張湘玉，馬希青，李 明

（河北工程大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，河北 邯鄲 056038）

0 引言

細(xì)分曲面因其具有任意拓?fù)溥m應(yīng)性的優(yōu)勢，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于可視化與圖形顯示、動(dòng)畫造型及逆向工程等眾多領(lǐng)域［1-2］。使用細(xì)分方法可以構(gòu)造復(fù)雜光滑曲面，但實(shí)際產(chǎn)品的造型設(shè)計(jì)往往會遇到需要生成各種尖銳特征的情況，為增強(qiáng)細(xì)分曲面的造型能力，針對細(xì)分曲面的尖銳特征構(gòu)造技術(shù)成為一個(gè)非常重要的研究課題。

目前已經(jīng)有很多學(xué)者針對不同細(xì)分模式開展了不少研究工作，其中：文獻(xiàn)［3-5］分別通過修改Catmull-Clark，Loop等細(xì)分模式的細(xì)分規(guī)則，使構(gòu)造的曲面可以表達(dá)邊界、折痕等尖銳特征；文獻(xiàn)［6-7］通過修改控制網(wǎng)格拓?fù)潢P(guān)系來產(chǎn)生尖銳的特征；何鋼等［8］通過調(diào)節(jié)特征角和設(shè)置復(fù)合曲線網(wǎng)實(shí)現(xiàn)聯(lián)合細(xì)分插值曲線上的特征設(shè)計(jì)；Sederberg等［9］參考非均勻B-樣條曲面造型方法，通過在細(xì)分規(guī)則中引入非均勻節(jié)點(diǎn)距，能夠獲得拐點(diǎn)、折痕等尖銳造型。另外針對對偶型細(xì)分模式，Nasri［10］通過對控制網(wǎng)格邊界多邊形進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)修改，給出了有邊界的Doo-Sabin細(xì)分模式，從而可以構(gòu)造邊界特征，但不能處理邊界含有奇異點(diǎn)的情況，同時(shí)其特征面也不能包含三邊面，不能產(chǎn)生折痕等內(nèi)部特征；李濤等［11］克服了Nasri［10］的不足，通過推廣準(zhǔn)均勻二次B 樣條的節(jié)點(diǎn)插入算法，使改進(jìn)的Doo-Sabin細(xì)分模式可以表示邊界、折痕、角點(diǎn)和刺點(diǎn)等尖銳特征，且特征處不受拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的限制，但其構(gòu)造的折痕、邊界曲線只能是二次均勻B樣條曲線。

工程實(shí)際中經(jīng)常會用到一些偶次曲面，如球面、柱面、錐面以及各種旋轉(zhuǎn)面等，對于這類曲面的細(xì)分表示，林興等［12］給出了基于C-B 樣條的Catmull-Clark細(xì)分表示方法，但難以生成球面；Sederberg等［9］采用非均勻細(xì)分的方法來精確地表達(dá)球面，但其細(xì)分規(guī)則相對復(fù)雜；齊倩［13］給出了雙二次均勻C型樣條曲面的細(xì)分方法，以生成球面、圓錐面等二次曲面，但細(xì)分規(guī)則與常用細(xì)分規(guī)則不統(tǒng)一，不利于在CAD／CAM 領(lǐng)域的推廣應(yīng)用；李濤等［11］通過修改特征面細(xì)分規(guī)則來改進(jìn)Doo-Sabin細(xì)分模式，同時(shí)利用權(quán)因子對工程中一些常用的二次曲面（如球面、柱面、錐面等）進(jìn)行精確表達(dá)。然而所有上述方法并不適用于一般帶邊界、折痕等特征的二次非均勻有理B 樣條曲線（Non-Uniform Rational B-Spline curve，NURBS）曲面，如機(jī)身、船體曲面的造型等。Doo-Sabin細(xì)分模式是將二次均勻B樣條曲面擴(kuò)展至任意拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)得到的一種對偶型細(xì)分模式，帶權(quán)因子的非均勻Doo-Sabin細(xì)分模式則是二次NURBS曲面于任意拓?fù)渖系耐茝V，鑒于此，從工程應(yīng)用的角度，研究非均勻Doo-Sabin細(xì)分模式尖銳特征造型十分必要，目前對此尚無相關(guān)文獻(xiàn)可查。

