翁理國，李 倩，王 偉

（南京信息工程大學(xué) 信息與控制學(xué)院，江蘇 南京 210044）

MAVS是一種由動力驅(qū)動、無人駕駛、可重復(fù)使用的航空器.因具有體積小、重量輕、機動靈活、環(huán)境適應(yīng)性強等優(yōu)點，已成為集軍用、商用、民用多位一體的無人駕駛工具［1］.隨著微機電系統(tǒng)（micro electromechanical systems，簡稱MEMS）的發(fā)展，單旋翼直升機一直是微型飛行器發(fā)展的研究平臺，其復(fù)雜性及不穩(wěn)定性卻限制了它的發(fā)展.如今，一種新型的微型多翼飛行器，特別是多旋翼飛行器越來越受到人們的重視.由于四旋翼微型飛行器具有穩(wěn)定性高的特點，因此廣泛應(yīng)用于軍事偵察、氣象探測、環(huán)境監(jiān)測和空中交通應(yīng)急等方面［2］.

在實際應(yīng)用中，飛行器需要自主飛行完成上述艱巨的任務(wù).由于它體積小、結(jié)構(gòu)簡單，因此通信設(shè)備的安裝存在技術(shù)上的難題.到目前為止，許多科研團隊在解決這些難題上取得了巨大的成就［3－6］.為實現(xiàn)自主飛行，研究人員采用了多種控制方法，如自適應(yīng)、模型預(yù)測及模糊控制等［7］.通常情況下，飛行控制器的性能受限于外部擾動和模型誤差，因此，設(shè)計真正有效的、具有魯棒性的控制器具有重要意義.

作者擬研究姿態(tài)和高度的動力學(xué)控制方法.為了實現(xiàn)姿態(tài)控制，采用基于歷史信息的控制器，即記憶控制器，這種控制器的最大優(yōu)勢在于控制性能與外部干擾無關(guān)，能夠提高系統(tǒng)的魯棒性.為了準(zhǔn)確控制飛行器的飛行高度，采用基于最優(yōu)控制理論的LQG控制方法設(shè)計控制器.

1 被控對象

圖1為四旋翼微型飛行器，是該設(shè)計的被控對象.機體的主體部分由碳纖維制作，以獲得較輕的重量和較好的強度.飛行器動力由4個T－MOTOL直流無刷電機提供，其頻率在50～500Hz范圍，最大轉(zhuǎn)速可達(dá)837rad·s－1.采用4個APC1245螺旋槳，飛行器可載重約1kg，搭載1節(jié)2 100mAh的鋰聚合物電池，空載飛行時間約10min.

2 建模和控制器設(shè)計

圖2為控制回路結(jié)構(gòu)圖.如圖2所示，一個完整的飛行器控制系統(tǒng)可分成4個部分：X，Y，Z方向控制器和偏航角控制器.該設(shè)計主要研究其中的姿態(tài)控制及高度控制.

2.1 姿態(tài)角建模

由于四旋翼飛行器的6個自由度是通過調(diào)節(jié)電機的轉(zhuǎn)速得到，因此它是一個強耦合、非線性的多輸入多輸出系統(tǒng).考慮到在實際飛行過程中姿態(tài)角變動范圍較小，可以忽略各個自由度之間的耦合，把系統(tǒng)簡化為各個獨立的單輸入單輸出線性系統(tǒng)，分別設(shè)計控制器.此外，四旋翼飛行器的結(jié)構(gòu)具有對稱性，滾轉(zhuǎn)角和俯仰角的結(jié)構(gòu)相同，因此在建模時只考慮滾轉(zhuǎn)角.

將四旋翼飛行器放置在3維坐標(biāo)系中，假設(shè)其載體坐標(biāo)系為N，機體質(zhì)量為m，外力為F∈R3，轉(zhuǎn)矩為τ∈R3，將轉(zhuǎn)矩與姿態(tài)角的非線性關(guān)系近似為線性關(guān)系（此時假設(shè)姿態(tài)角變化很小），根據(jù)動力學(xué)定理，可得到以下關(guān)系式［8］

飛行器的姿態(tài)是載體坐標(biāo)系相對參考坐標(biāo)系的位置關(guān)系.載體坐標(biāo)系是以飛行器重心為原點，記為On，而參考坐標(biāo)系是以地面為原點，記為Oi.V＝（u，v，w）中的u，v，w為載體坐標(biāo)系3個軸方向的角速度，它們分別對應(yīng)飛行器的前方向Xn軸、飛行器的右方向Yn軸和飛行器的下方向Zn軸.Q＝（p，q，r）中的p，g，r為參考坐標(biāo)系下的角速度，它們分別對應(yīng)磁場的北極方向Xi軸、重力方向Zi軸和OiXiZi平面的垂直方向Yi軸.

