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        一類具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)奇攝動方程的特征值問題

        2015-12-07 02:35:39
        關(guān)鍵詞:特征值

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        一類具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)奇攝動方程的特征值問題

        史娟榮1,2

        (1.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院,安徽蕪湖241003;2.安徽機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽蕪湖241002)

        摘要:討論一類具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)奇攝動方程的特征值問題。首先,利用一個特殊的變換將原具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為便于討論的問題;其次,求得了用特殊函數(shù)表示的漸近解,并研究所得到解的性態(tài),指出了該解為具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)奇攝動問題漸近解的一致有效性;再次,利用所給的邊界條件求出了原問題的特征函數(shù)和特征值;最后,用定理形式論述相應(yīng)的大參數(shù)問題的結(jié)果,并指出當(dāng)n=1時與前人討論的結(jié)果一致。

        關(guān)鍵詞:轉(zhuǎn)向點(diǎn);Langer變換;Airy函數(shù);特征值

        奇攝動問題一直是國內(nèi)外學(xué)術(shù)界十分關(guān)注的研究對象。繼Nayfeh和de Jager等綜述了奇攝動方法和理論[1-2],許多學(xué)者從不同的角度研究了各種類型的奇攝動問題,諸如Bartiert討論了一類反應(yīng)擴(kuò)散方程的整體解[3],Guarguaglini等研究了一類偏微分方程的長期性態(tài)[4],Mo等討論了一類邊值問題的奇攝動[5],Chen等研究了一類橢圓型方程的奇攝動[6],Mo等討論了各種情況下的奇攝動問題的激波解[7-14],莫嘉琪研究了一類大參數(shù)奇攝動問題[15],劉樹德等討論了各種奇攝動邊界層和內(nèi)部層現(xiàn)象[16],汪維剛等研究了一類非局部奇攝動問題[17],周倩等討論了幾類非線性奇攝動問題[18-19],王莉婕等研究了一類退化特征值的奇攝動問題[20-21]。本文在文獻(xiàn)[21]的基礎(chǔ)上利用變量變換理論,研究如下一類具有n階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)奇攝動方程的特征值問題:

        其中:λ>>1為無量綱參數(shù);n為正整數(shù)。

        1 問題討論

        為簡便起見,記q(x)=(1-x3)n,并對方程(1)作如下自變量和因變量的變換

        其中φ(x),ψ(x)為待定函數(shù)。將式(2)代入式(1)

        則式(4)可表示成

        因為當(dāng)x>1時,q(x)=1-x3<0,可令

        為使得當(dāng)x>1時,都有z>0,對于式(8)取正號,則

        且通過Langer變換后,取δ=0時式(6)變?yōu)?/p>

        方程(12)的通解可以用Airy函數(shù)來表示,其結(jié)果是其中:Ai(z)為Airy函數(shù),Bi(z)為其相關(guān)函數(shù);c1,c2為任意常數(shù)。綜合式(9),(11)和(13)可得,方程(1)的漸近解為

        其中d1,d2為任意常數(shù)。

        2 特征函數(shù)和特征值

        因為當(dāng)x→∞時,z→∞,故

        當(dāng)x→∞時y→0,則式(14)和(15)中的d2=0,有

        由式(16)和邊界條件(1b)中的y(0)=0,有,則

        而由式(9)可知

        由式(17)可知,當(dāng)λ→∞時,z(0)→-∞,且

        綜合式(17)~(19)可得

        由此可求得

        3 主要結(jié)果

        定理方程(1)具有形如式(14)的一致有效的漸近解,其特征函數(shù)由式(16)給出,特征值由式(20)表示。

        參考文獻(xiàn):

        [1] Nayfeh AH. Introduction to Perturbation Techniques[M]. New York: John Wiley & Sons, 1981.

        [2] de Jager E M , Jiang F R. The Theory of Singular Perturbation[M].Amsterdam: North Holland Publ, 1996.