本文根據(jù)筆者之前提出的曲線插值理論［14］，研究了非均勻Doo-Sabin細(xì)分曲面的尖銳特征構(gòu)造方法。首先對初始控制網(wǎng)格上需要生成各種尖銳特征的頂點(diǎn)和邊進(jìn)行標(biāo)識，并對這些頂點(diǎn)和邊的鄰接網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)距按要求進(jìn)行相應(yīng)賦值，然后修改這些鄰接網(wǎng)格面的細(xì)分規(guī)則，網(wǎng)格的其他部分保持原有細(xì)分規(guī)則不變，從而對整個(gè)控制網(wǎng)格進(jìn)行迭代細(xì)分，生成所需的尖銳特征。

1 基于非均勻Doo-Sabin細(xì)分方法的曲線插值理論

筆者在文獻(xiàn)［14］中基于非均勻Doo-Sabin細(xì)分模式給出了可以插值二次NURBS曲線的細(xì)分曲面造型方法。該方法首先針對所要插值的曲線，在其控制多邊形附近建立對稱網(wǎng)格帶，對網(wǎng)格帶中的節(jié)點(diǎn)距按一定要求進(jìn)行賦值，然后對包含對稱網(wǎng)格帶的控制網(wǎng)格進(jìn)行統(tǒng)一迭代細(xì)分，最終得到細(xì)分極限曲面插值給定曲線。

針對節(jié)點(diǎn)距的賦值要求（如圖1），用wi表示對稱網(wǎng)格帶的中分多邊形（即所要插值的曲線的控制多邊形）各個(gè)頂點(diǎn)Wi沿相鄰對稱邊的節(jié)點(diǎn)距，以表示網(wǎng)格頂點(diǎn)Vi沿網(wǎng)格邊ViVj的節(jié)點(diǎn)距，為達(dá)到曲線插值的目的，節(jié)點(diǎn)距賦值需滿足如下條件：①

否則，

式中符號“［］”表示對括號內(nèi)的數(shù)取整（只舍不進(jìn)）。

基于非均勻Doo-Sabin細(xì)分的曲線插值方法能夠插值任意單條或多條二次NURBS曲線。本文所研究的尖銳特征造型方法對于特征處細(xì)分規(guī)則的修改，就是根據(jù)基于非均勻Doo-Sabin細(xì)分的曲線插值理論而來的。

2 細(xì)分規(guī)則的修改

本文尖銳特征的定義包括邊界、折痕、角點(diǎn)和刺點(diǎn)等，所研究的尖銳特征構(gòu)造方法是基于細(xì)分規(guī)則修改的方式，為了更清楚地表達(dá)，首先對涉及的一些概念和術(shù)語進(jìn)行說明：

（1）特征邊、點(diǎn)、面 特征邊指折痕和邊界；特征點(diǎn)指特征邊的兩個(gè)端點(diǎn)；特征面指含特征邊的所有網(wǎng)格面。

（2）折痕面與角點(diǎn)面 針對特征面，若只包含一條折痕，則稱為折痕面；若含有2條相交的特征邊或者含有角點(diǎn)，則稱為角點(diǎn)面。

（3）頂點(diǎn)的價(jià) 指網(wǎng)格中與該頂點(diǎn)相連的邊的條數(shù)。

（4）正則點(diǎn)和奇異點(diǎn) 對于網(wǎng)格內(nèi)部點(diǎn)，如果價(jià)為4，對于邊界點(diǎn)，如果價(jià)為2或3，則這些網(wǎng)格頂點(diǎn)稱為正則點(diǎn)，否則稱為奇異點(diǎn)。

根據(jù)文獻(xiàn)［15］中對非均勻Doo-Sabin細(xì)分曲面的收斂及連續(xù)性分析，本文限定網(wǎng)格所有面的邊的條數(shù)及所有頂點(diǎn)的價(jià)均小于11。本文中的圖，如果沒有特別說明，其中虛線表示細(xì)分前網(wǎng)格，實(shí)線表示對應(yīng)細(xì)分后網(wǎng)格，加粗的邊表示特征邊。

