commuting A?matrice［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1994，39（11）：2469?2471.

Composite terminal sliding mode tracking control and extended state observer for SISO nonlinear uncertain systems

ZHONG Xiao?zhu1，MA Yue?chao2，LIU Jin?xian1，XING Hai?long3，WANG Zhi?li1
（1.Department of Public Courses，Hebei College of Science and Technology，Baoding，Hebei 071000，China；2.College of Science，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei 066004，China；3.Science and Information College，Qingdao Agricultural University，Qingdao，Shangdong 266109，China）

In this paper，the terminal sliding mode tracking control is proposed for the single?input and single?output systems with known linear dynamics，unknown nonlinear dynamics as well as internal model uncertainties and external disturbance.And the system states are unavailable for measurement.The terms including unknown complicated nonlinear dynamics，internal and external disturbances are defined as total disturbance，and it is considered as an augmented state of model plant.Then this augmented state and the system states can be estimated simultaneously through a linear extended state observer.This method is to design an observer which can guarantee the approximation error to be uniformly ultimately bounded with respect to a ball whose radius is a function of design parameters.So this ball radius can be arbitrarily as small as desired by tuning design parameters.Based on the outputs of the designed linear extended state observer，the terminal sliding mode controller has been proposed，which can guarantee the system out?put to closely track the desired signal.Numerical simulation results are given to illustrate the effectiveness of the proposed controller. Key words：sliding mode control；extended state observer；nonlinear system；uniformly ultimately bounded

TP13

A

10．3969／j．issn．1007?791X．2015．05．008

1007?791X（2015）05?0431?07

2015?02?20 基金項目：國家自然科學基金資助項目（61273004）；河北省自然科學基金資助項目（F2014203085）

鐘曉珠（1948?），男，河北樂亭人，教授，主要研究方向為差分方程理論、控制理論；?通信作者：馬躍超（1963?），男，遼寧鳳城人，教授，博士生導師，主要研究方向為控制理論，Email：myc6363＠126.com。