朱浩瑋，張 飛，張西錦，任慶軍，孫洪春

（臨沂大學理學院，山東 臨沂276005）

引言

從世界范圍來看，企業(yè)經(jīng)營面臨的外部環(huán)境發(fā)生了巨大變化，越來越體現(xiàn)出“多樣化、個性化”特征．企業(yè)之間的競爭，已經(jīng)由過去的相對簡單、靜態(tài)、緩和轉(zhuǎn)變到如今的較為復雜、動態(tài)和激烈．隨著全球經(jīng)濟一體化和區(qū)域經(jīng)濟集聚化趨勢的不斷加強，企業(yè)逐漸認識到：僅憑某個企業(yè)的資源和能力，走內(nèi)部挖潛道路，已經(jīng)很難在激烈的市場競爭中長久地立于不敗之地．“在全球性的市場中‘完全損人利己的時代已經(jīng)結(jié)束’，為了競爭必須合作．”（喬爾·布利克，1998），使企業(yè)雙贏乃至多贏成為可能．

供應鏈網(wǎng)絡(luò)管理，主要用于研究供應鏈上企業(yè)的布局、競爭和合作等問題．已成為現(xiàn)代物流研究的一個熱門課題，引起了國內(nèi)外許多學者濃厚的研究興趣（參看綜述文獻［1，2］）．Nagur ney等［3］建立了三層供應鏈網(wǎng)絡(luò)均衡變分不等式模型．Dong等［4］研究了擁有隨機需求的有限維變分不等式為供應鏈網(wǎng)絡(luò)模型．Cheng等［5］基于Wardrop均衡原理建立了多產(chǎn)品的供需網(wǎng)絡(luò)均很模型．徐兵等［6］研究了產(chǎn)品隨機選擇下的多商品流供應鏈網(wǎng)絡(luò)均衡模型．滕春賢等［7，8］研究了隨機需求下供應鏈網(wǎng)絡(luò)均衡問題以及供應鏈網(wǎng)絡(luò)均衡模型．Choi等［9］研究了價格競爭環(huán)境下的產(chǎn)品定位問題，并構(gòu)建了具有優(yōu)化結(jié)構(gòu)的均衡模型．

供應鏈網(wǎng)絡(luò)管理具有典型的層次性，供應鏈網(wǎng)絡(luò)中上下層之間的競爭和合作問題是供應鏈管理中研究的重要問題．供應鏈網(wǎng)絡(luò)中的上下層之間常常既具有競爭也有合作的博弈關(guān)系．因為處于上層的決策者通常處于主導地位，而處于下層的決策者在上層給出決策參數(shù)后，分別選擇自己的最佳決策，下層決策者又是追求個體利益最大化的獨立經(jīng)濟主體，處于非合作博弈狀態(tài)，最終達到某種均衡態(tài)．這樣在供應鏈網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，就同時具有了上下層之間的競爭合作博弈關(guān)系和下層成員之間的非合作博弈關(guān)系，如何刻畫供應鏈網(wǎng)絡(luò)中的這種關(guān)系，進而揭示出供應鏈網(wǎng)絡(luò)中處于上下層的成員間的競爭和合作關(guān)系就顯得尤為重要．

本文利用均衡理論和二層規(guī)劃理論，對具有一個制造商和多個零售商的供應鏈網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進行了研究，分析了同層零售商之間的競爭行為以及制造商和零售商之間的競爭合作關(guān)系，構(gòu)建了二層供應鏈網(wǎng)絡(luò)的互補模型，并提出了求解該模型的一個新算法，在較寬松的條件下，證明了所給算法的全局收斂性和二次收斂率．本文的研究對分析供應鏈成員間的競爭和合作等問題具重要的理論和實際意義．

1 互補模型的構(gòu)建

在供應鏈網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中，假設(shè)有一個制造商和多個零售商，制造商處于占主導的地位，零售商屬于跟隨者，顧客在零售商處購買的產(chǎn)品數(shù)量是隨機的．

1．1 零售商的最優(yōu)性條件

以單個銷售季為研究對象，令Dj表示零售商j的隨機需求量，是隨機變量，F(xiàn)j為隨機需求的分布函數(shù)，fi為相應的密度函數(shù)，且μj表示數(shù)學期望需求量，即μj＝E（Dj）．假定零售商j處的零售價格為pj，用表示零售商j同制造商交易時所發(fā)生的交易成本．令Sj表示零售商的期望銷售量，用qj表示制造商送給零售商j的產(chǎn)品量，則

令I(lǐng)j表示零售商j沒有銷售完的期望剩余庫存，假定這些剩余的產(chǎn)品在銷售季末將以單位價格vj處理，則

令Lj表示零售商j處供不應求時的缺貨量，則：

如果發(fā)生缺貨，則顧客會空手而歸以至于零售商和整個行業(yè)遭受一定商譽損失．用grj表示零售商處的缺貨對零售商j造成的商譽損失成本．

基于以上分析，為實現(xiàn)零售商的利潤最大，其利潤等于其收益減去相應的成本，用πj表示零售商j的利潤，則有

由（2）、（3）、（4），得

其中制造商給零售商j的批發(fā)價格記為w1j，j＝1，···，n．

假設(shè)每一個零售商將在他的競爭對手達到最優(yōu)狀態(tài)下做出自己的定購量．由假設(shè)，零售商的成本函數(shù)為連續(xù)可微的凸函數(shù)，則所有零售商達到均衡就等價為如下問題，即求解q∈，滿足