2.1 幾何規(guī)則

針對控制網(wǎng)格中的特征面，因?yàn)檎酆勖?、?nèi)部角點(diǎn)面的細(xì)分規(guī)則與邊界面和邊界角點(diǎn)面的細(xì)分規(guī)則相同，所以以邊界面和邊界角點(diǎn)面為例，借鑒文獻(xiàn)［10］中通過修改邊界拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)構(gòu)造連續(xù)曲面插值邊界曲線的思想，同時(shí)結(jié)合筆者提出的基于非均勻Doo-Sabin細(xì)分方法的曲線插值理論，分析推導(dǎo)特征面中各細(xì)分新頂點(diǎn)產(chǎn)生的幾何規(guī)則。

（1）三邊特征面的細(xì)分

分別針對三邊邊界面和三邊角點(diǎn)面進(jìn)行分析。

針對三邊邊界面，考慮其邊界拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的修改如圖2a所示。圖中△ABC 為原邊界面，AB 為邊界邊，對于非邊界邊上的頂點(diǎn)C，求解其關(guān)于AB 中點(diǎn)O 的對稱點(diǎn)D，則對于四邊邊界面ACBD，其節(jié)點(diǎn)距分布如圖2a所示，m 和n 分別表示原邊界邊頂點(diǎn)A和B 沿邊界邊的節(jié)點(diǎn)距。

根據(jù)非均勻Doo-Sabin細(xì)分規(guī)則對四邊邊界面ACBD 進(jìn)行一次細(xì)分操作，得到新頂點(diǎn)：

A1和B1恰好是邊界邊AB 按曲線細(xì)分規(guī)則細(xì)分一次所產(chǎn)生的兩個(gè)新邊點(diǎn)，另外根據(jù)C1+D1=A1+B1，細(xì)分產(chǎn)生的新頂點(diǎn)C1和D1關(guān)于新邊界邊A1B1對稱。無限次細(xì)分后，曲面收斂于AB 直線上的點(diǎn)Q，該點(diǎn)即邊界曲線與AB 的切點(diǎn)。由此，對于三邊邊界面（如圖2b），新頂點(diǎn)A1，B1和C1的計(jì)算遵循式（1）。

對于三邊角點(diǎn)面，其邊界拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)修改如圖3a所示，頂點(diǎn)D 和E 滿足對稱條件B+D=2A，E+C=2A，其節(jié)點(diǎn)距設(shè)置如圖所示，則對四邊面BCDE進(jìn)行一次細(xì)分操作，得到新頂點(diǎn)：

由D1+B1=2A，C1+E1=2A（即新面面同樣滿足之前的對稱條件）進(jìn)行無限次細(xì)分后，曲面收斂于角點(diǎn)A。由此，對于三邊角點(diǎn)面（如圖3b），新頂點(diǎn)B1和C1的計(jì)算遵循式（2），A1=A。

（2）k（3＜k＜11）邊特征面的細(xì)分

針對k邊邊界面和角點(diǎn)面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)修改分別如圖4a和圖4b 所示，修改后得到的新面即文獻(xiàn)［14］對稱網(wǎng)格帶中的單、雙映射對稱多邊形，圖中箭頭所指新面節(jié)點(diǎn)距的賦值需要滿足本文第1章所列出的條件，結(jié)合基于非均勻Doo-Sabin細(xì)分方法的曲線插值理論，即可求解得到k 邊特征面各頂點(diǎn)的細(xì)分點(diǎn)。

