倪 博 王 璐

1. 上海精密計量測試研究所，上海201109

2. 同濟大學航空航天與力學學院，上海200092

中心剛體和柔性附件組成的剛柔系統(tǒng)在航空航天工程等先進工業(yè)領域具有廣泛應用，如衛(wèi)星、太陽能帆板、板形天線、汽車發(fā)動機轉子和葉片等。主體結構簡化為剛體，而附加結構簡化為柔性附件，即柔性懸臂梁或懸臂板結構。過去對中心剛體—柔性懸臂梁系統(tǒng)的研究較為廣泛［1-2］，而很少對中心剛體—柔性懸臂板系統(tǒng)進行研究，主要原因是難以進行精確的動力學分析。

目前，對柔性梁板的動力學與振動控制問題國內外研究已較成熟［3-4］，而推導系統(tǒng)的剛—柔耦合動力學方程多采用有限元法［5］。采用Hamilton 理論對剛柔耦合動力學系統(tǒng)進行建模，其動力學方程往往是非線性、時變和耦合的，很難得到方程的解析解。利用模態(tài)分解法可以使方程得到解耦。過去對平板彎曲振動的頻率求解一直采用梁函數(shù)組合級數(shù)逼近法，對于無自由邊界的平板誤差比較小，但是對于多自由邊界的平板往往誤差較大。采用Hamilton狀態(tài)空間法可以確定平板的頻率色散關系，能較精確的求解多自由邊的懸臂平板振動頻率?；Ｗ兘Y構控制法在柔性航天器結構的控制上廣泛應用［6］，能夠很好的解決非線性系統(tǒng)的控制問題。

本文基于Hamilton 變分原理［7］和Mindlin 厚板理論［8］，建立了中心剛體—柔性板系統(tǒng)的動力學模型。利用模態(tài)分解法，考慮系統(tǒng)的旋轉運動產生的離心力，建立了系統(tǒng)的動力學方程。采用滑模變結構控制法［9-10］，設計了系統(tǒng)模型的控制器。在柔性附件上設計控制力抑制其橫向振動，給出中心剛體—懸臂厚板位移的動力學控制規(guī)律。

1 帶有柔性附件的航天器模型的動力學方程

1.1 中心剛體—柔性懸臂板系統(tǒng)的動力學建模

中心剛體—柔性懸臂厚板系統(tǒng)模型如圖1 所示。分析時基于Mindlin 板理論，忽略系統(tǒng)重力的影響。建立固定的慣性坐標系OXYZ，連體的本體坐標系為oxyz。設矩形板的長寬分別為a 和2b;板厚為h;板的質量密度為ρ;中心剛體的轉動慣量為Jh;平板的轉動慣量為Jp;控制扭矩為Th;控制力的載荷密度為f(x，y，t);中心剛體的半徑為rh;剛體角位移為θ(t);角速度為Ω;板的橫向位移為w(x，y，t)，x∈［0，a］，y∈［－b，b］;t 為時間。

設懸臂板中平面內任意一點相對慣性坐標系的位移為p。表達式如下

圖1 中心剛體—柔性懸臂厚板系統(tǒng)模型

由于考慮轉動慣量的影響，板的動能除了平動動能之外還有局部轉動動能。因此，結構系統(tǒng)的總動能為中心剛體的轉動動能，板的動能以及局部轉動動能之和。其表達式為

式中，“·”為對時間t 的導數(shù)。

結構系統(tǒng)的總勢能Ep為板的彈性勢能，包括懸臂板的彎曲應變能、剪切應變能及離心力產生的變形能。表達式為

其中，結構的彎曲應變能和剪切應變能的表達式為

離心力在板上產生的變形能為

式中，D 為平板的抗彎剛度，D = Eh3/12(1 － v2);C=κGh，κ 是剪切折算系數(shù)，κ =π2/12;G 為剪切模量G=E/2(1 +v)，ν 為泊松比。Δx 和Δy 分別為懸臂板x 方向和y 方向的位移引起的縮短量，Δx =

結構系統(tǒng)的Hamilton 原理為:

基于Hamilton 變分原理，對系統(tǒng)的勢能、變形能、外力做功進行變分，建立中心剛體—柔性板的動力學方程:

1.2 中心剛體—柔性懸臂板系統(tǒng)的動力學方程

懸臂厚板的邊界條件為

根據(jù)結構動力學理論，對板上任意點的橫向位移、截面轉角模態(tài)分解，式(7)經整理、無量綱化后可得中心剛體—柔性懸臂厚板系統(tǒng)無量綱形式的動力學方程為:

無量綱參數(shù)的表達式為

設Y=［~θ ~q］，X=［YT］T，

2 變結構控制器的設計

根據(jù)滑模變結構控制理論，變結構控制器的設計分為2 步。1)設計變結構控制的切換函數(shù)，要求等效運動方程具有滿意的動態(tài)性能;2)根據(jù)滑動模態(tài)的到達條件進行控制器設計。在進行變結構控制策略選取時，采用如下形式的切換函數(shù)［9－10］。

其中，C∈Rm×2(n+1)為系數(shù)矩陣，m 為控制向量維數(shù)，2(n+1)為狀態(tài)空間向量維數(shù)。S =0 構成了變結構控制設計中的切換面。Xe=［θeq˙q］T?？紤]柔性附件的前四階振動模態(tài)，取n =4，m =5。

