李娟 （蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，安徽 蕪湖241003）

費(fèi)為銀 （安徽工程大學(xué)金融工程系，安徽 蕪湖241000）

在投資實(shí)務(wù)中，風(fēng)險(xiǎn)是指未來不確定因素的變動(dòng)導(dǎo)致投資者收益變動(dòng)的可能性，未來事件越不確定，風(fēng)險(xiǎn)也就越大，因此風(fēng)險(xiǎn)和不確定常常被混淆。事實(shí)上，在面對(duì)充滿不確定因素的金融市場(chǎng)，早在1921年Knight［1］就界定了兩者的差異，將投資者能夠準(zhǔn)確地加以觀察、分析和預(yù)見的那部分不確定視為風(fēng)險(xiǎn)，又稱為概率不確定；余者視為“真正”的不確定，稱之為Knight不確定（Knightian uncertainty）或模型不確定（model uncertainty），Ellsberg［2］稱之為含糊（ambiguity）。在模型研究中，將風(fēng)險(xiǎn)限定為與決策相關(guān)事件的概率分布唯一存在、在數(shù)量上可確定、封閉和完備的那種不確定，而Knight不確定卻具有易受“潛在意外”和“新事物”影響而經(jīng)常變化、與決策相關(guān)事件不能用單一概率分布表示的特點(diǎn)。事實(shí)上，投資決策通常都是在Knight不確定環(huán)境下進(jìn)行的，因而在Knight不確定環(huán)境下研究投資組合問題具有更加實(shí)際的意義。文獻(xiàn) ［3］在區(qū)別風(fēng)險(xiǎn)和含糊的情形下研究了投資消費(fèi)問題，此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn) ［4］運(yùn)用α－極大極小期望效用（α－MEU）模型，區(qū)別了決策者的主觀信仰（含糊）和決策者的品味（含糊態(tài)度），推進(jìn)了投資消費(fèi)問題的研究；文獻(xiàn) ［5～8］對(duì)Knight不確定環(huán)境下投資組合問題進(jìn)行了研究。下面，筆者將基于文獻(xiàn) ［9］中的“基差風(fēng)險(xiǎn)模型（basis risk model）”以及文獻(xiàn) ［10］的帶有紅利支付的“基差風(fēng)險(xiǎn)模型”，運(yùn)用文獻(xiàn) ［4］中的 方法，區(qū)別含糊和含糊態(tài)度，進(jìn)一步優(yōu)化“基差風(fēng)險(xiǎn)模型”中的最優(yōu)投資組合問題。

1 “基差風(fēng)險(xiǎn)模型”框架的構(gòu)建

在包含未定權(quán)益和2種不同類型風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金融市場(chǎng)中，一類是不可交易風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（如股票價(jià)格指數(shù)），另一類是可交易風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)（如股票），其動(dòng)力學(xué)由2個(gè)相關(guān)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)，在僅僅獲悉不可交易資產(chǎn)信息的情形下，尋求可交易資產(chǎn)的最優(yōu)交易策略對(duì)沖未定權(quán)益，獲得期望指數(shù)效用最大化，Mania等［9］稱這一投資組合模型為“基差風(fēng)險(xiǎn)模型”。

為了研究需要，假設(shè)和Wt是定義在完備概率空間（Ω，A，（At）t∈［0，T］，P）上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，相關(guān)系數(shù)～ρ∈（－1，1），其中A＝At表示從0時(shí)刻到T時(shí)刻來自于金融市場(chǎng)的全部信息。設(shè)H為T時(shí)刻未定權(quán)益的隨機(jī)支付，不可交易資產(chǎn)的價(jià)格動(dòng)力學(xué)為：

式中，a（t，η）和b（t，η）分別表示不可交易資產(chǎn)價(jià)格的漂移項(xiàng)和擴(kuò)散項(xiàng)。

可交易資產(chǎn)的收益率動(dòng)力學(xué)為：

式中，μ（t，η）和σ（t，η）分別表示可交易資產(chǎn)的平均收益率和波動(dòng)率；δ（t，η）是可交易風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)派發(fā)的紅利率。

令信息集Ft＝＝，可觀測(cè)信息集為＝，其中，F(xiàn)W1，W（或FW）表示由布朗運(yùn)動(dòng)W1、W（或W）生成的增廣信息流。設(shè)市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率r＝0，式（1）中系數(shù)a、b和式（2）中系數(shù)μ、δ、σ均為適應(yīng)泛函，且滿足：