相應(yīng)于圖5a，對于k邊邊界面可以得到：

式中：

對于kuohao2（i），為敘述方便，令knot（j）=dj-1，jdj+1，j，d-1，0=dk-2，k-3=c，則

式中u，v滿足：①若i＜2，則u=1-i，否則u=i-2；②若i+2＞k-3，則v=2k-7-i，否則v=i+2。

對于圖5b 所示的k 邊角點(diǎn)面，同樣可以得到：

式中：

針對式中的kuohao2（i），同樣為敘述方便，令knot（j）=dj-1，jdj+1，j，d-1，0=c，dk-3，k-4=e，則

式中u，v滿足：①若i＜2，則u=1-i，否則u=i-2；②若i+2＞k-4，則v=2k-9-i，否則v=i+2。

2.2 拓?fù)湟?guī)則

與一般的非均勻Doo-Sabin 細(xì)分拓?fù)湟?guī)則相比，特征存在情況下的細(xì)分拓?fù)湟?guī)則的不同之處主要在于特征處的處理。每進(jìn)行一次細(xì)分操作，所有的特征面都對應(yīng)產(chǎn)生新面面；對于所有特征邊都不生成新邊面；對于所有特征點(diǎn)，除了在刺點(diǎn)、奇異邊界點(diǎn)和奇異折痕點(diǎn)這些位置對應(yīng)產(chǎn)生新點(diǎn)面外，其他特征點(diǎn)處均不生成新點(diǎn)面。

3 連續(xù)性分析

以下連續(xù)性分析均在節(jié)點(diǎn)距大于0的情況下進(jìn)行，若節(jié)點(diǎn)距等于0，則連續(xù)性自然下降一階。

首先考慮正則邊界點(diǎn)的連續(xù)性，根據(jù)基于非均勻Doo-Sabin細(xì)分方法的曲線插值理論，如果正則邊界點(diǎn)的鄰接邊界面為k（3＜k＜11）邊邊界面，則正則邊界處極限曲面在該正則邊界點(diǎn)的極限處G1連續(xù)。下面考慮正則邊界點(diǎn)的鄰接邊界面存在三邊邊界面的情況。為敘述方便，將某一控制頂點(diǎn)的所有鄰接面構(gòu)成的網(wǎng)格稱為該頂點(diǎn)的1-鄰域網(wǎng)格，1-鄰域網(wǎng)格中的所有控制頂點(diǎn)稱為該頂點(diǎn)的1-鄰域頂點(diǎn)。

如圖6所示，V0為正則邊界點(diǎn)，可以看出隨著其1-鄰域網(wǎng)格的不斷細(xì)分，可能的非G1連續(xù)點(diǎn)只有O 點(diǎn)（O=（qV0+nV1）／（n+q）），下面對O 點(diǎn)處的連續(xù)性進(jìn)行分析。

V0的1-鄰域控制頂點(diǎn)向量V=（V0，V1，…，V4）T，細(xì)分一次后的控制頂點(diǎn) 向量，則V1=SV。細(xì)分矩陣

式中S 的特征值為1，0.5，0.5，0.25，0.125。相應(yīng)于次主特征值0.5的兩個(gè)線性無關(guān)的左特征向量l1=（-1，1，0，0，0）和l2=（-1，0，1，0，0），故其有2個(gè)不共線的切向量，分別為l1·V=V1-V0和l2·V=V2-V0。因此，極限曲面在O 點(diǎn)處G1連續(xù)。

下面進(jìn)一步討論奇異邊界點(diǎn)附近的連續(xù)性。

根據(jù)拓?fù)湟?guī)則，若控制網(wǎng)格存在奇異邊界點(diǎn)，則伴隨細(xì)分次數(shù)的增加，價(jià)等于4的奇異邊界點(diǎn)的數(shù)量將急劇增長。針對奇異邊界點(diǎn)處的連續(xù)性判斷可以統(tǒng)一為三種情況進(jìn)行考慮（如圖7）。

（1）友好奇異邊界點(diǎn)附近的連續(xù)性

引理1 給定3×3控制網(wǎng)格及節(jié)點(diǎn)距設(shè)置，如果滿足如下條件：①控制網(wǎng)格的四個(gè)邊界角點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形；②沿控制網(wǎng)格的某條對角線方向上的2個(gè)四邊形均構(gòu)成平行四邊形；③對于②中對角線方向上的3個(gè)頂點(diǎn)，其沿各自相鄰網(wǎng)格邊的節(jié)點(diǎn)距都相等；④控制網(wǎng)格中任意四邊形的任意兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，其沿此四邊形的兩條相對邊的節(jié)點(diǎn)距相等。則由該3×3控制網(wǎng)格及節(jié)點(diǎn)距所定義的二次非均勻B樣條曲面通過由②中對角線方向上的3 個(gè)控制頂點(diǎn)及對應(yīng)節(jié)點(diǎn)距所確定的二次非均勻B 樣條曲線。