因此，4個切換面的具體形式如下

式中，qi為柔性附件的前4 階橫向彎曲模態(tài)坐標。

變結構控制設計的目標是設計控制律使得切換面以外的相點在有限時間內到達切換面，并在切換面上運動漸近趨于原點。采用如下等速趨近律

其中，Pi＞0，sgn(si)為符號函數(shù)。容易驗證＜0成立，到達條件滿足。

對式(13)求導，并考慮到式(11)和(14)，可得變結構控制律滿足的等式為

3 數(shù)值算例

采用滑模變結構控制，分析研究了作大運動旋轉的中心剛體—柔性懸臂厚板系統(tǒng)的振動抑制。數(shù)值模擬時，取特征長度為板的寬度取參數(shù)P1=c2=0.4，c3=0.2，c4=0.2。

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為X=［0 －0.005 －0.002－0.001 －0.0005 1 0.005 0.002 0.001 0.0005］，現(xiàn)截取勻速轉動時柔性附件的前4 階振動模態(tài)，作動器的位置為(0.1a，0.8b)，(0.9a，0.8b)，(0.1a，－0.8b)，(0.9a，－0.8b)?？刂屏ξ恢脩荛_前4 階模態(tài)的節(jié)點。圖2 ～7 給出的數(shù)據(jù)都是無量綱參數(shù)。

圖2 變結構控制前柔性薄板前4 階模態(tài)的響應

圖3 變結構控制前柔性厚板前4 階模態(tài)的響應

圖2 給出了中心剛體—旋轉懸臂薄板的四階橫向振動模態(tài)響應。模態(tài)坐標的幅值大約為9. 0 ×10－3，5.8 ×10－3，0.8 ×10－3，0.5 ×10－3。圖3 給出了本文理論下中心剛體—旋轉懸臂厚板的4 階橫向振動模態(tài)響應。模態(tài)坐標的幅值大約為8. 2 ×10－3，5.2 ×10－3，7.8 ×10－4，4.8 ×10－4。由圖2 和3 可知，在未施加變結構控制時，系統(tǒng)的橫向振動十分劇烈。

圖4 給出了變結構控制后中心剛體—旋轉懸臂薄板的4 階橫向振動模態(tài)響應。模態(tài)坐標的幅值最大值大約為8. 2 × 10－3，4. 1 × 10－3，6. 3 × 10－4，3.0 ×10－4。圖5 給出了變結構控制后中心剛體—旋轉懸臂厚板的4 階橫向振動模態(tài)響應。模態(tài)坐標的幅值最大值大約為6.4 ×10－3，4.0 ×10－3，6.2 ×10－4，2.9 ×10－4。由圖4 和5 可知，在施加變結構控制后，柔性板的橫向振動顯著減少，系統(tǒng)能很快到達穩(wěn)定位置。

圖6 給出了施加變結構控制后，中心剛體—旋轉柔性厚板的前四階模態(tài)相軌跡圖。由圖中可以明顯看出，變結構控制后的系統(tǒng)很快進入滑動模態(tài)，并沿著滑動模態(tài)滑動，趨于穩(wěn)定。

圖4 變結構控制后柔性薄板前4 階模態(tài)的響應

圖5 變結構控制后柔性厚板前4 階模態(tài)的響應

圖6 變結構控制后柔性厚板前4 階模態(tài)的相軌跡

圖7 給出了系統(tǒng)到達期望位置中心剛體—柔性厚板系統(tǒng)所需模態(tài)控制力的變化規(guī)律。由圖可知，前4 階模態(tài)控制力的無量綱最大值約為0.15，0.7，3，11.5。在系統(tǒng)達到穩(wěn)定之前，模態(tài)控制力曲線不斷抖動，直至系統(tǒng)到達穩(wěn)定時，控制力曲線趨于穩(wěn)定。

4 分析與結論

以往研究剛柔耦合動力學系統(tǒng)的動力學建模和振動控制時，往往采用中心剛體—柔性梁系統(tǒng)而不是中心剛體—柔性板系統(tǒng)，其主要原因是動力學分析比較困難。以往的論文主要采用有限元分析對系統(tǒng)結構進行離散。本文采用與傳統(tǒng)不同的平板結構振動分析方法，利用Hamilton 變分原理，從能量守衡的角度推導出中心剛體—柔性板系統(tǒng)動力學方程。

圖7 變結構控制后柔性厚板前四階模態(tài)控制力變化規(guī)律

本文采用滑模變結構控制方法，對航天器動力學與控制問題進行了研究。實現(xiàn)了姿態(tài)的漸近穩(wěn)定性，還抑制了柔性板的彈性振動。從數(shù)值模擬結果看:1)在未施加變結構控制情況下，系統(tǒng)的模態(tài)振動十分劇烈，高階時尤為明顯，振動幅值并未隨時間變化而減少;2)Mindlin 厚板理論下的板的振動響應無論是變結構控制前還是控制后，模態(tài)坐標的幅值都比薄板理論下的小。在相同時間內，厚板理論的頻率振動程度也比薄板理論來的劇烈，施加控制后達到期望位置的無量綱時間也較薄板理論少。采用厚板理論更符合工程實際;3)施加變結構控制后，系統(tǒng)模態(tài)沿著滑模面移動，逐漸趨于穩(wěn)定，模態(tài)振動明顯得到了改善。模態(tài)控制力在系統(tǒng)達到穩(wěn)定前不斷變化，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定后，控制力也趨于穩(wěn)定。分析結果表明，本文采用的控制策略和算法是可行的，能夠較好地實現(xiàn)航天器柔性板的穩(wěn)定性。

本文提供的動力學分析與控制方法可望能為航天器動力學分析與控制提供理論基礎與參考數(shù)據(jù)。

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