（b）σ2＞0，b2＞0；

（c）式（1）存在唯一強(qiáng)解；

（d）H是關(guān)于σ－代數(shù)AT－可測(cè)、有界的隨機(jī)變量，且滿足E［eαH｜FT］＝E［eαH｜］。

設(shè)X0為投資人的初始財(cái)富，πt∈Π（Fη）（Π（Fη）稱為容許策略集，表示Fη－可料S－可積過程π的集類）為t時(shí)刻投資在可交易資產(chǎn)的金額，用來對(duì)沖未定權(quán)益的隨機(jī)支付H，則投資人的終端凈財(cái)富為：

2 Knight不確定環(huán)境的刻畫

在（Ω，A，（At）t∈［0，T］，P）上構(gòu)造一個(gè)投資人決策所依賴的先驗(yàn)集PΘ，用來反映投資者的含糊性：

在Knight不確定環(huán)境下，關(guān)于投資人的終端凈財(cái)富XT的α－MEU為：

其中，效用折現(xiàn)率β＞0；交易時(shí)間t∈［0，T］；α∈［0，1］反映投資人的含糊態(tài)度或品味。當(dāng)α＝0時(shí)，取最大期望效用，投資人為極端風(fēng)險(xiǎn)喜好者；當(dāng)α＝1時(shí)取最小期望效用，投資人為極端風(fēng)險(xiǎn)厭惡者。

在部分信息框架（可觀測(cè)信息集＝?Ft?At）和Knight不確定環(huán)境下，區(qū)別投資人的含糊和含糊態(tài)度，求解“基差風(fēng)險(xiǎn)模型”的最優(yōu)對(duì)沖策略。提供如下假設(shè)：

（e）對(duì)于 ?π∈Π（Fη），＜ ∞ 和E［U2（XT）］＜ ∞。

根據(jù)文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［11］在條件（e）滿足時(shí)易得如下結(jié)論。

引理1 對(duì)任一實(shí)值過程（ρt），存在（ρt），（ρt））∈Θ使得如下等式成立：

引理2 令＝），＝），對(duì)于 ?π∈Π（Fη），t∈［0，T］，則：

（ii）簡(jiǎn)記（）＝和（）＝（）分別是BSDE式（5）和式（6）的唯一解，進(jìn)而：

由上述引理1和引理2以及文獻(xiàn)［4］，可導(dǎo)出如下定理。

定理1 若假設(shè)（e）滿足，先驗(yàn)集Θ＝｛（γt）：｜γt｜≤κ，0≤t≤T，κ≥0｝為κ－無知的，則對(duì)于 ?π∈Π（Fη），則有：

（ii）設(shè)∈［0，1］，t∈［0，T］，（）0≤t≤Tγκ∈Θ，則Qγκ＝ΔQκ∈PΘ使得式（4）中的Jt滿足：

至此，將來自于投資人終端財(cái)富的α－MEU轉(zhuǎn)化成Qκ∈PΘ下的通常期望效用形式，這為最優(yōu)對(duì)沖策略的求解提供了可能。

3 求解指數(shù)效用下的最優(yōu)對(duì)沖策略

“基差風(fēng)險(xiǎn)模型”中，已知不可交易風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格動(dòng)力學(xué)和可交易資產(chǎn)的收益率過程，在部分信息框架（僅僅擁有不可交易的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)信息）和Knight不確定環(huán)境下，區(qū)別投資人含糊和含糊態(tài)度，求解指數(shù)效用最大化時(shí)的最優(yōu)對(duì)沖策略。

3.1 部分信息框架轉(zhuǎn)化為完成信息框架

已知和Wt是概率測(cè)度P下相關(guān)系數(shù)為∈（－1，1）的2個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)，可觀測(cè)信息集為＝，其他信息未可知，要求解上述問題，需要利用布朗運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性和濾波理論將其轉(zhuǎn)化到完全信息框架下。為此，首先構(gòu)造：

式中，和是2個(gè)相互獨(dú)立的布朗運(yùn)動(dòng)，因而Wt是關(guān)于信息流FW1，W0（相當(dāng)于FW1，W）的布朗運(yùn)動(dòng)。令由Girsanov定理，若滿足：

為P－鞅，則dv為新概率測(cè)度下的布朗運(yùn)動(dòng)，式（2）中的可交易資產(chǎn)收益率過程可表示成dSt＝σ（t，η）d，即為S的最小鞅測(cè)度。再根據(jù)式（11）可知：

也是下的布朗運(yùn)動(dòng)。

由文獻(xiàn)［9］知，在可觀測(cè)信息集Fη下，可交易資產(chǎn)的收益率過程可分解為：

滿足半鞅分解形式，其中：

由此，式（13）的微分形式可具體表示為：

將式（12）代入可得～P下的半鞅過程：

即轉(zhuǎn)化為可觀測(cè)信息集下的收益率過程。

3.2 Knight不確定環(huán)境下的最優(yōu)對(duì)沖策略求解

當(dāng)投資人具有先驗(yàn)集PΘ進(jìn)行決策時(shí)，式（3）中的終端凈財(cái)富會(huì)隨著先驗(yàn)集中不同取值而具有不同的表現(xiàn)形式，事實(shí)上，考慮任何一個(gè)測(cè)度Qκ∈PΘ導(dǎo)出的最優(yōu)性都是一致的。