1．2 制造商的最優(yōu)性條件

由（3），則

1．3 基于供應鏈網(wǎng)絡(luò)的企業(yè)競爭與合作模型

對整個供應鏈網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)而言，制造商處于供應鏈網(wǎng)絡(luò)的上層占主導地位，首先給出批發(fā)價格．處于供應鏈網(wǎng)絡(luò)下層的零售商再根據(jù)上層制造商的批發(fā)價格，確定其最優(yōu)的訂購量，處于下層的各個零售商屬于非合作博弈，繼而達到均衡態(tài)．

上層為制造商的利潤最大化問題：

下層所有零售商達到均衡狀態(tài)等價為如下問題，即，對給定的w1∈Rn＋使得

因此，基于供應鏈網(wǎng)絡(luò)的企業(yè)競爭與合作模型：

顯然，（10）等價于下面的互補問題，即求解q∈Rn＋使得

其中q＝（q1，q2，···，qn）T，w1＝（w11，w12，···，w1n）T，

下面，為給出（12）的一個等價轉(zhuǎn)化，首先給出下面的Fischer函數(shù)［10］，其定義為φ：R2→R1且φ（a，b）＝且有下面性質(zhì)：

同時，Tseng［11］也給出了下面的結(jié)論

因此，對任意向量a，b∈Rn，定義一個向量函數(shù)

基于以上分析，（12）等價于等式Φ（q，H（q，w1）＝0．（11）等價的轉(zhuǎn)化為：

為進一步等價轉(zhuǎn)化（15）為一互補問題，對給定的向量函數(shù)Θ給出B－次微分的定義和計算方法．

定義2．1［12］設(shè)Θ：Rn→Rm為Rn上局部Lipschit z連續(xù)函數(shù)，則其B－次微分定義為?BΘ（x）＝，對于所有的k，Θ（x）在xk處可微｝．

Clar ke（［12］）廣義Jocobian微分定義為B－次微分的凸包，即?Θ（x）＝co?BΘ（x）．借助B－次微分的定義給出半光滑和強半光滑的定義．

定義2．2［12］局部Lipschit連續(xù)向量函數(shù)Θ：Rn→Rm在x∈Rn半光滑，若極限對任意h∈Rn存在．

易知，若函數(shù)Θ在x點半光滑，則Θ在x點沿任意方向h∈Rn的方向?qū)?shù)都存在．下面是關(guān)于半光滑函數(shù)的性質(zhì)［13］．

定理2．1［13］設(shè)Θ：Rn→Rm為局部Lipschit Q連續(xù)函數(shù)且半光滑，則如下結(jié)論成立：

a）對任意V∈?Θ（x＋h），h→0，Vh－Θ′（x；h）＝O（‖h‖）；

b）對任意h→0，Θ（x＋h）－Θ（x）－Θ′（x；h）＝O（‖h‖）．

半光滑函數(shù)介于Lipschitz函數(shù)和連續(xù)可微函數(shù)之間，連續(xù)可微函數(shù)與凸函數(shù)都是半光滑函數(shù)，比半光滑稍強的概念是強半光滑．

定義2．3［13］函數(shù)Θ：Rn→Rm稱為在x點強半光滑，若Θ在x半光滑，且對任意V∈?Θ（x＋h），h→0有Θ（x＋h）－Θ（x）－Vh＝O（‖h‖2）．

下面討論向量值函數(shù)φ（x，y）＝（φ（x1，y1），φ（x2，y2），．．．，φ（xn，yn））的微分性質(zhì)．特別地，給出φ（x，y）關(guān)于（x，y）的Clar ke廣義Jacobian矩陣的估計．為了方便，用?φ（x，y）表示φ（x，y）關(guān)于（x，y）∈R2n的Clar ke廣義Jacobian矩陣，類似于文獻［14］中命題3．1的討論，有如下結(jié)論．

引理2．1［14］對任意（x，y）∈R2n，?Ψ（x，y）?（Da，Db），其中

ai＝ξi－1，bi＝ηi－1，對任意（ξi，ηi）∈R2使得‖（ξi，ηi）‖≤1，若＋＝0基于以上分析，（15）的KKT條件為：存在λ1∈R2n，λ2∈R2n使得

令

則（17）等價于下面的互補問題，求一向量Q∈R4n使得

當上層的制造商給出批發(fā)價格以后，下層的零售商以上層制造商的批發(fā)價格為參數(shù)，進行非合作博弈，繼而達到均衡狀態(tài)，下層的零售商再把均衡解（訂購量）反饋給上層的制造商，制造商最后選擇自己的最優(yōu)方案．

