“換位思考”即是通過變換角度或位置的方式去思考、理解和解決問題.數(shù)學課堂教學中的換位思考是指在課堂教學過程中，教師把自己置于學生的位置來認識體驗、思考問題，用學生的眼光去審視教學內(nèi)容，即教師還要扮演學生的角色，從而成為學生探究知識道路上的合作者.

在新課程標準下，相對原來的教學大綱，教學目標闡述的角度及落腳點發(fā)生了根本變化.以前，教學目標是從教師“教”的角度提出來的，規(guī)定的是教什么，如何教，缺乏對學生學習過程的關注；現(xiàn)在，課程標準直接從學生“學”的角度提出，以學生為主體，直接指向?qū)W生學習活動本身，關注的焦點是學什么，怎么學，學的如何.這就要求在實施教學過程中教師一方面扮演“教”的角色，成為學生學習知識、探究知識的引路人；另一方面就是要換位思考，只有站在學生的角度去思考，才能使師生在情感上達到共鳴，教師才會具有針對性、靈活性和教育性，從而使學生的知識和能力達到和諧發(fā)展.那么教師在數(shù)學課堂教學中如何實現(xiàn)換位思考呢？下面舉例說明.

1 想學生之所想

在教學過程中，學生的思維是怎樣的，在想什么？這是我們教師應當考慮的.這需要教師在備課中要先做好預設.學生未表露出自己的想法時，教師要洞察其心理，及時探測和巧妙地點出其想法，更好地實現(xiàn)與他們心理上的溝通.只有想學生之所想，教師才能在教學中隨時把握住學生思維的脈搏，更好地實現(xiàn)與他們心理上的溝通，開啟學生的數(shù)學思維，使學生對要學習的知識能有較為深刻的認識和理解.

案例1 已知m∈R，圓C：x2+y2-2mx+2（m-1）y+2m2-2m+12=0.

（1）求證：圓C的圓心必在一條直線上；

（2）若圓C與某定直線相切，求此直線的方程.

對于（1），學生易知圓C：（x-m）2+[y+（m-1）]2=12，半徑為22，圓心C（m，1-m）必在直線x+y=1上.

核心問題是（2），有以下教學過程.

生1：已知圓C與一條定直線相切，那么圓心C（m，1-m）到該直線的距離等于圓的半徑，若設所求直線的方程為y=kx+b，那么可以得出km-m-1+mk2+1=22，對于任意m均成立.兩邊同時平方得

k2+1=2[（k+1）2m2+（b-1）2+2（k+1）m（b-1）].①

此式對于任意實數(shù)m均成立.

師（感到與自己的思路相差甚遠，有些不耐煩）：你的思路看起來是正確的，可你怎么知道所求直線的斜率一定存在？且①式過于繁雜，含有k，b，m三個字母，欲想由此求得k的值，何其難也，你把簡單問題復雜化了！請其他同學思考，能否找到比較簡捷的解法.

（教師的這番言語大大挫傷了生1的積極性，后來雖然有學生給出了比較理想的解法，但心情沮喪的生1卻久久緩不過神來，其他學生也“吸取教訓，以后再發(fā)言可要謹慎了，弄得不好會立即遭到教師的徹底否定”，不如干脆說“不會”，等待教師的“喂飼”.這是課堂上常見的一種“狀況”，筆者認為否定不如引導、堵塞不如疏浚，最好的辦法則是“解鈴還須系鈴人”，給生1提供“第二次機會”，讓他自己來改善解法或另選他法.在必要時還須給予適當?shù)奶崾?，體現(xiàn)的是對學生的厚愛與人性化的關懷.筆者在教學中是這樣處理的：）

師（親切地面對生1，以商量的口吻）：同學們思考、討論如何解決？

生：由圓C的方程畫出圖形看看，也許能找到上佳的思路.

生1（非常珍惜這寶貴的“第二次機會”，

思維逐漸興奮）：由圖1知，所求直線必與

直線x+y-1=0平行，即斜率為-1，且

兩直線間的距離為圓的半徑22.

可設其方程為x+y+c=0，則由平行線

間的距離公式得c+12=22，解得c=0，

或c=-2，故所求直線為x+y=0，或x+y=2.