如定理1（ii）的證明中所述，應(yīng)用Girsanov定理，若滿足：

為鞅，則d＝dt＋d為新概率測(cè)度Qκ下的布朗運(yùn)動(dòng)。為了給出最優(yōu)對(duì)沖策略的精確表達(dá)式，假設(shè)：

因此，在新概率測(cè)度Qκ下：

和

均為更新的布朗運(yùn)動(dòng)過程。定義：

為市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格。

在指數(shù)效用函數(shù)U（x）＝－e－mx（m＞0）下，不失一般性，取X0＝0，式（8）可以寫成：

定義式（16）對(duì)應(yīng)的價(jià)值過程：

定理2 若條件（a）～ （e）成立且（π）＝（π）＞0，在可觀測(cè)集Fη中：

（i）式（17）中的滿足：

（ii）最優(yōu)對(duì)沖策略為：

其中常數(shù)c＝（1－～ρ2），且h滿足等式：

證明 由式（15）可知，市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格為θt＝－（2α－1）κ，進(jìn)而得到：

為考慮Knight不確定環(huán)境時(shí)的新概率測(cè)度Qκ下的布朗運(yùn)動(dòng)，再運(yùn)用文獻(xiàn)［9］或文獻(xiàn)［10］的證明思路和方法可得結(jié)論。

推論1 在式（18）成立條件下，式（17）定義的價(jià)值過程為：

推論2 若條件（a）～（d）成立，μ、σ、δ、H≠0均為常量且－（2α－1）κ，則：

（i）價(jià)值過程為：

（ii）最優(yōu)對(duì)沖策略為：

證明 （i）若μ、σ、δ、H≠0均為常量，＝H，代入式（18）化簡(jiǎn)可得：

由推論1知：

（ii）由＝H代入式（20），得泛函h＝0，進(jìn)而得最優(yōu)對(duì)沖策略＝。

并且（i）和（ii）中的θ滿足式（15），即－（2α－1）κ。

特別地，當(dāng)隨機(jī)支付H＝0，其他條件不變，模型就變成了一個(gè)純投資問題，則價(jià)值過程Vt＝，最優(yōu)交易策略為所得結(jié)果符合常規(guī)模型的研究結(jié)果［12］。

4 數(shù)值分析

為了能夠形象直觀地認(rèn)識(shí)在Knight不確定環(huán)境下，不確定程度（含糊度）和投資人含糊態(tài)度的變化對(duì)投資策略和價(jià)值過程的影響，基于推論2給出的結(jié)論，根據(jù)相關(guān)參數(shù)的合理取值范圍，現(xiàn)設(shè)定μ＝0.5，σ＝0.5，δ＝0.25，m＝1，H＝10，β＝0.05，T＝10，t＝1，給出最優(yōu)對(duì)沖策略π＊t和價(jià)值函數(shù)Vt分別關(guān)于α∈［0，1］和κ∈［0，10］的函數(shù)圖像。

圖1和圖2分別表示不確定程度κ＝0.2、κ＝0.5、κ＝0.8時(shí)，最優(yōu)對(duì)沖策略π＊t和價(jià)值函數(shù)Vt在α∈［0，1］上的關(guān)系圖，π＊t關(guān)于α遞減，Vt關(guān)于α遞增。觀察可知，α＝0.5是π＊t和Vt的分界點(diǎn)，當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，投資人為風(fēng)險(xiǎn)喜好者，隨著不確定程度κ的增加，投資在可交易風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金額π＊t增加，此時(shí)投資人擁有的價(jià)值Vt卻在減??；當(dāng)0.5＜α＜1時(shí)，投資人為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，情況正好相反，不確定程度κ越大，π＊t減小，而Vt卻增大。

圖3表示含糊態(tài)度α＝0.2、α＝0.5、α＝0.8時(shí)，最優(yōu)對(duì)沖策略π＊t在不確定程度κ∈［0，10］上的圖像。由圖3可知，3條曲線相交于（0，3）點(diǎn)，也就是說當(dāng)不考慮金融市場(chǎng)Knight不確定（即κ＝0）時(shí)，無論投資人的含糊態(tài)度如何，都不影響投資策略，這將不能真實(shí)描述投資人的投資行為，也進(jìn)一步說明了在投資組合研究中考慮Knight不確定的必要性和合理性。而在κ∈［0，10］時(shí)，對(duì)沖策略π＊t的變化是以投資人的含糊態(tài)度α＝0.5為分界線，當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，π＊t隨著κ的增大而增大。相反，當(dāng)0.5＜α＜1時(shí)，π＊t隨著κ的增大而減小，這與圖1反映的變化規(guī)律一致。

