王 喬， 崔 麗

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875)

小波分析中一類濾波器的構(gòu)造

王 喬， 崔 麗

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100875)

通過(guò)對(duì)多分辨分析性質(zhì)的討論，提出了使用數(shù)值方法修正初始濾波器得到緊支集正交濾波器的方法?？梢葬槍?duì)任何緊支集濾波器進(jìn)行迭代，自動(dòng)得到消失矩更高、質(zhì)量更優(yōu)的濾波器?；贚egendre多項(xiàng)式，構(gòu)造一組平移正交系，在得到初始濾波器后進(jìn)行修正，獲得消失矩為2的濾波器。與db3小波進(jìn)行處理一維信號(hào)和二維信號(hào)的對(duì)比檢測(cè)，實(shí)驗(yàn)證明該濾波器在圖像邊緣處理中有效。

小波分析；濾波器；數(shù)值方法；緊支集；Legendre多項(xiàng)式

有效濾波器在信號(hào)處理、圖像分析等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。小波分析和濾波器之間有著內(nèi)在的相互關(guān)系。在1989年，Mallat提出了多分辨分析的理論框架，Daubechies[1]在這個(gè)框架之下給出了緊支集小波構(gòu)造的理論方法，自此基于小波分析的濾波器的構(gòu)造成為一種獲得濾波器的有效方法。有緊支集雙正交小波濾波器的構(gòu)造[2]，基于二代小波(lifting)的濾波器的構(gòu)造[3-4]，基于緊支集優(yōu)美結(jié)構(gòu)濾波器的設(shè)計(jì)[5]等研究。目前工程應(yīng)用領(lǐng)域?yàn)V波器的構(gòu)造仍然是非常重要的內(nèi)容，且是研究的熱點(diǎn)[6]。

小波分析理論中一個(gè)重要的環(huán)節(jié)就是研究各式各樣的濾波器，并不是任意一組數(shù)據(jù)都可以當(dāng)作濾波器使用的，在現(xiàn)實(shí)中，如果給出的數(shù)據(jù)并不能充分滿足要求，那么就需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正，得到一個(gè)較為理想的濾波器。因此本文提出一種基于Legendre多項(xiàng)式通過(guò)數(shù)值計(jì)算逐步修正來(lái)獲得緊支集正交濾波器的方法。

1 相關(guān)背景知識(shí)

經(jīng)典小波分析理論出發(fā)點(diǎn)是多分辨分析(multi-resolution analysis，MRA)，其定義如下[7]。

定義1. L2(R)中的閉子空間序列稱為一個(gè)正交多分辨分析，如果它滿足以下條件：

(3) 由 ?( t)、Gn及雙尺度方程式(2)確定ψ(t)。

2 初始濾波器選取

由定義可以看出，找到一個(gè)函數(shù)要具備尺度函數(shù)所有的性質(zhì)不是一件明顯直接的事情。不過(guò)如果降低要求，尋找一個(gè)符合部分性質(zhì)的“初始尺度函數(shù)”還是有可能的。考慮“初始尺度函數(shù)”先滿足條件(5)，即使其平移正交。已知[–1,1]內(nèi)Legendre多項(xiàng)式是兩兩正交的，

由如下遞推式給出：

然后做平移伸縮變換：t=2x–1，使其成為[0,1]區(qū)間上的正交系。

若定義：

故此時(shí)

這里取定N=6，計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

圖1 初始尺度函數(shù)

表1 準(zhǔn)濾波器

再由相關(guān)背景知識(shí)中的構(gòu)造算法，得到“準(zhǔn)小波函數(shù)”ψ(x)(如圖2)。

圖2 準(zhǔn)小波函數(shù)ψ (x)

3 濾波器系數(shù)的修正

3.1 濾波器的相關(guān)理論通過(guò)濾波器構(gòu)造出小波函數(shù)的充分條件為[7]：

p階小波的消失矩在時(shí)域中也有如下表示[8]：

然而對(duì)之前的“準(zhǔn)濾波器”系數(shù)的檢查，發(fā)現(xiàn)其并不滿足前兩個(gè)充分條件，進(jìn)而消失矩?zé)o從談起，因此需要找相近的滿足條件的濾波器系數(shù)來(lái)近似“準(zhǔn)濾波器”。

3.2 濾波器的數(shù)值計(jì)算方法本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，有限濾波器是滿足一個(gè)方程式(3)～(5)的解，且是滿足式(5)中的p越高越好的一個(gè)解。最速下降法是解方程的常見(jiàn)且有效的方法[9]。下面就在這個(gè)例子下，說(shuō)明如何通過(guò)最速下降法求解出濾波器。這里由于濾波器h有7個(gè)分量，故使p取2，用最速下降法解含7個(gè)未知量7個(gè)方程的方程組，迭代找到一個(gè)解即可。

步驟 1. 記：

步驟 2. 選取初值 h0為上面得到的“準(zhǔn)濾波器”，計(jì)算 f(h)=f(h0)。

步驟 3. 計(jì)算f在f(h0)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) f′=f′(h0)。

