張湘玉，馬希青，李 明

（河北工程大學 機電學院，河北 邯鄲 056038）

0 引言

細分曲面因其具有任意拓撲適應(yīng)性的優(yōu)勢，目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于可視化與圖形顯示、動畫造型及逆向工程等眾多領(lǐng)域［1-2］。使用細分方法可以構(gòu)造復(fù)雜光滑曲面，但實際產(chǎn)品的造型設(shè)計往往會遇到需要生成各種尖銳特征的情況，為增強細分曲面的造型能力，針對細分曲面的尖銳特征構(gòu)造技術(shù)成為一個非常重要的研究課題。

目前已經(jīng)有很多學者針對不同細分模式開展了不少研究工作，其中：文獻［3-5］分別通過修改Catmull-Clark，Loop等細分模式的細分規(guī)則，使構(gòu)造的曲面可以表達邊界、折痕等尖銳特征；文獻［6-7］通過修改控制網(wǎng)格拓撲關(guān)系來產(chǎn)生尖銳的特征；何鋼等［8］通過調(diào)節(jié)特征角和設(shè)置復(fù)合曲線網(wǎng)實現(xiàn)聯(lián)合細分插值曲線上的特征設(shè)計；Sederberg等［9］參考非均勻B-樣條曲面造型方法，通過在細分規(guī)則中引入非均勻節(jié)點距，能夠獲得拐點、折痕等尖銳造型。另外針對對偶型細分模式，Nasri［10］通過對控制網(wǎng)格邊界多邊形進行拓撲結(jié)構(gòu)修改，給出了有邊界的Doo-Sabin細分模式，從而可以構(gòu)造邊界特征，但不能處理邊界含有奇異點的情況，同時其特征面也不能包含三邊面，不能產(chǎn)生折痕等內(nèi)部特征；李濤等［11］克服了Nasri［10］的不足，通過推廣準均勻二次B 樣條的節(jié)點插入算法，使改進的Doo-Sabin細分模式可以表示邊界、折痕、角點和刺點等尖銳特征，且特征處不受拓撲結(jié)構(gòu)的限制，但其構(gòu)造的折痕、邊界曲線只能是二次均勻B樣條曲線。

工程實際中經(jīng)常會用到一些偶次曲面，如球面、柱面、錐面以及各種旋轉(zhuǎn)面等，對于這類曲面的細分表示，林興等［12］給出了基于C-B 樣條的Catmull-Clark細分表示方法，但難以生成球面；Sederberg等［9］采用非均勻細分的方法來精確地表達球面，但其細分規(guī)則相對復(fù)雜；齊倩［13］給出了雙二次均勻C型樣條曲面的細分方法，以生成球面、圓錐面等二次曲面，但細分規(guī)則與常用細分規(guī)則不統(tǒng)一，不利于在CAD／CAM 領(lǐng)域的推廣應(yīng)用；李濤等［11］通過修改特征面細分規(guī)則來改進Doo-Sabin細分模式，同時利用權(quán)因子對工程中一些常用的二次曲面（如球面、柱面、錐面等）進行精確表達。然而所有上述方法并不適用于一般帶邊界、折痕等特征的二次非均勻有理B 樣條曲線（Non-Uniform Rational B-Spline curve，NURBS）曲面，如機身、船體曲面的造型等。Doo-Sabin細分模式是將二次均勻B樣條曲面擴展至任意拓撲結(jié)構(gòu)得到的一種對偶型細分模式，帶權(quán)因子的非均勻Doo-Sabin細分模式則是二次NURBS曲面于任意拓撲上的推廣，鑒于此，從工程應(yīng)用的角度，研究非均勻Doo-Sabin細分模式尖銳特征造型十分必要，目前對此尚無相關(guān)文獻可查。

