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        廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的一組含參數(shù)充分條件

        2015-12-09 02:16:20肖麗霞韓貴春
        關(guān)鍵詞:充分條件對(duì)角廣義

        肖麗霞,韓貴春

        (內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古 通遼028000)

        廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣(非奇異H-矩陣)在計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)、控制論等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用.近年來,對(duì)廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣判別方法的研究已取得了一系列研究成果[1-9].本文所提出的判別方法是在文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn),得到了新的含參數(shù)的充分條件.

        設(shè)矩陣A=(aij)∈Cn×n為n階復(fù)(實(shí))方陣,N={1,2,…,n},α∈[0,1],記:

        定義1[2]設(shè),若存在α∈[0,1],使得,則稱A為α-對(duì)角占優(yōu)矩陣,記為

        定義2[2]設(shè),若存在α∈[0,1],使得,則稱A為嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣,記為A∈D(α).

        定義3[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若存在正對(duì)角矩陣X,使得AX∈D(α),則稱A為廣義嚴(yán)格α-對(duì)角占優(yōu)矩陣,記為A∈D*(α).

        引理1[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若A∈D(α),α∈[0,1],則A∈D*.

        引理2[3]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若A∈D0(α),α∈[0,1],A不可約且N1≠?,則A∈D*.

        引理3[2]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若A∈D0(α),α∈[0,1],且?i∈N3,都有非零元素鏈aik1,ak2k3,…,akpj,使得j∈N1,則A∈D*.

        引理4[4]設(shè)A=(aij)∈Cn×n,若存在正對(duì)角矩陣X,使得AX∈D*,則A∈D*.

        1 主要結(jié)果

        令α∈[0,1],為敘述方便,引進(jìn)下列記號(hào):

        其中若N2={j}或N2=?,令;同理若N1={i}或N1=?,令

        定理1 設(shè)A=(aij)∈Cn×n,且N1,N2≠?,若?i∈N1,?j∈N2,滿足:

        則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

        證明 令:

        構(gòu)造正對(duì)角矩陣X1=diag(d1,d2,…,dn),并記BAX1=(bij),其中:

        對(duì)?i∈N1,可得:

        對(duì)?j∈N2,若,根據(jù)式(1)可得:

        定理2 設(shè)不可約矩陣A=(aij)∈Cn×n,且N1,N2≠?,若?i∈N1,?j∈N2,滿足:

        且上式至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立,則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

        證明 如同定理1 的證明過程,記Mi,mj,且當(dāng)時(shí),令mj= +∞. 由式(2)知:Mi≤mj,?i∈N1,?j∈N2,因此存在η,使

        構(gòu)造正對(duì)角矩陣X2=diag(d1,d2,…,dn),并記BAX2=(bij),其中:

        類似于定理2 的推證過程可得:

        且至少有一個(gè)嚴(yán)格不等式成立.又由A不可約,可得B不可約,所以B為不可約α-對(duì)角占優(yōu)矩陣.由引理2可知B=AX2∈D*,其中X2為正對(duì)角矩陣,根據(jù)引理4,則A∈D*,因此矩陣A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

        則記N'1={i1,i2,…,il},N'2={j1,j2,…,jk},其中N'1?N1,N'2?N2,Mi,mj如定理1 證明中定義

        定理3 設(shè)A=(aij)∈Cn×n,且N1,N2≠?,若?i∈N1,?j∈N2,滿足:

        證明 如同定理2 的證明,可得:

        其中:

        成立,

        成立,則B為非零元素鏈對(duì)角占優(yōu)矩陣.根據(jù)引理3,B=AX2∈D*,其中X2為正對(duì)角矩陣,根據(jù)引理4,則A∈D*,因此矩陣A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

        2 數(shù)值算例

        所以矩陣A滿足定理1 的條件,為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣. 根據(jù)文獻(xiàn)[1]中定理1,l1=1,r1=2,l2=1,r2=19,因?yàn)?

        不滿足文獻(xiàn)[1]中定理1 的條件,所以矩陣A無法用文獻(xiàn)[1]中定理1 判定.又因?yàn)?

        不滿足文獻(xiàn)[5]中定理2 的條件,所以矩陣A無法用文獻(xiàn)[5]中定理2 進(jìn)行判定.

        [1] 高中喜,黃廷祝.非奇異H-矩陣的充分條件[J].?dāng)?shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),2005,25A(3):409-413.

        [2] 孫玉祥.廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的充分條件[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1997,19(3):216-223.

        [3] 謝清明.判定廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的幾個(gè)充分條件[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2006,23(4):757-760.

        [4] Berman A,Plemmons R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences[M].Philadelphia:SIAM Press,1994.

        [5] 黃廷祝.非奇H矩陣的簡(jiǎn)捷判據(jù)[J].計(jì)算數(shù)學(xué),1993,15(3):318-328.

        [6] 孫德淑.非奇異H-矩陣的判定準(zhǔn)則[J].溫州大學(xué)學(xué)報(bào),2009,30(3):18-21.

        [7] 肖麗霞,張俊麗.非奇異H-矩陣新的含參數(shù)細(xì)分迭代判別法[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2014,30(4):386-392.

        [8] 周偉偉,徐仲,陸全,等.非奇H-矩陣的迭代判定準(zhǔn)則[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,30(5):715-720.

        [9] 張俊麗,韓貴春.非奇異H矩陣的一類判定條件[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,32(2):144-147.

        [10] 肖麗霞.非奇異H矩陣新的迭代判定法[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,32(4):390-392.

        [11] 楊亞芬,梁茂林.非奇異H矩陣判定的充分條件[J].蘇州科技學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2012,29(3):29-31,50.

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