圖1 最優(yōu)對(duì)沖策略π＊t和含糊態(tài)度α關(guān)系圖

圖2 價(jià)值過程Vt和含糊態(tài)度α關(guān)系圖

圖3 最優(yōu)對(duì)沖策略π＊t和含糊態(tài)度κ關(guān)系圖

圖4 α＝0.2時(shí)價(jià)值過程Vt和含糊態(tài)度κ關(guān)系圖

圖4、圖5和圖6分別表示α＝0.2、α＝0.5、α＝0.8時(shí)，最優(yōu)對(duì)沖策略Vt在κ∈［0，10］上的圖像。當(dāng)α＝0.2時(shí)，投資人是風(fēng)險(xiǎn)喜好者，價(jià)值過程Vt關(guān)于κ急劇遞減，直至價(jià)值過程無限趨向于零；當(dāng)α＝0.5時(shí)投資人是風(fēng)險(xiǎn)中性的，價(jià)值過程Vt保持不變；而當(dāng)α＝0.8時(shí)，投資人為風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，價(jià)值過程Vt隨著不確定程度κ的變化先增后減，并在κ∈（0，10）內(nèi)取得極大值。

圖5 α＝0.5時(shí)價(jià)值過程Vt和含糊態(tài)度κ關(guān)系圖

圖6 α＝0.8時(shí)價(jià)值過程Vt和含糊態(tài)度κ關(guān)系圖

5 結(jié)語

基于文獻(xiàn) ［9］中的“基差風(fēng)險(xiǎn)模型”，應(yīng)用半鞅和BSED方程理論，考慮了部分信息框架和Knight不確定環(huán)境下的最優(yōu)投資組合問題，給出最優(yōu)對(duì)沖策略和價(jià)值過程的明確表達(dá)式，并進(jìn)行了相關(guān)數(shù)值分析。該研究的主要特點(diǎn)是構(gòu)建的金融市場(chǎng)不僅包含可交易風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和不可交易風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，還包含了未定權(quán)益，使金融市場(chǎng)的刻畫更加真實(shí)貼切，同時(shí)還考慮了投資人在面對(duì)Knight不確定環(huán)境時(shí)的含糊態(tài)度，且研究結(jié)果更加貼近金融市場(chǎng)的實(shí)際情形，是對(duì)“基差風(fēng)險(xiǎn)模型”的推廣，可以為操作實(shí)務(wù)中的投資組合構(gòu)建提供更加有力的理論支撐。

［1］Knight F H.Risk Uncertainty and Profit ［M］.Boston：Houghton Miffin，1921.

［2］Ellsberg D.Risk ambiguity and the Savage axioms ［J］.Quarterly Journal of Economic，1961，75：643～669.

［3］Fei W Y.Optimal consumption and portfolio choice with ambiguity and anticipation ［J］.Information Sciences，2007，117：5178～5190.

［4］Fei W Y.Optimal portfolio choice based onα－MEU under ambiguity ［J］.Stochastic Models，2009，25（3）：455～482.

［5］費(fèi)為銀，李鈺，石學(xué)芹，等 .奈特不確定和部分信息下的最優(yōu)交易策略 ［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2014，37（2）：193－205.

［6］費(fèi)為銀，姚遠(yuǎn)浩，夏登峰 .奈特不確定下帶有紅利支付的養(yǎng)老金最優(yōu)投資策略 ［J］.東華大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，40（4）：497～502.

［7］李娟，費(fèi)為銀，石學(xué)芹，等 .奈特不確定下資產(chǎn)收益率發(fā)生紊亂的最優(yōu)投資策略 ［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013，28（1）：13～22.

［8］李娟，費(fèi)為銀，石學(xué)芹，等 .部分信息下資產(chǎn)收益率發(fā)生紊亂的最優(yōu)投資策略 ［J］.數(shù)學(xué)雜志，2012，32（4）：693～700.

［9］Mania M，Santacroce M.Exponential utility maximization under partial information ［J］.Finance Stoch，2010，14（3）：419～448.

［10］李娟，費(fèi)為銀，陳喜梅 .基于基差風(fēng)險(xiǎn)模型帶紅利支付的最優(yōu)交易策略 ［J］.安徽工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，29（2）：86～89.

［11］Chen Z，Epstein L G.Ambiguity risk and asset returns in continous time ［J］.Econometrica，2002，70：1403～1413.

［12］Merton R C.Lifetime portfolio selection under uncertainty the continuous－time case ［J］.The Review of Economics and Statistics，1969，51：247～257.