本文根據(jù)筆者之前提出的曲線插值理論［14］，研究了非均勻Doo-Sabin細分曲面的尖銳特征構(gòu)造方法。首先對初始控制網(wǎng)格上需要生成各種尖銳特征的頂點和邊進行標識，并對這些頂點和邊的鄰接網(wǎng)格節(jié)點距按要求進行相應(yīng)賦值，然后修改這些鄰接網(wǎng)格面的細分規(guī)則，網(wǎng)格的其他部分保持原有細分規(guī)則不變，從而對整個控制網(wǎng)格進行迭代細分，生成所需的尖銳特征。

1 基于非均勻Doo-Sabin細分方法的曲線插值理論

筆者在文獻［14］中基于非均勻Doo-Sabin細分模式給出了可以插值二次NURBS曲線的細分曲面造型方法。該方法首先針對所要插值的曲線，在其控制多邊形附近建立對稱網(wǎng)格帶，對網(wǎng)格帶中的節(jié)點距按一定要求進行賦值，然后對包含對稱網(wǎng)格帶的控制網(wǎng)格進行統(tǒng)一迭代細分，最終得到細分極限曲面插值給定曲線。

針對節(jié)點距的賦值要求（如圖1），用wi表示對稱網(wǎng)格帶的中分多邊形（即所要插值的曲線的控制多邊形）各個頂點Wi沿相鄰對稱邊的節(jié)點距，以表示網(wǎng)格頂點Vi沿網(wǎng)格邊ViVj的節(jié)點距，為達到曲線插值的目的，節(jié)點距賦值需滿足如下條件：①

否則，

式中符號“［］”表示對括號內(nèi)的數(shù)取整（只舍不進）。

基于非均勻Doo-Sabin細分的曲線插值方法能夠插值任意單條或多條二次NURBS曲線。本文所研究的尖銳特征造型方法對于特征處細分規(guī)則的修改，就是根據(jù)基于非均勻Doo-Sabin細分的曲線插值理論而來的。

2 細分規(guī)則的修改

本文尖銳特征的定義包括邊界、折痕、角點和刺點等，所研究的尖銳特征構(gòu)造方法是基于細分規(guī)則修改的方式，為了更清楚地表達，首先對涉及的一些概念和術(shù)語進行說明：

（1）特征邊、點、面 特征邊指折痕和邊界；特征點指特征邊的兩個端點；特征面指含特征邊的所有網(wǎng)格面。

（2）折痕面與角點面 針對特征面，若只包含一條折痕，則稱為折痕面；若含有2條相交的特征邊或者含有角點，則稱為角點面。

（3）頂點的價 指網(wǎng)格中與該頂點相連的邊的條數(shù)。

（4）正則點和奇異點 對于網(wǎng)格內(nèi)部點，如果價為4，對于邊界點，如果價為2或3，則這些網(wǎng)格頂點稱為正則點，否則稱為奇異點。

根據(jù)文獻［15］中對非均勻Doo-Sabin細分曲面的收斂及連續(xù)性分析，本文限定網(wǎng)格所有面的邊的條數(shù)及所有頂點的價均小于11。本文中的圖，如果沒有特別說明，其中虛線表示細分前網(wǎng)格，實線表示對應(yīng)細分后網(wǎng)格，加粗的邊表示特征邊。

2.1 幾何規(guī)則

針對控制網(wǎng)格中的特征面，因為折痕面、內(nèi)部角點面的細分規(guī)則與邊界面和邊界角點面的細分規(guī)則相同，所以以邊界面和邊界角點面為例，借鑒文獻［10］中通過修改邊界拓撲結(jié)構(gòu)構(gòu)造連續(xù)曲面插值邊界曲線的思想，同時結(jié)合筆者提出的基于非均勻Doo-Sabin細分方法的曲線插值理論，分析推導(dǎo)特征面中各細分新頂點產(chǎn)生的幾何規(guī)則。

（1）三邊特征面的細分

分別針對三邊邊界面和三邊角點面進行分析。

針對三邊邊界面，考慮其邊界拓撲結(jié)構(gòu)的修改如圖2a所示。圖中△ABC 為原邊界面，AB 為邊界邊，對于非邊界邊上的頂點C，求解其關(guān)于AB 中點O 的對稱點D，則對于四邊邊界面ACBD，其節(jié)點距分布如圖2a所示，m 和n 分別表示原邊界邊頂點A和B 沿邊界邊的節(jié)點距。