（教室里爆發(fā)出熱烈的掌聲，這是對所有學生（更是對生1）的心靈慰藉和智慧欣賞，喜悅和興奮的沖擊波將在他們腦中長期發(fā)揮巨大的積極作用.正當教者欲結束此題的解答時，可喜的“狀況”出現(xiàn)了.）

生2：①式并非無用，只要確認所求直線的斜率為-1，則①式變?yōu)?=2（b-1）2，……（下略）

生3：既然所有圓都與斜率為-1的直線相切，那么可任取m的一個特殊值，如取m=0，則圓心（0，1）到直線x+y+c=0的距離為圓的半徑22，亦可得c+12=22，……（下略）

教者不能不驚嘆于學生思維的活躍與發(fā)散，生2從本質(zhì)上恢復了①式的勃勃生機，生3提出的方法蘊含著一種揭示“特殊與一般”關系的重要策略，一道“相貌平平”的題目竟演繹出如此精彩的華章！若教師沒有換位思考，缺乏對學生的尊重，輕視源于學生的鮮活的教學素材，不引導學生把話說完，能取得如此豐富的教學效果嗎？2 想學生之所遺

數(shù)學學科中有許多知識需要記憶，而記憶和遺忘又是相伴而生的孿生兄弟，就是我們教師自己，都會有這樣的切身體會，在遇到某一個數(shù)學問題時，思路是清晰的，但具體的公式卻一下子很難記起.學生更會出現(xiàn)這種現(xiàn)象.面對這一情況，教師要能換位學生角色，跟學生一起回憶、聯(lián)想、推導，一起分析、比較、歸納、總結，從而戰(zhàn)勝遺忘，達到鞏固知識的目的.

案例2 “空間向量”的教學片段.

空間向量是在平面向量基礎上，從數(shù)量表示和幾何意義兩方面，把對向量及其運算的認識從二維情形提升到三維情形.兩者除維數(shù)不同外，在幾何意義、坐標表示、運算等方面都有一致性.這是“由此及彼，由淺入深”的認識發(fā)展過程.綜觀空間向量整章，學生需利用已有的關于平面向量的知識基礎和學習經(jīng)驗，進行平面向量與空間向量之間的類比，但是通過筆者課前的調(diào)查，了解到學生的學情是：學生雖然學習了平面向量，但是對平面向量的知識已經(jīng)記得不多了（這其實與教材的編排有關，平面向量是高一上半學期學的知識，空間向量是高二下半學期才開始學習的，時間間隔了一年多.），筆者在空間向量的教學前先通過問卷調(diào)查了解學生對平面向量還有哪些認識？然后采取相應的對策以實現(xiàn)知識的“螺旋上升”.筆者在空間向量開始之前，用了一節(jié)課的時間讓學生從整體上掌握平面向量知識的基本結構，這樣有助于學生更好地記憶知識，幫助學生構建平面向量知識的基本結構，就有助于學生保持較長時間的記憶，在平面向量類比到空間向量的學習中，學生就具有自我生長的活力，容易在新情境中引發(fā)新思想和新方法，也切實減輕了學生的負擔.而在空間向量的教學過程中，筆者又引導學生不斷將平面向量的知識結構與模式進行豐富、擴增、推廣，從而更有效地解決空間三維的問題.3 想學生之所疑

教師在課堂上常會碰到這樣的情況：有些學生突然表情凝重，思維出現(xiàn)了“疙瘩”.此時，對學生思維中出現(xiàn)的“疑”若不及時排除，必然造成心理上的不平衡，成為學生繼續(xù)思維、繼續(xù)學習的障礙，使思維中斷.因此，教師要采取措施，站到學生的位置上來，思考學生出現(xiàn)的“疑”，以便更好地釋疑.

案例3 人教A版《數(shù)學2》“31直線的傾斜角與斜率”（第一課）.

在介紹完傾斜角這個概念之后，我們需要引入另一個新概念——斜率，如何引入呢？教材中是直接規(guī)定的.“我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率”.如果在實際教學中也這樣引入的話，學生會提出這樣的困惑：為何要用正切值，而不能用正弦或余弦呢？面對這樣的提問，有的教師會說這是統(tǒng)一規(guī)定；有的教師相對民主些，逐一驗證為何正弦或余弦不好，但總給人“亡羊補牢”之嫌.其實，完全可以通過設計下面兩個小問題引導斜率的概念.