歐拉角ξ＝（φ，θ，ψ），其中φ為滾轉(zhuǎn)角，θ為俯仰角，ψ為偏航角.將載體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到參考坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣如下

此時矩陣R滿足：R－1＝RT，det（R）＝1.

參考坐標(biāo)系下3個方向的角速度Q與歐拉角的3個角速度的關(guān)系如下

其中：歐拉矩陣Γ（ξ）［9］為

通過方程式（4）對時間的微分以及方程式（2）可得到

其中，sk（Q）可將Q從R3變換到R3×3.

滾轉(zhuǎn)角速度的二階微分方程表達(dá)式為

其中：Jφ和τφ分別為繞Xi軸的轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)矩.

一般地，控制量u和實際獲得的轉(zhuǎn)矩τφ近似為線性關(guān)系，因此可將式（8）變?yōu)?/p>

2.2 記憶控制

在姿態(tài)控制器設(shè)計中，考慮到四旋翼飛行器具有高度非線性和強耦合的特性，設(shè)計一個具有良好穩(wěn)定性和跟蹤性的控制器十分必要，作者采用記憶控制方法來提高控制器的魯棒性能［10］.

令滾轉(zhuǎn)角運動偏差為ε＝φ－φ＊，其中φ＊為獲取的滾轉(zhuǎn)角的目標(biāo)值，由式（9）得到的滾轉(zhuǎn)角運動偏差微分表達(dá)式為

為方便處理，引入一個新的變量e，將原先涉及φ的二階跟蹤問題簡化為用e表示的一階穩(wěn)定系統(tǒng)，即

將e的微分代替，得到

定義系統(tǒng)控制輸出為

通過公式（12），（13）將一階穩(wěn)定系統(tǒng)e變?yōu)?/p>

記憶控制的基本思想是利用當(dāng)前與先前的系統(tǒng)響應(yīng)以及過去的記憶信息來構(gòu)建控制方法，因此也被稱為經(jīng)驗控制［11］.考慮到實際應(yīng)用中，當(dāng)前的系統(tǒng)狀態(tài)對未來的影響最大，因此選擇當(dāng)前系統(tǒng)的一階線性函數(shù)構(gòu)建控制方法.

通過歐拉微分，將式（14）一階穩(wěn)定系統(tǒng)變?yōu)?/p>

其中：T為采樣周期；vk為記憶控制輸入.

由式（15）得到的前一時刻方程式為

將式（15）減去式（16），得到

由于記憶控制需要使用過去的控制經(jīng)驗vk－1、當(dāng)前的跟蹤誤差ek及先前的跟蹤誤差ek－1，故定義vk為

考慮到e被定義為一個抖動范圍為T2λ的滑動平面，當(dāng)e逐漸變小時，跟蹤誤差ε及其導(dǎo)數(shù)也將變小.式（21）表明如果函數(shù)f（·）的變化不是無限快，可認(rèn)為跟蹤誤差和它的導(dǎo)數(shù)也很?。ù藭rT非常?。?

綜上所述，根據(jù)循環(huán)周期T、目標(biāo)值φ＊的姿態(tài)角模型及式（13）的變換方程uk－1＝Jφ（vk－1＋ξk－1），可得記憶控制器表達(dá)式為

根據(jù)上文可知，為使f（·）在不同函數(shù)下都能保持較好的跟蹤性能，假設(shè)f（·）函數(shù)如下

圖3為記憶控制器的仿真結(jié)果，其中參數(shù)T＝0.02，k0＝1，J＝0.173 2.由圖3可以清楚地看到，不論在f1（·）還是在f2（·）函數(shù)下，記憶控制器都能保持極好的跟蹤性能，實現(xiàn)了良好的魯棒性.

2.3 高度建模

四旋翼飛行器的高度控制是通過同時調(diào)節(jié)4個電機轉(zhuǎn)速來實現(xiàn)的.根據(jù)電機驅(qū)動原理，控制輸入u（s）與轉(zhuǎn)速n（s）的輸出呈線性關(guān)系，同時轉(zhuǎn)速n（s）的輸出與產(chǎn)生的浮力F（s）也近似呈線性關(guān)系［12－13］，于是可以得到下面的傳遞函數(shù)

其中：k，T1均為常數(shù).浮力F與加速度、速度與位置的關(guān)系式可表示為

其中：φ，θ分別為滾轉(zhuǎn)角和俯仰角；Z為高度；Cx＝cosx；fZ為空氣阻力；m為飛行器的質(zhì)量.由于四旋翼飛行器主要以定點懸浮為主，飛行過程中的傾斜角很小，忽視空氣阻力，對式（26）進(jìn)行線性化，并通過拉普拉斯變換得到如下公式

把式（25）代入式（27）當(dāng)中，可得從控制輸入到位置輸出之間的傳遞函數(shù)為

通過實際飛行的輸入輸出實驗數(shù)據(jù)，利用Matlab中的ident工具擬合可得到式（28）中的未知參數(shù).圖4為仿真模型驗證結(jié)果.由圖4可知，仿真模型是準(zhǔn)確的.

