肖 磊，明興祖，劉金華，高 欽，龍 譽

（湖南工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

面齒輪磨削溫度建模仿真與分析

肖 磊，明興祖，劉金華，高 欽，龍 譽

（湖南工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，湖南 株洲 412007）

根據(jù)橢圓接觸理論，得出碟形砂輪磨削面齒輪時的基本磨削參數(shù)，并建立了有限元模型，采用矩形分布熱源對面齒輪磨削熱進行模擬，得出其磨削溫度場。由該模擬結(jié)果得出碟形砂輪磨削時的溫度變化規(guī)律為：沿齒長方向近心端和沿齒高方向相對接近齒根區(qū)域時，面齒輪的磨削溫度逐漸升高。同時，利用紅外測溫儀對實際機齒輪磨削溫度進行測量，將所得結(jié)果與有限元分析結(jié)果進行對比，發(fā)現(xiàn)各磨削點的誤差分析結(jié)果均在5%～20%，并且溫度越高，誤差越小，從而驗證了橢圓接觸理論在面齒輪磨削熱研究中的可行性。

橢圓接觸理論；面齒輪磨削；溫度場點磨削；有限元仿真

0 引言

面齒輪是一種新型的齒輪傳動方式，具有承載能力強、結(jié)構(gòu)緊湊、質(zhì)量輕、互換性高、安裝調(diào)試簡易、傳動振動與噪聲小、動力分流效果好等優(yōu)點[1]?，F(xiàn)已被廣泛應(yīng)用于交通、國防和各種高端設(shè)備傳動等領(lǐng)域中[2]。而為了能保證其傳動作用得到更好的應(yīng)用，對面齒輪的磨削技術(shù)水平提出了越來越高的要求。

面齒輪磨削技術(shù)主要是對磨齒齒面的加工，加工后的齒輪表面性能決定著齒輪的實用功能性。對面齒輪齒面進行磨削的過程中，溫度是反映其磨削過程質(zhì)量的一個重要指標(biāo)。到目前為止，有許多科研工作者為磨削溫度場的研究提供了大量的寶貴資料。最早的是J. C. Jaeger[3]提出的矩形熱源理論，這是溫度場分析最基礎(chǔ)的研究單元；之后，貝季瑤[4]提出了三角形熱源模型，豐富了研究單元的類型；隨后，孟國慶等[5]推出了一維、二維導(dǎo)熱模型的磨削溫度解析式，并且在此基礎(chǔ)上計算出了干磨和濕磨狀態(tài)下磨削溫度場的解析式，這對面齒輪的溫度研究做出了重大的理論突破。

目前，國內(nèi)外對于面齒輪高速磨削方面都有一定的研究，但對于面齒輪數(shù)控磨齒溫度場[6]的具體研究分析卻未見報道。因此，本文以Gleason接觸原理在面齒輪碟形砂輪磨削中的應(yīng)用作為理論依據(jù)[7]，應(yīng)用橢圓接觸理論，并且選用格里森技術(shù)，根據(jù)局部共軛原理[8]得到面齒輪的磨削基本參數(shù)；同時，對碟形砂輪磨削面齒輪時的磨削溫度場進行理論分析與仿真[9]，以證明橢圓接觸理論應(yīng)用的正確性。最后，通過磨削溫度試驗[10]對溫度場的仿真進行了證明，為進一步研究面齒輪溫度場和應(yīng)力應(yīng)變場提供一定的理論參考。

1 橢圓接觸理論

由面齒輪蝶形砂輪磨削原理可知，蝶形砂輪在磨削過程中與面齒輪的接觸方式為點接觸磨削，從而可由Gleason接觸原理得出砂輪磨削接觸點瞬時接觸為橢圓接觸。因此，可通過橢圓上的各個參數(shù)點的計算來表示兩接觸齒面上的各個參數(shù)數(shù)據(jù)。砂輪磨削接觸點瞬時接觸橢圓如圖1所示，它以橢圓的中心為磨削點，橢圓長半軸a、短半軸b分別為面齒輪磨削接觸弧長和磨削接觸寬度。

圖1 瞬時接觸橢圓Fig. 1 The instant contact ellipse

1.1 主曲率與主方向夾角的計算

根據(jù)微分幾何與齒輪嚙合原理[11]，可設(shè)齒面方程為r = r(x, y, )。根據(jù)曲面論可知，光滑曲面的基本幾何量為第一基本二次型和第二基本二次型，這是計算面齒輪磨削時的主曲率與主方向夾角的基礎(chǔ)，所以可先求出其主曲率。