證明 根據(jù)非均勻Doo-Sabin曲線、曲面細(xì)分規(guī)則，可知：

（1）控制網(wǎng)格若滿足引理1中的條件，則在某對角線方向上的3個(gè)頂點(diǎn)所對應(yīng)的非均勻Doo-Sabin細(xì)分點(diǎn)，恰好是以這3個(gè)頂點(diǎn)為控制頂點(diǎn)、以它們分別沿各相鄰網(wǎng)格邊的節(jié)點(diǎn)距作為各控制頂點(diǎn)對應(yīng)節(jié)點(diǎn)距的二次非均勻B樣條曲線的各個(gè)細(xì)分點(diǎn)。

（2）對控制網(wǎng)格每進(jìn)行一次細(xì)分操作，沿該對角線方向就會產(chǎn)生若干新的3×3控制網(wǎng)格，這些新控制網(wǎng)格以及新的節(jié)點(diǎn)距設(shè)置均符合引理1 中的條件。

由上可知，細(xì)分極限曲面通過由該對角線方向上的3個(gè)控制頂點(diǎn)及對應(yīng)節(jié)點(diǎn)距所確定的二次非均勻B樣條曲線。證畢。

定理1 針對非均勻Doo-Sabin細(xì)分曲面，如果控制網(wǎng)格中含有友好奇異邊界點(diǎn)，則按2.1節(jié)給出的三邊特征面的細(xì)分規(guī)則對其關(guān)聯(lián)邊界面進(jìn)行細(xì)分得到的極限曲面，在該奇異點(diǎn)的極限處G1連續(xù)。

證明 如圖9所示，不妨設(shè)三邊面V0V1V2和V5V0V4為控制網(wǎng)格邊界面，V0為友好奇異邊界點(diǎn)，這時(shí)對V0的1-鄰域控制網(wǎng)格進(jìn)行對稱延拓，令V6=V0+V5-V4，V8=V0+V1-V2，V7=V1+V5-V3。延拓部分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)距的設(shè)置與原網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)距關(guān)于邊界邊對稱。延拓后形成的新3×3控制網(wǎng)格及節(jié)點(diǎn)距設(shè)置沿原邊界邊V5V0，V0V1（即新3×3控制網(wǎng)格對角線）方向符合引理1中的條件，因此原邊界曲面變成由延拓后新控制網(wǎng)格及對應(yīng)節(jié)點(diǎn)距所定義的新曲面的一部分，邊界曲線即為頂點(diǎn)V1，V0，V5及對應(yīng)節(jié)點(diǎn)距m，n，n所定義的二次非均勻B 樣條曲線。由此極限曲面在奇異點(diǎn)V0極限處自然滿足G1連續(xù)。證畢。

（2）非友好奇異邊界點(diǎn)附近的連續(xù)性

從圖10可以看出，每進(jìn)行一次細(xì)分操作，原控制網(wǎng)格中的非友好奇異邊界點(diǎn)位置，將會對應(yīng)生成一個(gè)新的三邊邊界面，同時(shí)在此新三邊邊界面兩側(cè)會產(chǎn)生兩個(gè)新的奇異邊界點(diǎn)，一個(gè)是友好奇異邊界點(diǎn)，另一個(gè)是非友好奇異邊界點(diǎn)。伴隨著細(xì)分次數(shù)的遞增，控制網(wǎng)格中友好奇異邊界點(diǎn)的個(gè)數(shù)將越來越多，而非友好奇異邊界點(diǎn)的個(gè)數(shù)則維持一個(gè)常值不變，且其位置越來越靠近非三邊邊界面邊界上的點(diǎn)O（對應(yīng)圖10根據(jù)之前的分析，在友好奇異邊界點(diǎn)處，極限曲面為G1連續(xù)，因此可能出現(xiàn)非G1連續(xù)的位置只有O 點(diǎn)。下面僅對O 點(diǎn)處的連續(xù)性進(jìn)行分析。

如圖10a所示，針對非友好奇異邊界點(diǎn)V0，1-鄰域控制頂點(diǎn)向量V=（V0，V1，…，V6）T，細(xì)分一次后的控制頂點(diǎn)向量，則V1=SV。細(xì)分矩陣