根據(jù)非均勻Doo-Sabin細分規(guī)則對四邊邊界面ACBD 進行一次細分操作，得到新頂點：

A1和B1恰好是邊界邊AB 按曲線細分規(guī)則細分一次所產(chǎn)生的兩個新邊點，另外根據(jù)C1+D1=A1+B1，細分產(chǎn)生的新頂點C1和D1關(guān)于新邊界邊A1B1對稱。無限次細分后，曲面收斂于AB 直線上的點Q，該點即邊界曲線與AB 的切點。由此，對于三邊邊界面（如圖2b），新頂點A1，B1和C1的計算遵循式（1）。

對于三邊角點面，其邊界拓撲結(jié)構(gòu)修改如圖3a所示，頂點D 和E 滿足對稱條件B+D=2A，E+C=2A，其節(jié)點距設(shè)置如圖所示，則對四邊面BCDE進行一次細分操作，得到新頂點：

由D1+B1=2A，C1+E1=2A（即新面面同樣滿足之前的對稱條件）進行無限次細分后，曲面收斂于角點A。由此，對于三邊角點面（如圖3b），新頂點B1和C1的計算遵循式（2），A1=A。

（2）k（3＜k＜11）邊特征面的細分

針對k邊邊界面和角點面的拓撲結(jié)構(gòu)修改分別如圖4a和圖4b 所示，修改后得到的新面即文獻［14］對稱網(wǎng)格帶中的單、雙映射對稱多邊形，圖中箭頭所指新面節(jié)點距的賦值需要滿足本文第1章所列出的條件，結(jié)合基于非均勻Doo-Sabin細分方法的曲線插值理論，即可求解得到k 邊特征面各頂點的細分點。

相應(yīng)于圖5a，對于k邊邊界面可以得到：

式中：

對于kuohao2（i），為敘述方便，令knot（j）=dj-1，jdj+1，j，d-1，0=dk-2，k-3=c，則

式中u，v滿足：①若i＜2，則u=1-i，否則u=i-2；②若i+2＞k-3，則v=2k-7-i，否則v=i+2。

對于圖5b 所示的k 邊角點面，同樣可以得到：

式中：

針對式中的kuohao2（i），同樣為敘述方便，令knot（j）=dj-1，jdj+1，j，d-1，0=c，dk-3，k-4=e，則

式中u，v滿足：①若i＜2，則u=1-i，否則u=i-2；②若i+2＞k-4，則v=2k-9-i，否則v=i+2。

2.2 拓撲規(guī)則

與一般的非均勻Doo-Sabin 細分拓撲規(guī)則相比，特征存在情況下的細分拓撲規(guī)則的不同之處主要在于特征處的處理。每進行一次細分操作，所有的特征面都對應(yīng)產(chǎn)生新面面；對于所有特征邊都不生成新邊面；對于所有特征點，除了在刺點、奇異邊界點和奇異折痕點這些位置對應(yīng)產(chǎn)生新點面外，其他特征點處均不生成新點面。

3 連續(xù)性分析

以下連續(xù)性分析均在節(jié)點距大于0的情況下進行，若節(jié)點距等于0，則連續(xù)性自然下降一階。

首先考慮正則邊界點的連續(xù)性，根據(jù)基于非均勻Doo-Sabin細分方法的曲線插值理論，如果正則邊界點的鄰接邊界面為k（3＜k＜11）邊邊界面，則正則邊界處極限曲面在該正則邊界點的極限處G1連續(xù)。下面考慮正則邊界點的鄰接邊界面存在三邊邊界面的情況。為敘述方便，將某一控制頂點的所有鄰接面構(gòu)成的網(wǎng)格稱為該頂點的1-鄰域網(wǎng)格，1-鄰域網(wǎng)格中的所有控制頂點稱為該頂點的1-鄰域頂點。

