黃奕宏，何國林，曾智杰

(華南理工大學機械與汽車工程學院，廣州 510640)

行星齒輪傳動系統(tǒng)的噪聲和振動控制一直是各學者研究和關注的焦點。在許多應用場合，行星齒輪傳動系統(tǒng)的振動和噪聲是影響系統(tǒng)可靠性、壽命及操作環(huán)境的關鍵因素［1］。美國國家航空航天局在一次常規(guī)的檢測中，意外發(fā)現(xiàn)美國“黑鷹”直升機行星齒輪箱中行星架上出現(xiàn)裂紋，嚴重影響飛行安全［2］。丹麥某公司的風電齒輪箱所出現(xiàn)的齒輪故障令商業(yè)在線監(jiān)測與診斷系統(tǒng)束手無策，而傳統(tǒng)的信號處理方法對此又無能為力，最終造成嚴重的經濟損失［3］。

Inalploat等［4－5］對齒輪箱進行分類并分析其頻譜特征，提出了行星齒輪傳動系統(tǒng)非線性時變動態(tài)模型，并通過模型預測了齒輪加工誤差所產生的調制邊頻帶。馮志鵬等［6－8］對齒輪箱振動信號方程式進行了展開分析，對行星齒輪箱的頻譜特征進行了公式求解，研究在不同故障下的行星齒輪箱頻譜特征及解調方法。

目前在關于行星齒輪箱的研究中，當考慮行星齒輪箱振動信號受傳遞路徑影響時，所使用的漢寧窗函數(shù)僅描述了靠近傳感器的齒圈圓周與行星輪嚙合所產生的振動信號，而對其他圓周上的嚙合振動信號置零［4，6］，無法準確、客觀地描述嚙合振動信號的傳遞路徑影響。

本研究基于Virtual.Lab設計了一個行星齒輪箱殼體有限元模型，利用傅氏級數(shù)展開式及Matlab曲線擬合工具推導出行星傳動系統(tǒng)嚙合振動信號的傳遞路徑數(shù)學模型。

1 嚙合振動信號的傳遞路徑影響

在行星齒輪箱中，齒圈一般固定不動，太陽輪、行星輪和行星架旋轉，傳感器通常安裝在齒圈或與之相連的箱體上。如圖1所示，以行星輪數(shù)N=3為例，1，2，3分別代表3個行星輪，R為齒圈周長的1/N，齒圈固定，傳感器安裝于齒圈正上方。在這種情況下，太陽輪與行星輪的嚙合振動信號先通過太陽輪傳遞至太陽輪軸，再由太陽輪軸通過齒輪箱殼體傳遞至傳感器。在齒輪箱的工作過程中，該路徑不受行星輪公轉的影響。行星輪與齒圈的嚙合振動信號直接通過齒輪箱殼體傳遞至傳感器。當行星輪公轉時，嚙合點至傳感器的距離發(fā)生變化，導致嚙合振動信號的傳遞路徑也發(fā)生變化。當行星輪公轉至靠近傳感器時，其嚙合點也靠近傳感器，此時的嚙合振動信號強度最大;在行星輪公轉至遠離傳感器的過程中，其信號強度越來越弱。

圖1 行星齒輪箱二維簡圖

目前所建立的行星齒輪箱振動信號方程式考慮了行星輪公轉至R弧段內的齒輪嚙合振動信號，并用漢寧窗函數(shù)來表示［4］。在實際工作中，整個齒圈圓周與行星輪的嚙合振動信號均會傳遞至傳感器，其幅值變化規(guī)律也不能簡單地用窗函數(shù)的形式來描述。

2 行星齒輪箱殼體有限元仿真分析

表1為齒輪箱殼體有限元模型的材料屬性。對圖2有限元模型進行模態(tài)仿真分析，圖中箭頭所指方向為仿真分析中的激勵力作用點，序列1～7為仿真分析中的加速度響應點。通常情況下，傳感器在使用中所采集的振動加速度信號方向多為垂直于齒輪箱殼體軸向，因此仿真分析取垂直于地面約束的+Y方向。

表1 齒圈有限元模型材料屬性

通過有限元仿真分析可以得出各響應點到激勵點的幅頻函數(shù)及相頻函數(shù)，如圖3，4所示。從圖3可以看出:在齒圈殼體圓周上，雖然在任意頻率下各響應點到齒圈上方激勵點的頻響幅值均隨著響應點到激勵點的距離增大而變小，但是在距離傳感器最遠端的第7響應點，其頻響幅值仍然不為0。從圖4可以看出:在齒輪箱殼體1階固有頻率內，各響應點的頻響相位基本一致。