式中S 的特征值為1，0.5，0.5，0.25，0.25，0.25，0.125。與次主特征值0.5相對應(yīng)的兩個(gè)線性無關(guān)左特征向量分別為l1=（-1，1，0，0，0，0，0）和l2=（-（m+n），0，n，m，0，0，0），故有兩個(gè)不共線的切向量，分別為l1·V=V1-V0和l2·V=nV2+mV3-（m+n）V0。

針對如圖10b所示的非友好奇異邊界點(diǎn)B，1-鄰域控制頂點(diǎn)向量V=（B，A，V0，V1，…，Vk）T，細(xì)分一次后的控制頂點(diǎn)向量，則V1=SV。細(xì)分矩陣

細(xì)分矩陣S的特征值為1，0.5，0.5，t1，t2，…，tk-3，0.25，0.25，0.125（t1，t2，…，tk-3為k-3個(gè) 常數(shù)，且|ti|＜0.5）。相應(yīng)于二重次主特征值0.5的兩個(gè)線性無關(guān)的左特征向量為l1=（-1，1，0，…，0）和l2=（lB，lA，l0，l1，…，lk-3，0，0，0），其 中l(wèi)B，lA，l0，l1，…，lk-3為k個(gè)常數(shù)，則其兩個(gè)不共線的切向量為l1·V=A-B 和l2·V=lBB +

綜上分析，極限曲面在O 點(diǎn)處G1連續(xù)。

4 尖銳特征造型實(shí)例

4.1 邊界、折痕特征造型

圖11所示為一個(gè)曲面片邊界細(xì)分實(shí)例。從圖11可以看出，其非友好奇異邊界點(diǎn)的個(gè)數(shù)在整個(gè)細(xì)分過程中維持3 個(gè)不變，所對應(yīng)的細(xì)分極限曲面具有非常清晰的邊界角點(diǎn)特征（圖中為3 個(gè)邊界角點(diǎn)）。圖12所示為分別包含單條及多條折痕特征的曲面片（從左到右依次為初始控制網(wǎng)格、細(xì)分3次網(wǎng)格、光照效果圖），在初始控制網(wǎng)格內(nèi)，以加粗邊表示折痕，以實(shí)心圓點(diǎn)表示內(nèi)部角點(diǎn)，以實(shí)心矩形點(diǎn)表示內(nèi)部刺點(diǎn)，從細(xì)分的光照效果圖可看到明顯的折痕特征。

4.2 常用二次曲面的細(xì)分表示

帶權(quán)因子的非均勻Doo-Sabin細(xì)分曲面是二次NURBS曲面在任意拓?fù)渖系耐茝V。針對整圓的二次NURBS表示，施法中［16］給出了多種方法。本文采用有重節(jié)點(diǎn)的二次NURBS封閉曲線表示整圓。如圖13 所示，整圓所對應(yīng)節(jié)點(diǎn)矢量為｛-0.25，0.0，0.0，0.25，0.25，0.5，0.5，0.75，0.75，1.0，1.0，1.25，1.25｝，各控制頂點(diǎn)對應(yīng)的權(quán)值分別為與加權(quán)非均勻Doo-Sabin曲線細(xì)分相對應(yīng)，對于整圓的細(xì)分生成，圖13所示的各頂點(diǎn)Vi（i=0，1，2，…，7）沿相鄰邊的節(jié)點(diǎn)距di等于對應(yīng)NURBS曲線段參數(shù)區(qū)間的長度（d0=d2=d4=d6=0.0，d1=d3=d5=d7=0.25）。

對于球面、錐面、柱面這種偶次曲面的細(xì)分表示，圖14 從左到右依次給出了細(xì)分初始控制網(wǎng)格、細(xì)分4 次網(wǎng)格及細(xì)分曲面所對應(yīng)的光照效果圖。在細(xì)分初始控制網(wǎng)格中以加粗網(wǎng)格邊表示邊界邊，針對球面細(xì)分初始控制網(wǎng)格，其上、下面各條邊界邊均為退化邊，各邊界點(diǎn)位置重合，但每個(gè)點(diǎn)具有各自獨(dú)立的權(quán)值，在細(xì)分過程中將其視為不同的點(diǎn)對待。對于錐面的細(xì)分初始控制網(wǎng)格，其上面的各條邊界邊也為退化邊，與球面的邊界處理相同。