問題1：請在同一平面直角坐標系中畫出下列方程所表示的直線.

（1）y=x+1；（2）y=3x+1；（3）y=-x+1.

問題2：請在同一直角坐標系中畫出過點（0，1），傾斜角分別是45°，60°，135°的直線.

師：通過畫圖，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：兩幅圖是一樣的.

師：問題1中的三條直線方程有何不同？

生：x前的系數(shù)不同，分別為1，3，-1.

師：問題2中的三條直線有何不同？

生：傾斜角不同，分別是45°，60°，135°.

師：大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生：問題1中x前的系數(shù)恰好是問題2中對應的傾斜角的正切值.

師：這會是偶然現(xiàn)象嗎？（此時，教師可利用“幾何畫板”演示當傾斜角變化時，直線傾斜角的正切值與直線x前的系數(shù)始終保持一致.）

師：看來，直線傾斜角的正切值與直線方程息息相關，那么我們不妨用直線傾斜角α的正切值來刻畫直線的傾斜程度，并給它取個名字，叫做直線的斜率.

案例中，教師針對學生的質(zhì)疑：為何要用正切值，而不能用正弦或余弦呢？創(chuàng)造性地使用教材，給學生提供兩個問題，引導學生操作、觀察、思考、歸納，從而自然地引入斜率的概念.在教學過程中，老師總是處于引導者的狀態(tài)，對學生的探究問題不是急于肯定或否定，而是引導學生去探究，在探究的過程中去尋求答案，充分體現(xiàn)了學生的參與、師生的合作.這樣，既肯定了學生有意義的想法，又自然地引導學生對問題展開進一步的思考，達到了知其然，更知其所以然的目的.

4 想學生之所難

有些內(nèi)容在教師看來似乎很容易，三言兩語就可說清楚，但站在學生的角度上來接受這一知識，學習這一內(nèi)容就有相當大的困難.教師精心設計教學，就必須想學生所“難”.學生在概念理解上有什么困難？學生在探求思路中有什么困難？等等，這些問題要求教師在備課中反復研究，通過研究達到學生學習與研究的高質(zhì)量.

案例4 學習初中數(shù)學“反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)”一課，老師們知道學生在取點、描點、連線等環(huán)節(jié)都會出現(xiàn)困難，而為了突破教學難點，有些老師會直接利用幾何畫板演示函數(shù)的圖象，還有的老師會在每個環(huán)節(jié)都預先給出提示，比如帶著學生取點、填表、描點、連線，這樣做當然能夠順利得到完美的函數(shù)圖象.但是這樣做真能夠突破學生學習的難點嗎？筆者在高中數(shù)學課堂觀察到的情況表明答案是否定的.

在一所示范高中的“正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)”一課上，筆者觀察到，教師本來給了學生機會讓他們獨立作圖，但是當發(fā)現(xiàn)學生作圖的能力很差，許多同學毫無思路和章法時，老師很著急.由于擔心完不成教學任務，老師采取了與上述初中教師相似的方式，轉(zhuǎn)而利用幾何畫板軟件直接演示得到了正弦函數(shù)的圖象，然后告訴了學生“五點作圖法”，學生根據(jù)老師畫出的圖象和給出的方法描出了圖象.然而接下來，同一個班在學習“正切函數(shù)的圖象”時，這一幕幾乎重演，學生仍然感到很困難，甚至有同學在列表取點時毫不思考地直接利用畫正

弦函數(shù)圖象時用到的五個點，連正切函數(shù)在一些點（例如在x=π2點）沒有意義也毫無覺察，而面對這種情況，老師又再次采取演示作圖的方式進行了處理.

為什么老師通過鋪墊、演示的方式并不能真正突破教學難點呢？根本原因在于通過老師的鋪墊、演示，學生并沒有遭遇難點，也沒有機會思考為什么取這些點，為什么要將點用平滑曲線而非折線連結.因此，這種表面的順利是以犧牲學生學會怎樣思考為代價的，后果就是學生依靠記憶結論學會了畫反比例函數(shù)這種具體函數(shù)的圖象，但是并沒有真正學會怎么畫一個新的函數(shù)圖象，也就是沒有學會方法.這種做法與其說是突破了難點，不如說是回避了難點.

