郭永峰，申雅君，劉洪濤

（1.天津工業(yè)大學 理學院，天津 300387；2.西安外事學院 經(jīng)濟管理學院，陜西 西安 710077）

自從Benzi等［1］和Nicolis等［2］提出隨機共振的概念以來，隨機共振理論得到了快速的發(fā)展，已經(jīng)成為非線性科學研究的一個熱點問題.Fauve等［3］在具有雙穩(wěn)輸出特性的Schmitt觸發(fā)器電路系統(tǒng)中第一次證明了隨機共振現(xiàn)象的存在，并首次把信噪比的概念引入隨機共振的理論和實驗研究.從此，信噪比成為隨機共振研究的焦點之一.McNamara等［4－5］提出了絕熱近似理論，并對兩態(tài)系統(tǒng)的信噪比進行了分析.Dykman等［6］提出了線性響應理論來研究隨機共振現(xiàn)象.Hu等［7－8］根據(jù)Floquet理論對本征值理論做了進一步的改進，得到了絕熱近似是微擾展開的一級近似.Zhou等［9］通過考察粒子在勢阱間發(fā)生兩次連續(xù)跳躍之間的駐留時間的分布，提出了用駐留時間分布理論來判斷隨機共振現(xiàn)象.基于這些理論，文獻［10－12］研究了具有單頻正弦或余弦周期信號的雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象.由于在絕熱近似條件下信噪比的表達式僅適用于小的信號幅值，因此，文獻［12－15］中提出選用一個合適的周期矩形信號來代替單頻正弦或余弦周期信號來解決這一問題.

在以前的研究中，人們主要討論了沒有時間延遲的隨機動力系統(tǒng)，然而在許多實際的問題中（如生物系統(tǒng)和光學系統(tǒng)等），時間延遲對系統(tǒng)可能造成的影響卻是不可以忽略的.因此，研究具有時間延遲的隨機動力系統(tǒng)更具有現(xiàn)實意義.目前，針對上述問題的研究已經(jīng)吸引了越來越多研究者的注意［16－20］，并得到了許多可行的研究方法和研究結果.其中，文獻［17－20］分別對具有時間延遲的雙穩(wěn)隨機系統(tǒng)進行了研究，討論了時間延遲對穩(wěn)態(tài)概率密度和信噪比的影響.論文主要依據(jù)文獻［12－13，17－20］的研究方法對具有周期矩形信號的延遲非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象作了進一步的探討.首先通過小時間延遲近似方法，給出了延遲雙穩(wěn)系統(tǒng)的FPK方程.然后應用絕熱近似理論推導得出了信噪比的表達式；最后分析了加性噪聲強度Q、乘性噪聲強度D、靜態(tài)非對稱性r、延遲時間τ以及噪聲強度比率R對信噪比SNR的影響.研究發(fā)現(xiàn)：在延遲情況下，改變加性噪聲強度比改變乘性噪聲強度更容易產(chǎn)生隨機共振，并且延遲時間對信噪比的影響是與噪聲強度有關的.

1 時間延遲雙穩(wěn)隨機系統(tǒng)的信噪比

考慮下述由乘性和加性噪聲以及周期矩形信號所共同驅動的具有小時間延遲的雙穩(wěn)隨機系統(tǒng)，其延遲隨機微分方程為

其中：τ為小時間延遲量，r刻畫雙穩(wěn)系統(tǒng)的非對稱性.

ξ（t）和η（t）為不相關的高斯白噪聲，其均值和方差為

其中：D和Q分別為乘性和加性噪聲強度.

A為常數(shù)，H（t）為具有周期為T的矩形信號，其表達式為

系統(tǒng)（1）的確定性部分包含有兩個時滯項，這不同于文獻［12，19］中所研究的時滯系統(tǒng).當τ′→0時，方程（1）可等價為

其中：ζ（t）為高斯白噪聲，滿足

并且

根據(jù)小時間延遲近似方法［17－20］，方程（4）可近似為

其中

所以，方程（1）的近似FPK方程為

其中

由（9）～（10）式可得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率密度表達式為

其中：N為歸一化常數(shù).