如圖6所示，V0為正則邊界點，可以看出隨著其1-鄰域網(wǎng)格的不斷細分，可能的非G1連續(xù)點只有O 點（O=（qV0+nV1）／（n+q）），下面對O 點處的連續(xù)性進行分析。

V0的1-鄰域控制頂點向量V=（V0，V1，…，V4）T，細分一次后的控制頂點 向量，則V1=SV。細分矩陣

式中S 的特征值為1，0.5，0.5，0.25，0.125。相應(yīng)于次主特征值0.5的兩個線性無關(guān)的左特征向量l1=（-1，1，0，0，0）和l2=（-1，0，1，0，0），故其有2個不共線的切向量，分別為l1·V=V1-V0和l2·V=V2-V0。因此，極限曲面在O 點處G1連續(xù)。

下面進一步討論奇異邊界點附近的連續(xù)性。

根據(jù)拓撲規(guī)則，若控制網(wǎng)格存在奇異邊界點，則伴隨細分次數(shù)的增加，價等于4的奇異邊界點的數(shù)量將急劇增長。針對奇異邊界點處的連續(xù)性判斷可以統(tǒng)一為三種情況進行考慮（如圖7）。

（1）友好奇異邊界點附近的連續(xù)性

引理1 給定3×3控制網(wǎng)格及節(jié)點距設(shè)置，如果滿足如下條件：①控制網(wǎng)格的四個邊界角點構(gòu)成平行四邊形；②沿控制網(wǎng)格的某條對角線方向上的2個四邊形均構(gòu)成平行四邊形；③對于②中對角線方向上的3個頂點，其沿各自相鄰網(wǎng)格邊的節(jié)點距都相等；④控制網(wǎng)格中任意四邊形的任意兩個相鄰頂點，其沿此四邊形的兩條相對邊的節(jié)點距相等。則由該3×3控制網(wǎng)格及節(jié)點距所定義的二次非均勻B樣條曲面通過由②中對角線方向上的3 個控制頂點及對應(yīng)節(jié)點距所確定的二次非均勻B 樣條曲線。

證明 根據(jù)非均勻Doo-Sabin曲線、曲面細分規(guī)則，可知：

（1）控制網(wǎng)格若滿足引理1中的條件，則在某對角線方向上的3個頂點所對應(yīng)的非均勻Doo-Sabin細分點，恰好是以這3個頂點為控制頂點、以它們分別沿各相鄰網(wǎng)格邊的節(jié)點距作為各控制頂點對應(yīng)節(jié)點距的二次非均勻B樣條曲線的各個細分點。

（2）對控制網(wǎng)格每進行一次細分操作，沿該對角線方向就會產(chǎn)生若干新的3×3控制網(wǎng)格，這些新控制網(wǎng)格以及新的節(jié)點距設(shè)置均符合引理1 中的條件。

由上可知，細分極限曲面通過由該對角線方向上的3個控制頂點及對應(yīng)節(jié)點距所確定的二次非均勻B樣條曲線。證畢。

定理1 針對非均勻Doo-Sabin細分曲面，如果控制網(wǎng)格中含有友好奇異邊界點，則按2.1節(jié)給出的三邊特征面的細分規(guī)則對其關(guān)聯(lián)邊界面進行細分得到的極限曲面，在該奇異點的極限處G1連續(xù)。

證明 如圖9所示，不妨設(shè)三邊面V0V1V2和V5V0V4為控制網(wǎng)格邊界面，V0為友好奇異邊界點，這時對V0的1-鄰域控制網(wǎng)格進行對稱延拓，令V6=V0+V5-V4，V8=V0+V1-V2，V7=V1+V5-V3。延拓部分網(wǎng)格節(jié)點距的設(shè)置與原網(wǎng)格節(jié)點距關(guān)于邊界邊對稱。延拓后形成的新3×3控制網(wǎng)格及節(jié)點距設(shè)置沿原邊界邊V5V0，V0V1（即新3×3控制網(wǎng)格對角線）方向符合引理1中的條件，因此原邊界曲面變成由延拓后新控制網(wǎng)格及對應(yīng)節(jié)點距所定義的新曲面的一部分，邊界曲線即為頂點V1，V0，V5及對應(yīng)節(jié)點距m，n，n所定義的二次非均勻B 樣條曲線。由此極限曲面在奇異點V0極限處自然滿足G1連續(xù)。證畢。