曲面在任意一點處的彎曲程度，可以用曲面在此點臨近處離開曲面切平面的程度來衡量。所以在曲面上任意一點，其各個方向的法曲率不同，本研究取它的2個極值點作為該點的主曲率。

曲面上任意一點的法曲率公式如下：

再由向量夾角公式，可求得主方向的夾角。

1.2 接觸橢圓方程的建立

面齒輪磨削加工過程中，可通過磨削力引起的齒面接觸彈性變形量、磨削深度及齒輪接觸時的彈性變形量，確定蝶形砂輪磨削時的瞬時接觸橢圓方程[12]。本研究中兩齒面的接觸橢圓如圖2所示。

圖2 兩齒面的接觸橢圓Fig. 2 Two tooth contact ellipse

由此可以得出橢圓長半軸a、短半軸b的計算公式如下：

式（8）中：ap為磨削深度；

2 磨削基本參數(shù)

磨削基本參數(shù)主要包括磨削切向力、磨削熱流密度和接觸弧長。

2.1 磨削切向力

磨削切向力Ft可由式（9）所示經(jīng)驗公式[13]得出：

式（9）中：Fp為單位磨削力；

bd為磨削加工寬度；

2.2 磨削熱流密度

運用JAEGER熱源理論，可知在面齒輪磨削熱載荷分析中，采用呈矩形分布的熱源比呈三角形分布的熱源更有利于試驗的進一步分析與計算。因此，可以據(jù)此計算出其移動式熱源在磨削過程中的熱流密度q，其計算公式為

式（10）中：b*為理論接觸寬度；

vw為展成速度；

vs為砂輪切向速度；

Rw為輸入工件的熱量分配比例，其中，水基磨削液的Rw為0.65；

lk為磨削接觸弧長。

3 磨削溫度場有限元仿真分析及其試驗驗證

3.1 磨削溫度場有限元仿真分析

本文所采用的面齒輪模型仿真參數(shù)見表1。

表1 正交面齒輪主要參數(shù)Table 1 Main parameters of orthogonal face gear

面齒輪的材料為18Cr2Ni4WA，其在磨削溫度場的工藝參數(shù)如表2所示，且采用水基磨削液逆磨。

表2 面齒輪磨削溫度場工藝參數(shù)Table 2 Grinding temperature field parameters of orthogonal face gear

根據(jù)旋轉(zhuǎn)投影面齒面網(wǎng)絡(luò)沿齒長方向進行九等分、齒高方向五等分，對得到的45個交點進行測溫試驗。由于面齒輪齒面形狀復(fù)雜，同時磨削參數(shù)（如磨削接觸弧長、熱流密度、磨削寬度等）在每個點的位置都不相同，所以選取具有代表性的5個點進行分析[14]，選取的測溫點如圖3所示。

圖3 測溫點分布示意圖Fig. 3 Schematic diagram of temperature measurement points

下面以A點為例描述其計算過程與結(jié)果。

根據(jù)公式（8）可得：

磨削接觸弧長lk=a=0.668 2 mm；

磨削寬度be=b=0.522 4 mm。

由干磨式熱量分配系數(shù)計算公式可知，磨削區(qū)的熱量分配系數(shù)為：

re為磨粒接觸有效半徑。

為了使仿真模型簡化后不影響后續(xù)結(jié)果，做出以下假設(shè)：

1）工件材料各向同性，且其屬性不隨溫度的改變而發(fā)生變化；

2）不考慮碟形砂輪在磨削過程中的磨損；

3）磨削過程中不考慮輻射。

通過面齒輪的插齒原理，并利用Matlab編程，得到面齒輪的齒面方程，再將其導(dǎo)入proe生成面齒輪模型，然后將其igs文件導(dǎo)入Ansys軟件中進行有限元分析。Ansys軟件中需要進行如下參數(shù)設(shè)定：設(shè)定瞬態(tài)溫度分析，設(shè)定初始條件，定義材料屬性，加載熱約束條件和熱載荷大小及載荷步。利用磨削接觸弧長lk得到q的加載時間，t=lk/vw=0.003 4 s；同時，為了方便后續(xù)分析與計算，取每個載荷步時間為0.000 68 s，分5步進行。由公式計算，可以得出磨削時產(chǎn)生的熱流量的大小。注意施加熱流量載荷時，應(yīng)將其加載在磨削時的等效中心節(jié)點上進行模擬分析，并且在面齒輪的幾個選取點分別進行干磨分析。經(jīng)過求解，得到如圖4所示的有限元分析模型。

