達(dá)乾龍，劉成龍，何林烜，楊雪峰

(西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，四川成都611756)

一、引 言

在高程控制測(cè)量中，常用的測(cè)量方法有水準(zhǔn)測(cè)量和三角高程測(cè)量。水準(zhǔn)測(cè)量具有操作簡(jiǎn)單、測(cè)量精度高等優(yōu)點(diǎn)，但視距短、測(cè)量效率低，且易受到地形的限制，適用于開(kāi)闊平坦地區(qū)的高程控制網(wǎng)測(cè)量［1］。三角高程測(cè)量相較于水準(zhǔn)測(cè)量具有測(cè)量效率高、不受地形起伏限制、單站測(cè)距長(zhǎng)，以及跨越江河、峽谷水準(zhǔn)測(cè)量無(wú)法到達(dá)的目標(biāo)點(diǎn)等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程測(cè)量和大地測(cè)量中。

三角高程測(cè)量中的原始觀測(cè)值是全站儀中心到棱鏡中心的斜距和天頂距，其觀測(cè)質(zhì)量直接影響到三角高程網(wǎng)的可靠程度。三角高程測(cè)量精度主要受大氣折光和地球曲率［2］的影響，為消除和減弱它們對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，需要進(jìn)行往返測(cè)量，在精密工程測(cè)量中常采用同時(shí)對(duì)向觀測(cè)［3］的三角高程測(cè)量方法。在對(duì)三角高程網(wǎng)平差計(jì)算時(shí)，傳統(tǒng)的做法是根據(jù)原始觀測(cè)值計(jì)算測(cè)站點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的三角高差和水平距離，以三角高差為觀測(cè)值，以水平距離的倒數(shù)定權(quán)進(jìn)行間接平差［4］。可以看出，傳統(tǒng)的三角高程網(wǎng)平差方法和水準(zhǔn)測(cè)量平差方法類似，即利用測(cè)段的三角高差和測(cè)段長(zhǎng)度進(jìn)行平差計(jì)算。這種平差方法簡(jiǎn)單易于理解，但在理論上是有缺陷的，因?yàn)樾本嗪吞祉斁嗖攀侨歉叱虦y(cè)量的原始觀測(cè)值，而三角高差是通過(guò)斜距和天頂距計(jì)算得到的，根據(jù)間接平差原理，應(yīng)該對(duì)原始觀測(cè)值開(kāi)列誤差方程并進(jìn)行后續(xù)的平差計(jì)算和精度評(píng)定。因此，本文針對(duì)傳統(tǒng)三角高程網(wǎng)平差存在的問(wèn)題，提出了三角高程網(wǎng)嚴(yán)密平差的全新方法，新平差方法的誤差方程以觀測(cè)的斜距和天頂距作為觀測(cè)值，以控制點(diǎn)的高程作為未知參數(shù)，得到線性化的誤差方程，然后進(jìn)行后續(xù)的平差計(jì)算。

新平差方法不僅可以計(jì)算控制點(diǎn)的高程平差值和高程中誤差，還可以計(jì)算斜距和天頂距的改正數(shù)及其中誤差。

二、斜距和天頂距的誤差方程式開(kāi)列及權(quán)的確定

圖1為三角高程測(cè)量原理［5］示意圖，A、B為地面上的兩個(gè)高程控制點(diǎn)，在A點(diǎn)架設(shè)全站儀，在B點(diǎn)設(shè)置覘標(biāo)，測(cè)得斜距SAB和天頂距aAB，同時(shí)測(cè)得儀器高iA和覘標(biāo)高jB，則A、B間的高差hAB的計(jì)算公式為

根據(jù)三角高程測(cè)量的原理，本文提出的三角高程網(wǎng)嚴(yán)密平差的全新方法以控制點(diǎn)高程作為未知參數(shù)，將天頂距、斜距作為觀測(cè)值開(kāi)列誤差方程，以儀器標(biāo)稱精度定權(quán)，然后再利用最小二乘原理進(jìn)行平差計(jì)算。由于三角高程測(cè)量的觀測(cè)值中包含天頂距和斜距兩種類型，因此構(gòu)建誤差方程的思路為:首先將天頂距視為真值，將斜距作為觀測(cè)值開(kāi)列斜距的誤差方程;然后再將斜距視為真值，將天頂距作為觀測(cè)值開(kāi)列天頂距的誤差方程。對(duì)建立的兩類觀測(cè)值誤差方程再進(jìn)行聯(lián)合平差，就可以得到控制點(diǎn)的高程平差值及其中誤差、觀測(cè)值斜距和天頂距的改正數(shù)及其中誤差。