（2）非友好奇異邊界點附近的連續(xù)性

從圖10可以看出，每進行一次細分操作，原控制網(wǎng)格中的非友好奇異邊界點位置，將會對應(yīng)生成一個新的三邊邊界面，同時在此新三邊邊界面兩側(cè)會產(chǎn)生兩個新的奇異邊界點，一個是友好奇異邊界點，另一個是非友好奇異邊界點。伴隨著細分次數(shù)的遞增，控制網(wǎng)格中友好奇異邊界點的個數(shù)將越來越多，而非友好奇異邊界點的個數(shù)則維持一個常值不變，且其位置越來越靠近非三邊邊界面邊界上的點O（對應(yīng)圖10根據(jù)之前的分析，在友好奇異邊界點處，極限曲面為G1連續(xù)，因此可能出現(xiàn)非G1連續(xù)的位置只有O 點。下面僅對O 點處的連續(xù)性進行分析。

如圖10a所示，針對非友好奇異邊界點V0，1-鄰域控制頂點向量V=（V0，V1，…，V6）T，細分一次后的控制頂點向量，則V1=SV。細分矩陣

式中S 的特征值為1，0.5，0.5，0.25，0.25，0.25，0.125。與次主特征值0.5相對應(yīng)的兩個線性無關(guān)左特征向量分別為l1=（-1，1，0，0，0，0，0）和l2=（-（m+n），0，n，m，0，0，0），故有兩個不共線的切向量，分別為l1·V=V1-V0和l2·V=nV2+mV3-（m+n）V0。

針對如圖10b所示的非友好奇異邊界點B，1-鄰域控制頂點向量V=（B，A，V0，V1，…，Vk）T，細分一次后的控制頂點向量，則V1=SV。細分矩陣

細分矩陣S的特征值為1，0.5，0.5，t1，t2，…，tk-3，0.25，0.25，0.125（t1，t2，…，tk-3為k-3個 常數(shù)，且|ti|＜0.5）。相應(yīng)于二重次主特征值0.5的兩個線性無關(guān)的左特征向量為l1=（-1，1，0，…，0）和l2=（lB，lA，l0，l1，…，lk-3，0，0，0），其 中l(wèi)B，lA，l0，l1，…，lk-3為k個常數(shù)，則其兩個不共線的切向量為l1·V=A-B 和l2·V=lBB +

綜上分析，極限曲面在O 點處G1連續(xù)。

4 尖銳特征造型實例

4.1 邊界、折痕特征造型

圖11所示為一個曲面片邊界細分實例。從圖11可以看出，其非友好奇異邊界點的個數(shù)在整個細分過程中維持3 個不變，所對應(yīng)的細分極限曲面具有非常清晰的邊界角點特征（圖中為3 個邊界角點）。圖12所示為分別包含單條及多條折痕特征的曲面片（從左到右依次為初始控制網(wǎng)格、細分3次網(wǎng)格、光照效果圖），在初始控制網(wǎng)格內(nèi)，以加粗邊表示折痕，以實心圓點表示內(nèi)部角點，以實心矩形點表示內(nèi)部刺點，從細分的光照效果圖可看到明顯的折痕特征。

