王 煒，周維龍

（1. 湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2. 湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 株洲 412001）

不確定采樣系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定控制器設(shè)計

王 煒1,2，周維龍1

（1. 湖南工業(yè)大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 株洲 412007；2. 湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 株洲 412001）

討論不確定采樣控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定和鎮(zhèn)定問題。通過將采樣控制系統(tǒng)變換為具有分段連續(xù)時滯的線性模型，基于Lyapunov-Krasovskii泛函方法，獲得了系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件，給出了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計方法。最后，數(shù)值例子表明了本方法的有效性；且相比于文獻(xiàn)[6]中所提方法得到的結(jié)果，本方法更優(yōu)越。

采樣控制系統(tǒng)；Lyapunov-Krasovskii泛函；穩(wěn)定和鎮(zhèn)定

0 引言

采樣是數(shù)字控制系統(tǒng)中不可缺少的環(huán)節(jié)，因此采樣控制系統(tǒng)受到了廣大學(xué)者的關(guān)注[1-2]。文獻(xiàn)[3]利用提升技術(shù)方法將原系統(tǒng)等價地變換為有限維離散系統(tǒng)，然后應(yīng)用離散系統(tǒng)的方法設(shè)計鎮(zhèn)定控制器，但當(dāng)采樣時間和系統(tǒng)矩陣參數(shù)具有不確定性時，該方法將不再適用。文獻(xiàn)[4]利用混合離散/連續(xù)模型方法給出了保證系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，這個充要條件是求解一組具有跳躍的微分不等式，但是求解微分不等式組較困難。文獻(xiàn)[5]通過引入分段連續(xù)Lyapunov函數(shù)，在等時間間隔采樣條件下，得到基于矩陣不等式的穩(wěn)定條件，給出了基于迭代算法的控制器設(shè)計方法，然而，對于充分小的采樣周期，這些不等式近乎無解。文獻(xiàn)[6]將輸入控制信號表示為具有分段連續(xù)時變時滯的控制模型，然后利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法獲得基于線性矩陣不等式的穩(wěn)定性條件，然而，這些條件沒有考慮時滯導(dǎo)數(shù)信息，導(dǎo)致結(jié)果具有較大的保守性。

因此，本文討論不確定采樣系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定控制器設(shè)計問題。首先，將控制輸入表示為具有時變分段連續(xù)時滯的連續(xù)時間控制模型，然后構(gòu)造新的Lyapunov-Krasovskii泛函，充分利用時滯導(dǎo)數(shù)信息，獲得了基于LMI的穩(wěn)定性條件，并給出了相應(yīng)的控制器設(shè)計算法。最后，通過一個數(shù)值實例來驗證所提方法的有效性。

1 問題描述

2 主要結(jié)果

本文首先應(yīng)用引理1建立閉環(huán)系統(tǒng)（5）的漸近穩(wěn)定條件，然后給出控制器的設(shè)計方法，最后將結(jié)論推廣到具有時變參數(shù)不確定性的系統(tǒng)。

3 數(shù)值例子

下面本文通過一個數(shù)值例子來說明本方法的有效性。

例1 考慮系統(tǒng)（1）具有如下參數(shù)：

式中：|g1|≤0.1；|g2|≤0.3。

首先，將系統(tǒng)矩陣A, B分別表示為：

文獻(xiàn)[6]給出的保證系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的最大采樣時間間隔為h=0.805，相應(yīng)的控制器增益矩陣K=[-1.714 6 -0.426 3]。而采用本文定理4，取 =0.12時，求解式（13）和式（20），得到的最大采樣時間間隔為h=0.822，相應(yīng)的控制器增益矩陣K=[-1.724 4 -0.415 7]。顯然，本方法得到的結(jié)果具有更小的保守性。

4 結(jié)語

本文討論了采樣控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題?；贚yapunov-Krasovskii泛函方法，獲得了保證系統(tǒng)穩(wěn)定的充分判據(jù)，并給出了鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計方法。數(shù)值例子表明了所提方法的可行性，與文獻(xiàn)[6]所提方法相比，更具優(yōu)越性。

[1] Banieh B，Pearson J B，F(xiàn)rancis B A，et al. A Lifting Technique for Linear Period Systems with Applications to Sampled-Data Control[J]. Systems & Control Letters，1991，17(2)：79-88.