圖4 面齒輪的有限元分析模型Fig. 4 The finite element analytical model of orthogonal face gear

因為本研究中主要分析其中一個面的溫度變化情況，所以對于單個面齒輪輪齒的模型采用整體自由網(wǎng)格劃分，并對要進行磨削溫度分析的齒面進行參數(shù)為0.2的密化。以此獲取較高的精度解，同時可減少運算量。

經(jīng)求解后，得到了各測試點的磨削溫度場，具體如圖5所示。

圖5 不同磨削點磨削溫度場云圖Fig. 5 Cloud chart of grinding temperature fields of different grinding points

在碟形砂輪磨削面齒輪時，采取干磨方式，在vw=1 m/min，ap=0.02 mm，vs=20.6 m/s的磨削工藝參數(shù)條件下，求解得到各點的齒面最高溫度分別如下：A點為122.827 ℃，B點為321.161 ℃，C點為297.926 ℃，D點為220.398 ℃，E點為317.784 ℃。各最高溫度均處于磨削熱源的中心區(qū)域[15]，這與矩形熱源分布的規(guī)律相吻合。所選取的各磨削點的具體溫升變化情況如圖6所示。

圖6 面齒輪A～E各點最大溫度曲線圖Fig. 6 The maximum temperature curves of each point A～E

由圖6可以看出，面齒輪各磨削點處的溫度均隨著時間的延長而增大。這是由于：在極短的時間內(nèi)，砂輪與齒輪磨削區(qū)域接觸所產(chǎn)生的熱量非常大，熱量來不及散開而堆積在齒輪表面，所以齒輪表面的磨削溫度很高。另一方面，由于點磨削最先開始的是劃擦和耕犁階段，其中主要發(fā)生的是彈性變形，所以溫度上升的趨勢比較明顯，而后半段則是產(chǎn)生大量磨削的過程，在磨削的過程中，磨削帶走了大部分熱量，所以溫度變化較為平緩。

對齒長方向的A,B,C點的磨削溫度進行比較，結(jié)果如圖7所示。

圖7 沿齒長方向的磨削點溫度變化Fig. 7 Grinding point temperature changing along the tooth length

由圖7可知，磨削點B的升溫速率明顯比點A快，這是由于在近心端，齒面曲率降低，導(dǎo)致橢圓接觸面積增大，因而導(dǎo)入工件的熱量上升。通過對磨削點A, B, C的分析可知，面齒輪沿齒長方向的磨削溫度為整體上升趨勢，從磨削點A到磨削點C，曲率的變化比較大，所以顯示出上升幅度比較快，而從磨削點C到點B的過程中，其面齒輪齒面曲率變化趨于平緩，說明磨削溫升比較慢。

對齒高方向的磨削點D, C, E的磨削溫度進行比對分析，結(jié)果如圖8所示。

圖8 沿齒高方向的磨削點溫度變化Fig. 8 Grinding point temperature changing along the tooth height

由圖8可知，通過對磨削點D, C, E的對比分析，在面齒輪沿齒高方向的磨削溫度整體呈上升趨勢，磨削點E的升溫速率明顯比點D快，這是由于在齒根處，齒面曲率降低，從而導(dǎo)致橢圓接觸面積增大，導(dǎo)入工件的熱量上升。

同時，對比齒長方向的溫度變化可以發(fā)現(xiàn)，由于齒高方向的齒面曲率變化比較小，所以沿齒高方向的溫度變化沒有沿齒長方向的變化明顯。

3.2 磨削溫度試驗驗證

本研究使用型號為SCIT-3（包含一個XST儀表，一個測頭，CIT-3AXXT）的低溫紅外測溫儀測量面齒輪的磨削溫度，測量距離系數(shù)為15:1，測量范圍為0～500 ℃。該儀表的工作原理如圖9所示。

