劉期懷

摘要：函數的可微性與定義域的凸性是中值定理成立的兩個本質條件，本文我們將微分中值定理推廣到多元可微函數的情形。最后，我們將介紹微分中值定理的一個統一公式，該公式適用于所有的Lipschitz連續(xù)函數。

關鍵詞：微分中值定理；Lipschitz連續(xù)；Clarke梯度

中圖分類號：O178 文獻標志碼：C 文章編號：1674-9324（2015）28-0182-02

1 引言

微分中值定理是高等數學微分學中最重要的定理之一，也是數學分析中的基本內容。關于微分中值定理的研究有很多方面，主要涉及它的推廣形式及其應用。在文獻[1]中，作者利用平面幾何中曲線之間的相切關系不依賴于坐標軸的選取這一基本事實對微分中值定理進行了幾何上的解釋；文獻[2]把微分中值定理推廣到連續(xù)的一元凸（或者凹）函數上去，給出了微分中值定理更加一般的形式。眾所周知，歐式空間上的凸（或者凹）函數具有局部Lipschitz連續(xù)性。下文中我們首先將微分中值定理推廣到多元可微函數上去，并且通過結果指出，函數的可微性與定義區(qū)域的凸性是中值定理成立的兩個本質條件。最后，我們將介紹微分中值定理的一個統一公式，該公式可適用于所有的Lipschitz連續(xù)函數。

在本文中，我們始終假設A為歐式空間R上的開集，函數u（x）為A上的實值連續(xù)函數。對于任意給定的x，y∈A，記[x，y]？奐A為連接x，y線段上所有的點構成的集合。

2 多元函數微分中值定理

定理1：設u：A→R為可微函數，對于任意給定的x，y∈A，如果[x，y]？奐A，則存在ξ∈[x，y]滿足u（y）-u（x）=Du（ξ）·（y-x）.

證明：定義函數F：[0，1]→R為F（t）=u（ty+（1-t）x），則F為[0，1]上的連續(xù)函數，且在（0，1）內可導。由Lagrange中值定理可知，存在一點τ∈（0，1）

參考文獻：

[1]曾可依.從幾何的角度看微分中值定理[J].大學數學，2014，（02）：108-111.

[2]王良成，白海，楊明碩.關于Lagrange微分中值定理的逆問題[J].大學數學，2012，（05）：140-143.

[3]P. Cannarsa and S. Carlo，Semi-concave functions，Hamilton-Jacobi equations，and optimal control [M]. Springer，2004.

[4]F. H. Clarke，Optimization and non-smooth analysis [M]. Wiley，New York，1983.endprint