4.2 常用二次曲面的細分表示

帶權(quán)因子的非均勻Doo-Sabin細分曲面是二次NURBS曲面在任意拓撲上的推廣。針對整圓的二次NURBS表示，施法中［16］給出了多種方法。本文采用有重節(jié)點的二次NURBS封閉曲線表示整圓。如圖13 所示，整圓所對應(yīng)節(jié)點矢量為｛-0.25，0.0，0.0，0.25，0.25，0.5，0.5，0.75，0.75，1.0，1.0，1.25，1.25｝，各控制頂點對應(yīng)的權(quán)值分別為與加權(quán)非均勻Doo-Sabin曲線細分相對應(yīng)，對于整圓的細分生成，圖13所示的各頂點Vi（i=0，1，2，…，7）沿相鄰邊的節(jié)點距di等于對應(yīng)NURBS曲線段參數(shù)區(qū)間的長度（d0=d2=d4=d6=0.0，d1=d3=d5=d7=0.25）。

對于球面、錐面、柱面這種偶次曲面的細分表示，圖14 從左到右依次給出了細分初始控制網(wǎng)格、細分4 次網(wǎng)格及細分曲面所對應(yīng)的光照效果圖。在細分初始控制網(wǎng)格中以加粗網(wǎng)格邊表示邊界邊，針對球面細分初始控制網(wǎng)格，其上、下面各條邊界邊均為退化邊，各邊界點位置重合，但每個點具有各自獨立的權(quán)值，在細分過程中將其視為不同的點對待。對于錐面的細分初始控制網(wǎng)格，其上面的各條邊界邊也為退化邊，與球面的邊界處理相同。

4.3 特例—截面曲線為超橢圓組合曲線的飛機機身和船體曲面造型

圖15所示為以超橢圓組合曲線作為截面曲線生成飛機機身和船體曲面的實例。飛機機身截面曲線由三段超橢圓曲線拼接而成，各段曲線具有不同的參數(shù)值，圖中以實心圓點表示這些曲線的分段連接點（如最左邊圖所示）。根據(jù)文獻［17］，每段超橢圓曲線均可表示為一段二次NURBS 曲線，圖15a給出了機身曲面細分初始控制網(wǎng)格，與截面超橢圓組合曲線的每個分段連接點對應(yīng)，控制網(wǎng)格中定義了三條折痕特征邊（圖中以加粗邊表示），其細分極限曲面呈現(xiàn)三條清晰折痕。針對船體曲面，其截面曲線由四段超橢圓曲線組合而成，對應(yīng)截面曲線的四個分段連接點，在船體曲面細分初始控制網(wǎng)格上定義了四條折痕特征邊。圖15b所示為船體曲面的特征造型。

5 結(jié)束語

本文研究了非均勻Doo-Sabin細分曲面的尖銳特征構(gòu)造方法。根據(jù)基于非均勻Doo-Sabin細分方法的曲線插值理論，分析推導(dǎo)了特征面細分規(guī)則的修改，并對細分極限曲面在特征處的連續(xù)性進行了分析。使用本文方法，首先需要對控制網(wǎng)格中有待生成各種尖銳特征的頂點和邊進行標識，并對其鄰接網(wǎng)格節(jié)點距按要求進行相應(yīng)的賦值，然后對控制網(wǎng)格中的特征面采用文中所推導(dǎo)的細分規(guī)則，而非特征面保持原有的細分規(guī)則不變，這樣對控制網(wǎng)格進行迭代細分，即可生成諸如邊界、折痕、角點、刺點等各種尖銳特征，且邊界、折痕可以為一般二次NURBS曲線。另外借助加權(quán)細分，本文方法還可以精確構(gòu)造球面、柱面、錐面等常用二次曲面。本文還就該方法應(yīng)用于截面曲線可以表示為二次NURBS曲線的飛機機身和船體曲面造型設(shè)計給出了實例。

本文方法進一步增強了細分技術(shù)的特征造型能力，但在與現(xiàn)有建模軟件相結(jié)合方面還存在一定欠缺。目前本文方法的實現(xiàn)是基于自行開發(fā)的軟件系統(tǒng)，雖然可以導(dǎo)出諸如STL，OBJ等格式文件，但導(dǎo)入建模軟件后往往需要經(jīng)過很多后續(xù)處理步驟才能轉(zhuǎn)化為工程模型。如何將本文方法有效集成于現(xiàn)有建模軟件中，以更好地提升其實用性，將是下一步研究的工作。

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