圖9 紅外測溫儀表結(jié)構(gòu)圖Fig. 9 Structure diagram of infrared thermometer

面齒輪磨削溫度測試的基本流程如圖10所示。

圖10 測溫流程Fig.10 Temperature measurement process

測量所得各點磨削溫度結(jié)果見表3中的實測值。

表3 溫度數(shù)據(jù)對比Table 3 Temperature data comparison chart

分析表3中的數(shù)據(jù)可知，各磨削點的誤差分析結(jié)果均在5%～20%之間，這是由于蝶形砂輪與面齒輪是相對運動的，在工件表面會產(chǎn)生大量熱量，所以造成實際得到的測量溫度比Ansys有限元分析結(jié)果稍高；同時，溫度越高，誤差越小，這是由紅外測溫儀的波長反饋更為準(zhǔn)確造成的。

由于面齒輪建模齒面是個很復(fù)雜的曲面，其曲面上各個點的參數(shù)不一樣，所以磨削時的情況都不同。當(dāng)需要在其表面施加移動載荷時，會存在一定的誤差，而采用橢圓接觸理論可為分析磨削面齒輪方面提供參考。

4 結(jié)論

本文對面齒輪的磨削溫度場進行了Ansys有限元模擬仿真分析，但對于其移動熱載的施加未進行分析，只對于在同一齒面上的同齒高和同半徑的矩形熱源進行了有限元分析，得出如下結(jié)論：

1）由面齒輪溫度場有限元分析結(jié)果可以得知，碟形砂輪每個磨削點的接觸面積和熱流密度都不相同，其整體趨勢可視為定義為沿齒長方向近心端時，瞬時橢圓接觸面積增加，相應(yīng)的磨削溫度較高；沿齒高方向，相對接近齒根區(qū)域，隨著橢圓接觸面積的增加，磨削溫度升高；而熱流密度的大小變化規(guī)律恰好與其相反。

2）對面齒輪蝶形砂輪磨削有限元分析中，面齒輪在蝶形砂輪磨削時為接觸面積小的點磨削，磨削溫度不是很高，但是在整體磨削過程中，每個點的磨削所產(chǎn)生的熱量不同，因此在面齒輪磨削過程中，齒面的金相組織變化不同。

3）紅外測溫儀對實際磨削溫度的測量結(jié)果表明，各磨削點的測量結(jié)果與有限元分析結(jié)果的誤差均在5%～20%間，并且溫度越高，誤差越小。這一結(jié)果驗證了橢圓接觸理論在面齒輪磨削熱研究中的可行性。

本研究結(jié)論為進一步實現(xiàn)碟形砂輪磨削和提高面齒輪的磨削效率提供了一定的理論基礎(chǔ)。

[1]吳曉鈴，袁麗娟，徐萬里. 中國齒輪傳動的歷史與進展[J]. 機械傳動，2004，28(5)：62-64. Wu Xiaoling，Yuan Lijuan，Xu Wanli. The History and Development of Gear Technology of China[J]. Journal of Mechanical Transmission，2004，28(5)：62-64.

[2]Litvin F L，Wang J C, Bossler R B. Application of Face-Gear Drives in Helicopter Transmissions[J]. Journal of Mechanical Design, Transactions of the ASME, 1994，116 (3)：672-676.

[3]Jaeger J C. Mowing Sources of Heat and the Temperature at Sliding Contacts[J]. Proceedings of Royal Society of New South Wales，1942，76：203-224.

[4]貝季瑤. 磨削溫度的分析與研究[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報，1964(3)：55-71. Bei Jiyao. Analysis and Research of Grinding Temperature[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University，1964(3)：55-71.

[5]孟國慶，李文卓. 磨削溫度場的數(shù)值計算[J]. 現(xiàn)代制造工程，1996(10)：25-27. Meng Guoqing. Li Wenzhuo. Numerical Calculation of Grinding Temperature Field[J]. Modern Manufacturing Engineering，1996(10)：25-27.

[6]王勝偉，何 瑛，何國旗，等. 面齒輪嚙合輪齒本體溫度場影響因素的仿真分析[J]. 湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報， 2014，28(5)：43-49. Wang Shengwei，He Ying，He Guoqi，et al. Simulation Analysis of the Influencing Factors on Face-Gear Tooth Bulk Temperature in Meshing Process[J]. Journal of Hunan University of Technology，2014，28(5)：43-49.

[7]Michele Guingand，Jean-Pierre de Vaujany，Colin-Yann Jacquin. Quasi-Static Analysis of a Face Gear Under Torque [J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，2005，194(39/41)：1-8.