學生在數(shù)學學習中真正需要突破的是思維上的難點，而思維上的難點通常是由于思維方式的局限性造成的，因此幫助學生完成思維方式的轉(zhuǎn)變是突破難點真正有效的方式.而這種轉(zhuǎn)變的基礎和前提就是先讓學生在解決問題過程中展現(xiàn)出自己已有的思維，當發(fā)現(xiàn)自己已有思維方式不能解決問題時，就感受到了自己已有思維的局限性和新思維方式形成的價值，而老師的任務則是創(chuàng)設情境、提供問題讓學生展現(xiàn)出自己的思維，幫助學生分析已有思維中的智慧與困境，再推動學生走出困境，找到出路，從而真正突破難點.5 想學生之所錯

當代科學家、哲學家波普爾說：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造因素，發(fā)現(xiàn)的方法就是試誤方法.”學習的過程是一種漸進的嘗試錯誤的過程.犯錯誤是任何人都不可避免的.教師應善待學生錯誤，提供以錯誤為源泉的學習反應刺激，引導學生分析錯誤、反思錯誤、辯論錯誤等，從而暴露學生的思維過程，使學生從中審視、體驗和反思，引起知錯、改錯、防錯的良性反應，提高思維能力和課堂教學效益.

案例5 已知數(shù)列{an}的通項公式為an=n+cn，若對任意n∈N*，都有an≥a3，則實數(shù)c的取值范圍是 .

師：生1，你來說說看.

生1：老師，我做錯了.

師：那我找你就對了，（學生哄堂大笑）別怕，沒關系的，說說你的想法.

生1：我看題目中有an=n+cn，且a3=3+c3是最小值，因為an≥a3，所以n+cn≥3+c3，所以（1n-13）c≥3-n，即c≥3-n1n-13=3n（n≠3）的最大值，其中n≥1且n∈N，所以c≥3.又當n=3時成立.綜上可得c≥3.

師：此解法是分離參數(shù)的思想，即將已知量和未知量進行分離，想法很好，值得肯定.可是結果為什么是錯的呢？

生1：我不知道啊.

師：請你想想在處理不等式的時候有什么值得注意的地方.

生1：（思考后恍然大悟）是（1n-13）c≥3-n轉(zhuǎn)化到c≥3-n1n-13時，沒有考慮符號的正負性，要分類的.

師：非常好，在解題過程中，你的可取之處在于對n=3和n≠3進行分類，可惜沒有注意到將（1n-13）c≥3-n轉(zhuǎn)化到c≥3-n1n-13時應該考慮不等號的方向是否改變.知道怎么改了嗎？

生1：解法修正：因為an≥a3，所以n+cn≥3+c3，即（1n-13）c≥3-n.

當n=3時，不等式恒成立，c∈R；

當1≤n<3且n∈N*時，c≥3-n1n-13=3n的最大值，將n=2代入，得c≥6；

當n>3且n∈N*時，c≤3-n1n-13=3n的最小值，將n=4代入，得c≤12.

綜上，6≤c≤12.

師：很好.

這樣，教師想學生之所錯，在數(shù)學活動中將學生的錯誤解答呈現(xiàn)出來，讓學生自己分析，自己審視，通過變換角度、改換類型、改變條件等方式，以吸引其他學生的注意力，激發(fā)學生產(chǎn)生新的疑問，找到自己的最近發(fā)展區(qū)，促其深思.讓學生自己來點評、辨析、糾偏，這既有利于拓展學生思維，調(diào)節(jié)其情緒，也便于學生形成系統(tǒng)的認知結構.

總之，《數(shù)學課程標準》強調(diào)的是以人為本，學生是教學的主體，數(shù)學課上要充分體現(xiàn)學科特點，突出師生平等、互助的地位，鼓勵學生主動交流，積極合作，教師隨時通過心理換位調(diào)控教學方法，改變教學預設，動態(tài)處置教學程序，充當好管理者和組織者，讓學生樂于參與，使學生素質(zhì)在輕松、和諧的教學氛圍中得到培養(yǎng)和提高.

作者簡介 趙緒昌，男，1963年生，四川宣漢人，中學特級教師，四川省學術和技術帶頭人，蘇步青數(shù)學教育獎和國務院政府特殊津貼獲得者，四川省中小學教育專家培養(yǎng)對象，主要從事中學數(shù)學教學研究和中小學教育科學研究.