4.3 特例—截面曲線為超橢圓組合曲線的飛機(jī)機(jī)身和船體曲面造型

圖15所示為以超橢圓組合曲線作為截面曲線生成飛機(jī)機(jī)身和船體曲面的實(shí)例。飛機(jī)機(jī)身截面曲線由三段超橢圓曲線拼接而成，各段曲線具有不同的參數(shù)值，圖中以實(shí)心圓點(diǎn)表示這些曲線的分段連接點(diǎn)（如最左邊圖所示）。根據(jù)文獻(xiàn)［17］，每段超橢圓曲線均可表示為一段二次NURBS 曲線，圖15a給出了機(jī)身曲面細(xì)分初始控制網(wǎng)格，與截面超橢圓組合曲線的每個(gè)分段連接點(diǎn)對應(yīng)，控制網(wǎng)格中定義了三條折痕特征邊（圖中以加粗邊表示），其細(xì)分極限曲面呈現(xiàn)三條清晰折痕。針對船體曲面，其截面曲線由四段超橢圓曲線組合而成，對應(yīng)截面曲線的四個(gè)分段連接點(diǎn)，在船體曲面細(xì)分初始控制網(wǎng)格上定義了四條折痕特征邊。圖15b所示為船體曲面的特征造型。

5 結(jié)束語

本文研究了非均勻Doo-Sabin細(xì)分曲面的尖銳特征構(gòu)造方法。根據(jù)基于非均勻Doo-Sabin細(xì)分方法的曲線插值理論，分析推導(dǎo)了特征面細(xì)分規(guī)則的修改，并對細(xì)分極限曲面在特征處的連續(xù)性進(jìn)行了分析。使用本文方法，首先需要對控制網(wǎng)格中有待生成各種尖銳特征的頂點(diǎn)和邊進(jìn)行標(biāo)識，并對其鄰接網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)距按要求進(jìn)行相應(yīng)的賦值，然后對控制網(wǎng)格中的特征面采用文中所推導(dǎo)的細(xì)分規(guī)則，而非特征面保持原有的細(xì)分規(guī)則不變，這樣對控制網(wǎng)格進(jìn)行迭代細(xì)分，即可生成諸如邊界、折痕、角點(diǎn)、刺點(diǎn)等各種尖銳特征，且邊界、折痕可以為一般二次NURBS曲線。另外借助加權(quán)細(xì)分，本文方法還可以精確構(gòu)造球面、柱面、錐面等常用二次曲面。本文還就該方法應(yīng)用于截面曲線可以表示為二次NURBS曲線的飛機(jī)機(jī)身和船體曲面造型設(shè)計(jì)給出了實(shí)例。

本文方法進(jìn)一步增強(qiáng)了細(xì)分技術(shù)的特征造型能力，但在與現(xiàn)有建模軟件相結(jié)合方面還存在一定欠缺。目前本文方法的實(shí)現(xiàn)是基于自行開發(fā)的軟件系統(tǒng)，雖然可以導(dǎo)出諸如STL，OBJ等格式文件，但導(dǎo)入建模軟件后往往需要經(jīng)過很多后續(xù)處理步驟才能轉(zhuǎn)化為工程模型。如何將本文方法有效集成于現(xiàn)有建模軟件中，以更好地提升其實(shí)用性，將是下一步研究的工作。

［1］ANTONELLI M，BECCARI C V，CASCIOLA G，et al.Subdivision surfaces integrated in a CAD system［J］.Computer-Aided Design，2013，45（11）：1294-1305.

［2］MA Weiyin，WANG Huawei.Interpolating an arbitrary number of joint B-spline curves by loop surfaces［J］.Computers &Graphics，2012，36（5）：321-328.

［3］BIERMANN H，MARTIN I，ZORIN D，et al.Sharp features on multi-resolution subdivision surfaces［J］.Graphical Models，2002，64（2）：61-77.

