程 杰，張 蘭

( 重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶401331)

混沌同步在物理、保密通信、生物系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用前景．近年來(lái)，脈沖控制被廣泛應(yīng)用于混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定與同步［1－5］，該種控制方法有以下優(yōu)點(diǎn):控制器的設(shè)計(jì)較簡(jiǎn)單，控制裝置所需成本低，控制時(shí)所需能量少等．然而，在有關(guān)脈沖同步的文獻(xiàn)中大多數(shù)是考慮脈沖完全同步和投影同步．2007 年，Li［6］把完全同步和投影同步推廣到修正投影同步．當(dāng)修正投影同步中的同步比例因子α1，α2，a3，α4分別取α1=α2=α3=α4=1 和α1=α2=α3=α4時(shí)即為完全同步和投影同步．

自1979 年以來(lái)一系列的超混沌系統(tǒng)被提出來(lái)，如超混沌Chen 系統(tǒng)、超混沌Lü 系統(tǒng)、超混沌Lorenz 系統(tǒng)等．2009 年，劉明華、馮久超［7］提出了一個(gè)新的超混沌系統(tǒng):

其中x1，x2，x3，x4是狀態(tài)變量，當(dāng)參數(shù)a=35，b=3，c=35，而d∈(4．6，29．2］和d∈(33．5，53．7］時(shí)，系統(tǒng)(1)有兩個(gè)正的Lyapunov 指數(shù)，是超混沌系統(tǒng)．

本文對(duì)超混沌系統(tǒng)(1)進(jìn)行脈沖控制后得到脈沖微分系統(tǒng)，然后運(yùn)用脈沖比較系統(tǒng)方法，得到了脈沖修正投影同步的充分判據(jù)．

1 基本定義與預(yù)備知識(shí)

一個(gè)脈沖微分系統(tǒng)如下描述［8］:

這里X∈Rn是狀態(tài)變量，f:R+×Rn→Rn連續(xù)，Ui:Rn→Rn是狀態(tài)變量在時(shí)間瞬時(shí)τi的改變換言之和分別定義為τi前后的瞬時(shí)．{τi:i=1，2，…}滿(mǎn)足當(dāng)i→∞時(shí)．

2 主要結(jié)果

把方程(1)所刻畫(huà)的混沌系統(tǒng)的線(xiàn)性部分與非線(xiàn)性部分分開(kāi)，重寫(xiě)如下:

這里x=(x1，x2，x3，x4)T，且:

在脈沖同步構(gòu)造模型中，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)由(3)式確定，由于在離散時(shí)刻τi(i=1，2，…)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量被傳送到響應(yīng)系統(tǒng)，因此響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)變量會(huì)經(jīng)歷一個(gè)瞬時(shí)的跳躍．所以受控的響應(yīng)系統(tǒng)為:

{τi:i=1，2，…}滿(mǎn)足:

令φ(x，y)=φ(x)－αφ(y)，則:

則脈沖投影同步的誤差系統(tǒng)為:

由于混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量是有界的，因此存在正數(shù)Mi(i=1，2，3，4)使得|xi(t)|≤Mi，|yi(t)|≤Mi對(duì)所有的t成立，從而有如下定理．

或者:

則誤差系統(tǒng)(8)的平凡解是漸近穩(wěn)定的，也蘊(yùn)含著系統(tǒng)(3)與(5)的脈沖修正投影同步是漸近穩(wěn)定的．

證明 取Liapunov 函數(shù)V(t，e)=eTe，當(dāng)t≠τi時(shí)，有:

當(dāng)t=τi時(shí)，有:

由文獻(xiàn)［9］可知系統(tǒng)(8)的漸近穩(wěn)定性可由如下比較系統(tǒng)來(lái)判定:

其中，上述兩不等式成立的原因是因?yàn)槎ɡ碇械牟欢ㄊ?9)和(10)，因此由文獻(xiàn)［9］中的相應(yīng)定理可知系統(tǒng)(8)的平凡解是漸近穩(wěn)定的．

注1 :若令:

則可得:

這表明當(dāng)同步因子α=diag(α1，α2，α3，α4)滿(mǎn)足方程(12)時(shí)，不需要控制器U也能夠?qū)崿F(xiàn)脈沖修正投影同步，從而本文所給方法可以看做是脈沖完全同步的推廣(α4≠0)．

注2:通過(guò)定理1，可估計(jì)出脈沖間隔Δ2的上界:

3 結(jié)論

本文研究了一個(gè)新超混沌系統(tǒng)的脈沖控制與修正投影同步問(wèn)題，在脈沖間隔變化的情況下得到了保證脈沖控制系統(tǒng)修正投影同步的充分判據(jù)，也可得到脈沖區(qū)間Δ 的上界估計(jì)．

［1］ Yang T，Yang L B，Yang C M．Impulsive synchronization of Lorenz systems［J］．Phys Lett A，1997，226(6):349－354．

［2］ 羅潤(rùn)梓．一個(gè)新混沌系統(tǒng)的脈沖控制與同步［J］．物理學(xué)報(bào)，2007(56):5655－5660．

［3］ Zhao Y H，Yang Y Q．The impulsive control synchronization of the drive－response comples system［J］．Physics Letters A，2008，372:7165－7171．

［4］ Liu G M，Ding W．Impulsive synchronization for a chaotic system with channel time delay［J］．Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2011，16:958－965．

［5］ Sun Jitao，Wu Qidi．Impulsive control for the stabiliztion and synchronization of Lure system［J］．Applied Mathematics and Mechanics，2004，25(3):291－296．

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