圖1 三角高程測(cè)量原理

1.斜距誤差方程開(kāi)列

斜距誤差方程開(kāi)列的思想是:以控制點(diǎn)高程作為未知參數(shù)，將天頂距視為真值，把斜距作為觀測(cè)值建立斜距的誤差方程。由式(1)可知

式(5)中方程右端項(xiàng)分母不再趨近于0，其病態(tài)問(wèn)題得到了解決，將式(5)寫(xiě)為誤差方程的形式

式(7)即為將天頂距視為真值、斜距為觀測(cè)值時(shí)的斜距誤差方程。

2.天頂距誤差方程開(kāi)列

天頂距誤差方程開(kāi)列的思想是:以控制點(diǎn)高程作為未知參數(shù)，將斜距視為真值，把天頂距作為觀測(cè)值建立天頂距的誤差方程。由式(1)知

常數(shù)ρ=206 265，式(9)即為將斜距視為真值、天頂距作為觀測(cè)值時(shí)的天頂距誤差方程。式(7)和式(9)共同組成三角高程網(wǎng)嚴(yán)密平差全新方法的誤差方程。

3.觀測(cè)值權(quán)的確定

新方法中觀測(cè)值的權(quán)采用驗(yàn)前估計(jì)法［7］確定，即根據(jù)儀器的標(biāo)稱精度定權(quán)。設(shè)天頂距測(cè)量中誤差為ma，ma常取值為方向觀測(cè)中誤差的倍，其權(quán)為Pa;斜距測(cè)量中誤差為mS，其權(quán)為PS。σ0為單位權(quán)中誤差，令 σ0=ma，則觀測(cè)值 aAB和 SAB的權(quán)［8］分別為

式中，斜距中誤差mS按全站儀測(cè)距標(biāo)稱精度計(jì)算，即 mS=a+b×S 或和 b分別為全站儀測(cè)距的固定和比例誤差。

三、平差及其精度評(píng)定

根據(jù)式(7)和式(9)可得到三角高程網(wǎng)嚴(yán)密平差全新方法誤差方程［4］的矩陣形式為

采用以上定權(quán)方式可得觀測(cè)值權(quán)矩陣為P，按最小二乘原理可解算出未知參數(shù)改正數(shù)向量為

將式(12)的結(jié)果代入式(11)求出V，再按下式可求出平差后觀測(cè)值單位權(quán)中誤差為

式中，n為觀測(cè)值個(gè)數(shù);t為必要觀測(cè)值個(gè)數(shù)，即三角高程中未知高程點(diǎn)的個(gè)數(shù)。根據(jù)間接平差原理和協(xié)因數(shù)傳播定律可得，未知參數(shù)協(xié)因數(shù)矩陣為Q^X=(BTPB)－1，觀測(cè)值改正數(shù)的協(xié)因數(shù)矩陣為QVV=QB(BTPB)－1BT，其中Q=1/P。則控制點(diǎn)的高程中誤差和觀測(cè)值改正數(shù)(斜距、天頂距)的中誤差計(jì)算公式分別為

四、試驗(yàn)驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證三角高程網(wǎng)平差新方法的正確性和合理性，本文進(jìn)行了測(cè)量與平差計(jì)算試驗(yàn)。

1.試驗(yàn)概況及平差計(jì)算

在三角高程控制網(wǎng)建立過(guò)程中，為驗(yàn)證該平差方法對(duì)地形起伏較大和地形平坦的控制網(wǎng)是否均適用，建立了如圖2所示的控制網(wǎng)。網(wǎng)中各邊邊長(zhǎng)均已標(biāo)于圖中，其中A點(diǎn)與其他點(diǎn)的高差約為5～6 m，B、C、D、E點(diǎn)間高差約為0～2 m。對(duì)該網(wǎng)分別進(jìn)行了三角高程測(cè)量和水準(zhǔn)測(cè)量，三角高程測(cè)量中采用徠卡TCRA 1201全站儀(標(biāo)稱精度:方向測(cè)量中誤差為1″，測(cè)距中誤差為1 mm+1×10－6D)進(jìn)行對(duì)向觀測(cè)，在每一控制點(diǎn)上架設(shè)儀器，測(cè)量該點(diǎn)到其余4個(gè)點(diǎn)的天頂距和斜距，同時(shí)量取儀器高和棱鏡高;水準(zhǔn)測(cè)量中采用的水準(zhǔn)儀是天寶DiNi03，按國(guó)家二等水準(zhǔn)測(cè)量的技術(shù)要求進(jìn)行。

圖2 試驗(yàn)網(wǎng)網(wǎng)形示意圖(邊長(zhǎng)單位:m)