圖2 行星齒輪箱殼體Virtual.Lab有限元模型

圖3 齒輪箱殼體有限元模型幅頻函數(shù)

圖4 齒輪箱殼體有限元模型相頻函數(shù)

該齒輪箱殼體結構對稱，且材料屬性均勻，因此Y軸上的對稱點頻響幅值視為相同。在任一頻率下對整個齒輪箱殼體的頻響幅值做擬合，結果如圖5所示，其中點8～12分別為點6～2在Y軸上的對稱響應點，從第1至第12點描繪了整個齒輪箱殼體的輪廓。當行星輪公轉至第12點后，重新回到了第1點，每兩條曲線頻率間隔為1 Hz。

圖5 有限元仿真幅頻函數(shù)三維圖(1～2 500 Hz)

3 傳遞路徑變化規(guī)律的數(shù)學建模

以齒輪箱殼體中心為原點建立極坐標，用傅氏級數(shù)展開式(1)對殼體上離散點做擬合，可以近似得出整個齒圈圓周在任一嚙合頻率下的振動信號傳遞幅值變化曲線，其中m為傅氏級數(shù)展開式的擬合級數(shù)。分別取嚙合頻率fm為1 000和2 000 Hz時的頻響幅值做擬合。表2為在兩種不同嚙合頻率下各響應點的頻響幅值。表3為擬合級數(shù)與均方根誤差的關系，從表中可以看出，隨著擬合級數(shù)的增加，擬合精度越高。兩種嚙合頻率下的頻響幅值擬合曲線如圖6和圖7所示。

式中:γ為角變量;以齒圈1響應點為起點，整個齒圈圓周為2π;a0和an為各展開式系數(shù)。

表2 不同嚙合頻率下各響應點的頻響幅值

表3 傅氏級數(shù)擬合均方根誤差

圖6 傅氏級數(shù)展開式擬合曲線(1 000 Hz)

圖7 傅氏級數(shù)展開式擬合曲線(2 000 Hz)

將式(1)中的角變量轉換為時間變量，假設行星架轉頻為fc，第i個行星輪的第1階起始相位為θi，將 γ =2πfct+θi代入式(1)中，同樣可以用傅氏級數(shù)展開式表示第i個行星輪在整個齒圈圓周的振動信號傳遞幅值變化曲線:

式中:ai0，fm和 aik，fm與齒輪箱殼體的結構與材料屬性、約束條件有關;θi為第i個行星輪的第1階起始相位，i=1，2，…，N(N為行星輪數(shù))。當規(guī)定的第1個行星輪和齒圈的嚙合點處于嚙合振動信號傳遞幅值的最大點時，相位θi=0。

4 結束語

根據(jù)行星傳動系統(tǒng)的實際工作狀況，完整地考慮整個齒圈殼體與行星輪嚙合所產生的嚙合振動信號，運用有限元仿真分析得出齒圈殼體上各離散點的頻響函數(shù)，利用傅氏級數(shù)展開式和曲線擬合工具對任一頻率下的殼體頻響幅值做擬合，得到了高精度的數(shù)學模型。此外，所推導的高階數(shù)學模型完整地描述了整個齒圈圓周的幅值變化規(guī)律，而并非簡單的漢寧窗函數(shù)。該數(shù)學模型為行星齒輪箱的數(shù)學建模提供了更加精確的理論支持。

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［2］PATRICK R，ORCHARD M E，ZHANG Bin，et al.An integrated approach to helicopter planetary gear fault diagnosis and failure prognosis［C］//42nd Annual Systems Readiness Technology Conference.Baltimore，Maryland，USA:［s.n.］，2007:547－552.

［3］BARSZCZ T，RANDALL R B.Application of spectral kurtosis for detection of a tooth crack in the planetary gear of a wind turbine［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2009，23(4):1352－1365.

［4］INALPOLAT M，KAHRAMAN A.A theoretical and experimental investigation of modulation sidebands of planetary gear sets［J］.Journal of Sound and Vibration.2009，323(4):677－696.

［5］INALPOLAT M，KAHRAMAN A.A dynamic model to predict modulation sidebands of a planetary gear set having manufacturing errors［J］.Journal of Sound and Vibration，2010，329(4):371－393.

［6］Zhipeng Feng，Ming J.Fault diagnosis of planetary gearboxes via torsional vibration signal analysis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2013，36:401－421.

［7］馮志鵬，趙鐳鐳，褚福磊.行星齒輪箱齒輪局部故障振動頻譜特征［J］.中國電機工程學報，2013，33(5):119－127.

［8］馮志鵬，褚福磊.行星齒輪箱故障診斷的頻率解調分析方法［J］.中國電機工程學報，2013，33(11):112－117.