[2] Dullerud G，Glover K. Robust Stabilization of Sampled-Data Systems to Structured LMI Perturbations[J]. IEEE Transactions on Automatica Control，1993，38：1497-1508.

[3] Oishi Y. A Bound of Conservativeness in Sampled-Data Robust Stabilization and Its Dependence on Sampling Periods[J]. Systems & Control Letters，1997，32(1)：11-19.

[4] Sivashankar N，Khargonekar P. Characterization of the L2-Induced Norm for Linear Systems with Jumps with Applications to Sampled-Data Systems[J]. SIAM Journal of Control and Optimization，1994，32：1128-1150.

[5] Hu L，Cao Y，Shao H. Contrained Robust Sampled-Data Control for Nonlinear Uncertain Systems[J]. International Journal of Robust and Nonlinear Control，2002，12：447-464.

[6] 王 煒，曾紅兵. 不確定線性采樣系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性[J].湖南工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2010，24(4)：79-81. Wang Wei，Zeng Hongbing. Robust Stability of Uncertain Linear Sampling Systems[J]. Journal of Hunan University of Technology，2010，24(4)：79-81.

[7] Park P，Ko J W，Jeong C. Reciprocally Convex Approach to Stability of Systems with Time-Varying Delays[J]. Automatica，2011，47(1)：235-238.

[8] Petersen I R，Hollot C V. A Riccati Equation Approach to the Stabilization of Uncertain Linear Systems[J]. Automatica，1986，22(4)：397-411.

[9] Boyd S，El Ghaoui L，F(xiàn)eron E，et al. Linear Matrix Inequality in Systems and Control Theory[M]. Philadelphia：Society for Industrial and Applied Mathematics，1994：56-60.

[10]于顯利. 線性不確定系統(tǒng)魯捧耗散控制研究[D]. 大慶：東北石油大學(xué)，2006. Yu Xianli. Robust Dissipation Control for Uncertain Linear Systems[D]. Daqing：Northeast Petroleum University，2006.

[11]劉善伍. 不確定采樣系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性分析與魯棒控制[D].哈爾濱：哈爾濱理工大學(xué)，2006. Liu Shanwu. Robust Stability Analysis and Robust Control of Uncertain Sampled-Data Systems[D]. Harbin：Harbin University of Science and Technology，2006.

[12]廖曉昕. 漫談Lyapunov穩(wěn)定性的理論、方法和應(yīng)用[J]. 南京信息工程大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009，1(1)：1-15. Liao Xiaoxin. Talking on the Theory, Methods and Application of Lyapunov Stability[J]. Journal of Nanjing University of Information Science & Technology：Natural Science Edition，2009，1(1)：1-15.

[13]高 蓮，包曙紅. 關(guān)于Lyapunov穩(wěn)定性若干定理的推廣[J]. 內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)漢文版，2006，35(4)：407-412. Gao Lian，Bao Shuhong. The Generalization of Theorems About Lyapunov Stability Theory[J]. Journal of Inner Mongolia Normal University：Natural Science Edition，2006，35(4)：407-412.

（責(zé)任編輯：鄧 彬）

Design of Robust Stabilization Controller for Uncertain Sampled-Data Systems

Wang Wei1,2，Zhou Weilong1
（1. School of Electrical and Information Engineering，Hunan University of Technology，Zhuzhou Hunan 412007，China；2. Hunan Railway Professional Technology College，Zhuzhou Hunan 412001，China）

Discusses the robust stabilization of uncertain sampled-data control system. By transforming sampleddata control system into a linear model of segment continuous time delay and based on Lyapunov-Krasovskii functional method, obtains the system robust stabilization conditions and presents the design method of state feedback stabilization controller. The numerical instance demonstrates the effectiveness of the proposed method, and comparing to the result from Reference [6], the method is super.

sampled-data system；Lyapunov-Krasovskii functional；stability and stabilization

TP13

A

1673-9833(2015)02-0050-04

10.3969/j.issn.1673-9833.2015.02.009

2015-01-12

國家自然科學(xué)基金資助項目（61304064），湖南省自然科學(xué)基金資助項目（2015JJ3064）

王 煒（1979-），女， 天津人，湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院高級講師，主要研究方向為電氣自動化，E-mail：wangwei9804@163.com