取得合格的三角高程網(wǎng)測(cè)量及水準(zhǔn)測(cè)量的外業(yè)數(shù)據(jù)后，分別采用傳統(tǒng)三角高程網(wǎng)平差方法、本文提出的三角高程網(wǎng)平差新方法及水準(zhǔn)測(cè)量平差方法進(jìn)行平差。平差時(shí)，以控制點(diǎn)D點(diǎn)為基準(zhǔn)高程點(diǎn)，高程值為 50.000 m，A、B、C、E 為未知高程點(diǎn)。采用全新的三角高程網(wǎng)嚴(yán)密平差方法進(jìn)行平差，得到控制點(diǎn)高程及其中誤差，觀測(cè)值改正數(shù)及其中誤差。其中表1給出了新方法平差后部分觀測(cè)值的改正數(shù)及中誤差。采用傳統(tǒng)三角高程網(wǎng)平差方法進(jìn)行平差，得到控制點(diǎn)高程平差值及其中誤差、控制點(diǎn)間高差改正數(shù)及其中誤差。采用水準(zhǔn)測(cè)量方法平差，得到控制點(diǎn)高程平差值及其中誤差、控制點(diǎn)間高差改正數(shù)及其中誤差。

表1 新方法平差觀測(cè)值的改正數(shù)及中誤差

2.平差結(jié)果的對(duì)比與分析

(1)3種平差結(jié)果對(duì)比與分析

對(duì)于該高程控制網(wǎng)采用3種平差方法得到同一個(gè)高程點(diǎn)的3種高程平差值，表2給出了不同方法的高程平差結(jié)果和相互間的高程較差。

表2 不同方法的高程平差結(jié)果和同名點(diǎn)高程較差

從表2可以看出，對(duì)三角高程網(wǎng)采用全新平差方法與傳統(tǒng)平差方法得到的同一點(diǎn)高程平差值進(jìn)行比較，最大差值為0.2 mm，說(shuō)明新方法能得到正確的高程平差值，滿足內(nèi)符合精度;另外，兩種三角高網(wǎng)平差與水準(zhǔn)測(cè)量平差得到的同名控制點(diǎn)高程較差在1 mm左右，滿足外符合精度。存在差異主要是由儀器高和目標(biāo)高的量取誤差所造成的，若采用強(qiáng)制對(duì)中裝置，則可避免這兩種量取誤差，使得三角高程網(wǎng)平差結(jié)果與水準(zhǔn)測(cè)量平差結(jié)果差異更小。

(2)利用觀測(cè)值平差值計(jì)算控制網(wǎng)高程閉合差

采用全新的三角高程網(wǎng)平差能夠得到觀測(cè)值(斜距和天頂距)的平差值，為驗(yàn)證觀測(cè)值平差結(jié)果是否合理，利用觀測(cè)值平差值反算了各控制點(diǎn)間的高差，組成了多個(gè)高程網(wǎng)閉合環(huán)，并統(tǒng)計(jì)平差前后高程網(wǎng)的高差環(huán)閉合差，部分高程網(wǎng)高差環(huán)閉合差見(jiàn)表3。

表3 高程網(wǎng)高差環(huán)閉合差 mm

通過(guò)表3平差前后高差環(huán)閉合差的對(duì)比可看出，平差前各環(huán)閉合差的絕對(duì)值在0.10～1.00 mm范圍內(nèi)，平差后各環(huán)閉合差的絕對(duì)值均小于0.05 mm，可見(jiàn)平差后較平差前小了一個(gè)數(shù)量級(jí)。理論上平差后各高差環(huán)閉合差應(yīng)該為零，本次試驗(yàn)中仍有小于0.05 mm的閉合差，主要是由于平差過(guò)程中的近似和計(jì)算取整誤差造成的。

通過(guò)表2和表3的試驗(yàn)結(jié)果及其比較，可以證明本文提出的三角高程網(wǎng)嚴(yán)密平差新方法的平差結(jié)果是正確和可靠的。

五、結(jié) 論

1)通過(guò)全新三角高程網(wǎng)平差和傳統(tǒng)三角高程網(wǎng)平差結(jié)果的比較，可發(fā)現(xiàn)兩種方法的高程平差值很接近，說(shuō)明本文提出的三角高程網(wǎng)平差新方法能得到正確的高程值及其中誤差。

2)采用全新三角高程網(wǎng)平差方法可以對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行精度評(píng)定，可以直觀地反映外業(yè)觀測(cè)質(zhì)量的好壞，這對(duì)于測(cè)量人員來(lái)說(shuō)是非常重要的，方便觀測(cè)值質(zhì)量的檢查或補(bǔ)測(cè)超限的觀測(cè)值。

3)本文研究結(jié)果表明，三角高程網(wǎng)嚴(yán)密平差的全新方法比傳統(tǒng)的三角高程網(wǎng)平差方法更為嚴(yán)謹(jǐn)和合理。

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