為實現(xiàn)控制器的輸出能夠準(zhǔn)確跟蹤參考輸入信號的變化，引入一個額外的狀態(tài)變量xp（t）＝擴展的高度狀態(tài)方程為

2.4 LQG 控制

LQG是一個基于最優(yōu)控制理論的控制器設(shè)計方法［14］，該文采用LQG理論設(shè)計控制器實現(xiàn)高度控制.

用狀態(tài)空間將式（28）的傳遞函數(shù)表示為

其中：w（t）為參考輸入；I為單位矩陣

定義二次性能指標(biāo)泛函為

構(gòu)造哈密頓函數(shù)為

伴隨方程及其邊界條件［15］為

最優(yōu)控制應(yīng)滿足

又由于R正定，且其逆存在，于是有

假設(shè)λ（t）和狀態(tài)變量xa（t）呈線性關(guān)系，即

其中：P為里卡蒂代數(shù)方程式

的解.

將式（37）代入式（38），得

由于控制器的設(shè)計需要所有的狀態(tài)變量，通過上面的狀態(tài)反饋獲得加速度和高度數(shù)據(jù)，但是仍有3個狀態(tài)量無法測得.為此，設(shè)計卡爾曼濾波器推測系統(tǒng)中間狀態(tài)變量，并且其中一些狀態(tài)量可對機載傳感器的高頻噪聲進(jìn)行濾波，提高控制器的控制品質(zhì).

3 程序流程圖

圖5為記憶控制方法流程圖和LQG控制方法流程圖.

在圖5的左圖中，T表示控制循環(huán)周期，pre表示前一時刻的控制量，ref表示獲取的遙控器發(fā)送過來的目標(biāo)值，該設(shè)計獲取的是滾轉(zhuǎn)角的目標(biāo)值.在圖5的右圖中，狀態(tài)變量X1，X2，X3分別表示卡爾曼濾波推測出的Z方向的加速度、位置及速度，其中X1，X2是用來對機載傳感器的高頻噪聲進(jìn)行濾波的.

4 實驗及其分析

通過室外飛行實驗來驗證設(shè)計的姿態(tài)和高度控制器的性能.MAVS的目標(biāo)值由2.4GHz的無線遙控器給定，飛行狀態(tài)由無線傳輸模塊XBee－pro傳回，以實現(xiàn)地面站與飛行器之間的數(shù)據(jù)傳輸.

4.1 姿態(tài)控制實驗

通過實際飛行來檢驗姿態(tài)控制器的性能及仿真結(jié)果的正確性.

圖6為飛行器懸停實驗結(jié)果.從圖6中可以看出，飛行器姿態(tài)角變動保持在±2°.即使在實際飛行環(huán)境下有強風(fēng)和其他干擾，姿態(tài)角的變動也是在穩(wěn)定范圍之內(nèi).圖7為飛行器魯棒性實驗結(jié)果.由圖7可知，控制器幾乎不受模型變化的影響，能夠很好地跟蹤目標(biāo).

4.2 高度控制實驗

通過實際飛行來檢驗高度控制器的性能及仿真結(jié)果的正確性.手動操作遙控器使飛行器在空中定點懸停一段時間，然后切換飛行模式，接收遙控器發(fā)送來的目標(biāo)值.圖8為飛行器高度的跟蹤實驗結(jié)果.由圖8可知，實際飛行的實驗結(jié)果基本與模擬結(jié)果一致，驗證了該設(shè)計數(shù)學(xué)模型的可行性與準(zhǔn)確性，此控制器有很好的穩(wěn)定性與追蹤性.

5 結(jié)束語

以自主研發(fā)的四旋翼飛行器為控制對象，研究它的姿態(tài)與高度控制器的設(shè)計方法.在姿態(tài)控制器設(shè)計中，采用基于記憶的控制方法，實驗結(jié)果表明此控制器具有良好的穩(wěn)定性和跟蹤性，尤其是姿態(tài)模型改變及外部干擾下，控制器仍然獲得良好的控制性能，體現(xiàn)了該控制器的魯棒性.在高度控制器設(shè)計中，采用基于最優(yōu)控制的LQG控制方法，實驗結(jié)果表明此控制器也能達(dá)到預(yù)期控制效果.

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