為便于研究，取a＝b＝1，λ＝0，并令，可得廣義勢函數(shù)的表達式為

其中：在延遲時間較小的情況下，取U0（x）為τ＝0時的對稱雙穩(wěn)勢函數(shù)［13，19－20］，W0代表方程（1）僅受加性和乘性白噪聲時的特征轉換率，W0，p和q的表達式為

由文獻［5］可知，雙穩(wěn)的情形可以看作是一個兩態(tài)模型，n±分別表示在穩(wěn)態(tài)x±的概率.則n±滿足概率交換的主方程

在絕熱近似條件下，由于雙穩(wěn)模型的局部平衡的確立要比躍遷概率之間的交換快的多，所以，方程（15）的初始分布為

對于任意的函數(shù)f，有下面的公式成立

利用性質(zhì)（17）并結合文獻［13－14］的方法，可以解得相關函數(shù)的表達式

其中

根據(jù)（18）式，功率譜密度函數(shù)S（ω）定義為相關函數(shù)的傅立葉變化，可寫為

其中

S1（0）為噪聲背景下零頻處相應的譜密度，S2（ω）為與輸出信號相應的譜密度，則信噪比SNR的表達式可寫為

上式是在絕熱近似條件下得到的，需滿足條件q?1.

2 噪聲、系統(tǒng)的非對稱性及延遲時間對信噪比的影響

下面利用（23）式來討論加性噪聲強度Q、乘性噪聲強度D、靜態(tài)非對稱性r、延遲時間τ和噪聲強度比率R對信噪比SNR的影響.為方便討論，在圖1～5中僅討論r＞0的情況.

在圖1～2中，給出了信噪比SNR作為Q的函數(shù)分別隨不同的r和τ的變化曲線.從圖中可以看出SNR隨Q的增加出現(xiàn)了單峰，這意味著發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象.圖1中，SNR隨著r的增加而減小，并且峰值也隨之減小，峰的位置向右移動.圖2中，對于較小的Q，SNR隨著τ的增加單調(diào)減小，當Q增加到一定值后，SNR又隨著τ的增加單調(diào)增加，并且峰值隨著τ的增加而減小，峰的位置向右發(fā)生移動.

在圖3～4中，給出了信噪比SNR作為D的函數(shù)分別隨不同的r和τ的變化曲線.當r的值進一步增大后，SNR隨D的增加出現(xiàn)了單峰，如圖3所示，這意味著發(fā)生了隨機共振現(xiàn)象，與此同時，SNR隨著r的增加而減小，峰的位置向右移動.圖4中，SNR隨著D的增加出現(xiàn)了單峰，出現(xiàn)了隨機共振現(xiàn)象，并且對于較小的D，SNR隨著τ的增加單調(diào)減小，當D增加到一定值后SNR隨著τ的增加又單調(diào)增加，與此同時，峰值隨著τ的增加而減小，峰的位置向右移動.

通過以上分析可以看出，在時間延遲情況下，加性和乘性噪聲對信噪比的影響是不同的.當系統(tǒng)的勢阱不是很對稱的時候，改變加性噪聲強度比改變乘性噪聲強度更容易產(chǎn)生隨機共振，如圖1、3所示.延遲時間對信噪比的影響是與噪聲強度有關的，τ越大，產(chǎn)生共振峰時所對應的噪聲強度越大，如圖2、4所示.

在圖5中，給出了信噪比SNR作為噪聲強度比率R的函數(shù)隨不同的τ的變化曲線.從圖中可以看出SNR隨R的增加出現(xiàn)了單峰，出現(xiàn)了隨機共振現(xiàn)象.當R值較小時，SNR隨τ的增加而增加；當R值較大時，SNR隨τ的增加而減小，且峰值也隨之減小，同時峰的位置左移，這與圖2、4的結果具有一致性.

3 結束語

研究了由加性和乘性白噪聲以及周期矩形信號共同作用的延遲非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象.在絕熱近似條件下，通過小時間延遲近似得到了非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的FPK方程，并推導得出了系統(tǒng)在延遲情況下的信噪比SNR表達式，進一步研究了加性噪聲強度Q、乘性噪聲強度D、靜態(tài)非對稱性r、延遲時間τ和噪聲強度比率R對信噪比SNR的影響.研究發(fā)現(xiàn)，在延遲情況下，改變加性噪聲強度比改變乘性噪聲強度更容易產(chǎn)生隨機共振，并且延遲時間對信噪比的影響是與噪聲強度有關的，τ越大，產(chǎn)生共振峰時所對應的噪聲強度亦越大.

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