[8]Stardtfeld H J. Handbook of Bevel and Hypoid Gears[M]. New York： Rochester Institute of Technology，1993：190-200.

[9]彭先龍，方宗德，蘇進展，等. 采用碟形砂輪的面齒輪磨齒方法理論分析[J]. 航空動力學(xué)報，2012，27(5)：1159-1165. Peng Xianlong， Fang Zongde，Su Jinzhan，et al. Theory Analysis for Application Grinding Disk in Face Gear Grinding [J]. Journal of Aerospace Power，2012，27(5)：1159-1165.

[10]尤芳怡，徐西鵬. 紅外測溫技術(shù)及其在磨削溫度測量中的應(yīng)用[J]. 華僑大學(xué)學(xué)報 ：自然科學(xué)版，2005，26(4)：338-342. You Fangyi，Xu Xipeng. Applications of Infrared Technique in the Measurement of Grinding Temperatures [J]. Journal of Huaqiao University：Natural Science，2005，26(4)：338-342.

[11]傅則紹. 微分幾何與齒輪嚙合原理[M]. 東營：石油大學(xué)出版社，1999：26-63. Fu Zeshao. Differential Geometry and Meshing Theory of Gears[M]. Dongying：China University of Petroleum Press，1999：26-63.

[12]趙 磊，明興祖，王 偉，等. 基于Matlab的正交面齒輪設(shè)計及可視化分析[J]. 湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2014，28 (5)：38-42. Zhao Lei，Ming Xingzu，Wang Wei，et al. Matlab-Based Orthogonal Face-Gear Design and Visualization Analysis [J]. Journal of Hunan University of Technology，2014，28(5) ：38-42.

[13]劉艷平. 直齒-面齒輪加載接觸分析及彎曲應(yīng)力和接觸應(yīng)力計算方法研究[D]. 長沙：中南大學(xué)，2012. Liu Yanping. Straight Teeth - Face Gear Loaded Contact Analysis and Bending Stress and Contact Stress Calculation Method Research[D]. Changsha：Central South University，2012.

[14]周里群，邱 奕，吳義彬，等. Cr18Mn18N奧氏體不銹鋼磨削過程溫度場及熱應(yīng)力耦合的有限元模擬[J]. 機械工程材料，2014，38(4)：96-99. Zhou Liqun，Qiu Yi，Wu Yibin，et al. FEM Simulation of Temperature Field and Thermal Stress Coupling in Grinding for Cr18Mn18N Austenitic Stainless Steel[J]. Materials for Mechanical Engineering，2014，38(4)：96-99.

[15]聶少武. “奧”制準(zhǔn)雙曲面齒輪的加工調(diào)整計算與齒面誤差測量[D]. 洛陽：河南科技大學(xué)，2009. Nie Shaowu. Machining Adjustment Calculation and Tooth Surface Error Measurement on Austenitic Quasi Hyperbolic Gear[D]. Luoyang：Henan University of Science and Technology，2009.

（責(zé)任編輯：廖友媛）

Modeling and Analysis of Face-Gear Grinding Temperature

Xiao Lei， Ming Xingzu， Liu Jinhua， Gao Qin， Long Yu
（School of Mechanical Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China）

According to the elliptical contact theory , obtained disc wheel basic grinding parameters of gear grinding surface and established finite element model, and using the rectangular distribution of heat for the gear grinding thermal simulation, obtained the grinding temperature field. The results showed that the temperature variation law of the saucer wheel grinding is : along the direction of tooth proximal near heart and along the direction of tooth height relatively close to the root area, the grinding temperature gradually increased. Meanwhile using infrared thermometer to measure actual grinding temperature, compared the measured temperatures with the finite elemental analysis results, found that the error analysis results of all the grinding points were between 20% and 5%, and the higher the temperature, the smaller the error was, verified the feasibility of the ellipse contact theory in the surface gear grinding thermal research.

the elliptical contact theory ；face gear grinding ；point grinding temperature field ；finite element simulation

TH132. 41

A

1673-9833(2015)05-0034-06

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.05.008

2015-07-09

國家自然科學(xué)基金資助項目（51375161），湖南省自然科學(xué)基金資助項目（2015JJ5018）

肖 磊（1990-），男，湖北荊州人，湖南工業(yè)大學(xué)碩士生，主要研究方向為數(shù)字化制造理論與技術(shù)，E-mail：852625057@qq.com