2 模型的算法及收斂性

對于實際問題，可用多項式進行曲線擬合，因此，模型（18）中的映射函數(shù)可假設(shè)為多項式函數(shù)，且要求在一個有界區(qū)域內(nèi)求解．因此，在f（Q）是一個多項式函數(shù)和Q有界的假設(shè)下，給出求解（18）的一個新算法，并證明算法的全局收斂性和二次收斂率．為此首先建立（18）的誤差界．

定理3．1 假設(shè)f（Q）是一個多項式函數(shù)，且次數(shù)為正整數(shù)s≥1，對給定的正常數(shù)ρ，存在一個常數(shù)η1＞0使得dist?Q，‖Q‖≤ρ，其中r（Q）＝‖min｛Q，f（Q）｝‖，dist（Q，X＊）表示任給點Q到解集合X＊的距離．

證明 假設(shè)命題不成立，則存在序列｛Qk｝，對于任意的正整數(shù)k，皆有

即

其中‖Qk‖≤ρ．因序列｛Qk｝有界，且r（Q）是連續(xù)的，結(jié)合（19），有r（Qk）→0，k→∞，同時序列｛Qk｝存在收斂的子序列｛Qki｝，不妨設(shè)其中因f（Q）是一次數(shù)為S的多項式函數(shù)，因此，有

式中，β是一個正常數(shù)．另外，由（19），有：

這與（20）矛盾，所以命題結(jié)論成立．

基于（14），系統(tǒng)（18）等價轉(zhuǎn)化為下面等式

Φ（Q，f（Q））＝（φ（Q1，f1（Q）），φ（Q2，f2（Q）），…，φ（Qn，fn（Q））T＝0．

顯然，利用（13）和定理3．1，易有下面結(jié)論成立．

定理3．2 假設(shè)f（Q）是一個多項式函數(shù)，且次數(shù)為正整數(shù)s≥1，對給定的正常數(shù)ρ，存在一個常數(shù)η2＞0使得dist（Q，X＊）≤η2‖Φ（Q）‖，｜Q｜≤ρ．

下面，給出函數(shù)ρ：R＋→R，

定理3．3 假設(shè)f（Q）是一個多項式函數(shù)，且次數(shù)為正整數(shù)s≥1，對給定的正常數(shù)ρ，存在一個常數(shù)c1＞0，使得dist（Q，X＊）≤c1Ψ（‖Φ（Q）‖），‖Q‖≤ρ．

其中Ψ（φ（Q））＝（Ψ（｜φ（Q1，f1（Q））｜），Ψ（φ（Q2，f2（Q））），···，Ψ（φ（Qn，fn（Q）））2）T，c1＝η2．

基于定義2．3和（22）和（23），利用定義2．3，有如下結(jié)論．

定理3．4［14，15］對于（22）和（23）定義的向量函數(shù)F和實值函數(shù)，如下結(jié)論成立

下面，給出求解問題（18）的一個收斂算法，并且利用建立的誤差界結(jié)果，在不要求存在非退化條件下，證明所給光滑算法的二次收斂性．

算法3．1

步1：選取初始點Q0，參數(shù)σ，β，γ∈（0，1）和ε≥0，令k＝0．

步3：任選Hk∈?F（Qk），取dk為以下線性方程組的解

其中μk＝σ‖F(xiàn)（Qk）‖2．

步4：令mk為滿足如下條件的最小非負整數(shù)

令Qk＋1：＝Qk＋γmkdk，k：＝k＋1，轉(zhuǎn)步2．

容易證明dk為F（Q）在Q的下降方向，故算法3．1是有定義的．顯然，若▽F（Qk）＝0，則Qk為穩(wěn)定點，從而在適當?shù)臈l件下，Qk為（18）的解．在下面的算法收斂性分析中，假設(shè)算法3．1產(chǎn)生一個無窮點列，即Qk不是穩(wěn)定點．

定理3．5 設(shè)｛Qk｝為算法3．1產(chǎn)生無窮點列，則｛Qk｝的任一聚點都是下面問題的穩(wěn)定點．

證明：設(shè)Q＊為｛Qk｝的任一聚點，則存在無窮子列K?｛1，2，…｝使得｛Qk｝K→Q＊．由次微分的上半連續(xù)性可知，｛Hk｝k∈K有界．不妨設(shè)相應的子列

｛（Hk）｝K→H＊，｛μk｝K→μ＊，

從而有｛（Hk）THk＋μkI｝K→（H＊）TH＊＋μ＊I．

定理3．6 假設(shè)算法3．1產(chǎn)生的序列為｛Qk｝，當Qk充分的靠近F（Q）＝0的解Q＊，則有｛dist（Qk，X＊）｝二次收斂到0，即序列｛Qk｝二次收斂到∈X＊．

注：定理3．1表明在不要求存在非退化條件下，所給的光滑算法具有二次收斂性，這是一個新的結(jié)果．

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