［4］HOPPE H，DEROSE T，DUCHAMP T，et al.Piecewise smooth surface reconstruction［C］／／Proceedings of ACM SIGGRAPH Conference on Computer Graphics.New York，N.Y.，USA：ACM Press，1994：295-302.

［5］GAO Pengdong，YU Wenhua，LU Yongquan，et al.Sharp feature modelingo fsubdivisionscheme［J］.Journal of Sys-tem Simulation，2009，21（1）：152-156（in Chinese）.［高鵬東，余文華，魯永泉，等細(xì)分模式的尖銳特征造型［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2009，21（1）：152-156.］

［6］WEI Guofu，CHEN Falai.Sharp features of subdivision surfaces over triangular meshes［J］.Journal of University of Science and Technology of China，2002，32（2）：140-146.

［7］ZHANG Jingqiao，WANG Guojin.Generation of sharp features for subdivision surfaces based on curve interpolation［C］／／Proceedings of the 12th National Conference on Image and Graphics.Beijing：Tsinghua University Press，2005：473-478（in Chinese）.［張景嶠，王國瑾.基于曲線插值的細(xì)分曲面尖銳特征的生成［C］／／第十二屆全國圖象圖形學(xué)學(xué)術(shù)會議論文集.北京：清華大學(xué)出版社，2005：473-478.］

［8］HE Gang，LIAO Wenhe.Feature construction method of combined subdivision surface［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2010，16（3）：507-512（in Chinese）.［何 鋼，廖文和.聯(lián)合細(xì)分曲面中特征構(gòu)造方法［J］.計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2010，16（3）：507-512.］

［9］SEDERBERG T，ZHENG J，SEWELL D，et al.Non-uniform recursive subdivision surfaces［C］／／Proceedings of ACM SIGGRAPH Conference on Computer Graphics.New York，N.Y.，USA：ACM Press，1998：387-394.

［10］NASRI A.Polyhedral subdivision methods for free form surfaces［J］.ACM Transactions on Graphics，1987，6（1）：29-73.

［11］LI Tao，ZHOU Laishui，LIU Hao.Sharp feature modeling of doo-sabin subdivision scheme［J］.Journal of Computer-Aided Design &Computer Graphics，2006，18（6）：760-766（in Chinese）.［李 濤，周來水，劉 浩.Doo-Sabin細(xì)分模式的尖銳特征造型［J］.計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2006，18（6）：760-766.］

［12］LIN Xing，LUO Guoming，ZHANG Jiwen.Catmull-clark subdivision surfaces modeling with C-B splines［J］.Journal of Image and Graphics：A，2002，7（9）：876-881（in Chinese）.［林興，羅國明，張紀(jì)文.基于C-B樣條的Catmull-Clark細(xì)分曲面［J］.中國圖象圖形學(xué)報(bào)：A，2002，7（9）：876-881.］

［13］QI Qian.Blending basic curves and surfaces of degree 2by C-type splines and subdivision［D］.Hangzhou：Hangzhou Dianzi University，2013（in Chinese）.［齊 倩.基于C型樣條及細(xì)分方法的二次曲線曲面混合［D］.杭州：杭州電子科技大學(xué)，2013.］

［14］ZHANG Xiangyu.Research on deformation technology of curves and surfaces based on subdivision［D］.Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2011（in Chinese）.［張湘玉.基于細(xì)分的曲線曲面變形技術(shù)研究［D］.南京：南京航空航天大學(xué)，2011.］

［15］HUANG Zhangjin，WANG Guoping.Non-uniform recursive doo-sabin surfaces［J］.Computer-Aided Design，2011，43（11）：1527-1533.

［16］SHI Fazhong.CAGD &NURBS［M］.Beijing：Beihang University Press，1994：353-355（in Chinese）.［施法中.計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條［M］.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1994：353-355.］

［17］ZHANG Xiangyu，LIU Hao，LIAO Wenhe.Quadric NURBS approximation of planar hyperelliptic curve［J］.Journal of Nanjing University of Aeronautics &Astronautics，2007，39（5）：560-564（in Chinese）.［張湘玉，劉 浩，廖文和.平面超橢圓曲線的二次NURBS逼近［J］.南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，39（5）：560-564.］