        [3] Bartier J P. Global behavior of solutions of a reaction-diffusion equation with gradient bsorption in unbounded domains[J]. Asymptotic Anal, 2006, 46(3/4):325-347.

        [4] Guarguaglini F R, Natalini R. Fast reaction limit and large time behavior of solutions to a nonlinear model of sulphation phenomena[J]. Commun Partial Differ Equations, 2007, 32(2):63-189.

        [5] Mo J Q, Chen S L. The singularly perturbed nonlinear boundary value problem[J]. Journal of mathematical research and exposition, 2000, 34(1):57-61.

        [6] Chen S Q, Mo J Q. The singularly perturbed boundary value problems for elliptic equation with turning point[J]. Chinese Quar terly Journal of Mathematics, 2000, 25(3):12-16.

        [7] Mo J Q, Wang H. The shock solution for quasilinear singularly perturbed Robin problem[J]. Progress in Natural Science, 2002, 12 (12):945-947.

        [8] Mo J Q, Zhu J, Wang H. Asymptotic behavior of the shock solution for a class of nonlinear equations[J]. Progress in Natural Science, 2003, 13(10):768-770.

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        [10]莫嘉琪,林萬濤.一類奇攝動非線性方程的激波問題[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2006, 26(6):737- 743.

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        [12]莫嘉琪,劉樹德,唐榮榮.一類奇攝動非線性方程Robin問題激波的位置[J].物理學(xué)報,2010, 50(7):4403-4408.

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        [15]莫嘉琪.具有二階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的大參數(shù)奇攝動方程[J].廈門大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2005, 44(6):753-755.

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        [17]汪維剛,史娟榮,石蘭芳.高階非線性非局部方程的奇攝動解[J].南開大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2014, 47(1):13-18.

        [18]周倩,陳松林.一類非線性方程Robin問題的激波位置[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012, 22(3):559-562.

        [19]葛志新.一類含有兩參數(shù)的三階擬線性奇攝動問題的漸近解[J].安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2013, 30(2):97-202.

        [20]王莉婕.一類三階奇攝動特征值問題[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2007, 23(6):28-31.

        [21]歐陽成.一個帶m階轉(zhuǎn)向點(diǎn)的奇攝動特征值問題[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2005, 22(3):559-562.

        責(zé)任編輯:丁吉海

        AClass of Singularly Perturbed Eigenvalue Problem for Large Parameter with Turning Point of n-th Order

        SHI Juanrong1,2

        (1.Department of Mathematics,Anhui Normal University, Wuhu 241003, China;2.Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering, Wuhu 241002, China)

        Abstract:A class of possessing n-th order turning point eigenvalue problem of singular perturbation equation for large parameter is discussed. Firstly, substituting the original possessing n-th order turning point problem for large parameter is turned into studied problem; Secondly, the asymptotic solution using the characteristic function representation is obtained; Then the behavior of the received solution is studied, and this asymptotic solution of possessing n-th order turning point eigenvalue problem for large parameter is uniformly valid; And then, the characteristic functions and characteristic values for the original problem are solved by using the boundary conditions; Finally, the conclusion of corresponding large parameter problem is discussed using the theorem, and it is pointed out that it is the same with that of previous study when n is equal to one.

        Key words:turning point; Langer transform;Airy function; eigenvalue

        作者簡介:史娟榮(1981-),女,安徽宣城人,副教授,研究方向為應(yīng)用微分方程。

        基金項目:國家自然科學(xué)基金項目(11202106);安徽高校自然科學(xué)重點(diǎn)研究項目(KJ2015A418);國內(nèi)訪問學(xué)者項目經(jīng)費(fèi)資助

        收稿日期:2014-09-05

        文章編號:1671-7872(2015)-03-0289-04

        doi:10.3969/j.issn.1671-7872.2015.03.017

        文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

        中圖分類號:O175.14

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