步驟4. 計(jì)算 g0=2f′Tf′。

步驟 5. 計(jì)算v=f′g0，q=vTv，λ=fTv/q。

步驟 6. 計(jì)算Δh0=-λ，h1=h0+Δh0。

步驟 7. 計(jì)算f=f(h1)。

步驟 8. 判斷：若Φ=fTf≈0，則計(jì)算停止；否則h0←h0，轉(zhuǎn)向步驟3。

使用此處的例子，由“準(zhǔn)濾波器”h得到濾波器hstd，兩者對(duì)比如表2。

表2 濾波器系數(shù)處理前后的對(duì)比

4 尺度函數(shù)和小波函數(shù)的構(gòu)建

有了修正后的濾波器系數(shù)，就可以進(jìn)行尺度函數(shù)的構(gòu)建。使用自卷積的方法實(shí)現(xiàn)計(jì)算、構(gòu)造尺度函數(shù)的過(guò)程[8]。先將算法中的階梯曲線改為折線，得到尺度函數(shù)，如圖3所示。再進(jìn)一步使用雙尺度方程進(jìn)行計(jì)算得到小波函數(shù)，如圖4所示。

圖3 修正后尺度函數(shù)

圖4 修正后小波函數(shù)

而且經(jīng)過(guò)數(shù)值計(jì)算：

故這是一個(gè)較為理想的尺度函數(shù)和小波函數(shù)的構(gòu)造。

5 小波函數(shù)檢驗(yàn)

5.1 一維信號(hào)的檢驗(yàn)

以MATLAB中的sumsin信號(hào)作為研究對(duì)象驗(yàn)證小波對(duì)信號(hào)的處理效果。選取db3小波作為對(duì)照，分別選取“準(zhǔn)濾波器”和修正濾波器對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解處理。圖 5～7中每幅圖由上至下分別代表原始信號(hào)、低通分解信號(hào)和高通分解信號(hào)。

通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，修正前的“準(zhǔn)濾波器”在數(shù)據(jù)處理中存在著較大的缺陷，而修正后的濾波器可以較為正確的分解原信號(hào)，沒(méi)有明顯的瑕疵。故濾波器的系數(shù)是合適的，由此構(gòu)造出的小波函數(shù)可以用于信號(hào)的處理。

圖5 db3小波處理

圖6 “準(zhǔn)濾波器”h處理

圖7 濾波器hstd處理

5.2 二維信號(hào)的檢驗(yàn)

下面對(duì)構(gòu)造出的濾波器對(duì)圖像加以簡(jiǎn)單處理，觀察它的作用。二維中的濾波器選取張量積形式，即4個(gè)濾波器對(duì)圖像進(jìn)行濾波。再選取經(jīng)典小波db3的濾波器 hdb3生成的二維濾波器進(jìn)行對(duì)比作為參照。

5.2.1 黑白圖像的檢驗(yàn)

對(duì)黑白圖像處理中，為了更清楚的顯示其差別，把兩者高頻分解部分都做相同的灰度拉伸，效果如圖8～10?？梢园l(fā)現(xiàn)，和對(duì)照組db3小波生成的濾波器處理的圖像相比，由本文算法生成的濾波器可以較好地反映圖像中米粒的邊緣部分。

圖8 原始圖像

圖9 db3濾波器分解

圖10 本文濾波器分解

5.2.2 彩色圖像的檢驗(yàn)

對(duì)彩色圖像處理中，為了更清楚地反映區(qū)別，把兩者的高頻分解部分都先轉(zhuǎn)化為灰度圖，再做相同的灰度拉伸，效果如圖11～13。

結(jié)果是和處理黑白圖像類似的。和對(duì)照組db3小波生成的濾波器處理的圖像相比，由本文算法生成的濾波器仍然可以較好地提取圖像中洋蔥和青椒的邊緣部分。

圖11 原彩色圖像

圖12 db3濾波器分解

圖13 本文濾波器分解

6 結(jié) 論

本文從Legendre多項(xiàng)式出發(fā)，提供了由初始濾波器迭代構(gòu)造濾波器的方法。數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明本文算法計(jì)算濾波器的方法是有效可行的。由本文算法構(gòu)造的濾波器較db3小波能更好地反映圖像的邊緣，為邊緣提取提供了一類新的濾波器。

[1] Daubechies I. Ten lectures on wavelets [M]. 2nd ed.Montpelier Vermont： Capital City Press, 1992： 167-214.

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Construction of A Class of Filter in Wavelet Analysis

Wang Qiao, Cui Li
(School ofMathematicalSciences, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

This paper presents numericalMethods of correcting the initial filters into compactlySupported orthogonal filters by the discussion ofMulti-resolution analysis. The algorithm can iterate for any compactlySupported filters, producing better quality filters with higher vanishingMoment automatically. Based on Legendre polynomials, we construct aSet of translation orthogonalSystem, and on the correction of certain initial filters, we obtain the filters with vanishingMoment of two. Then weMake a detection on the obtained filters about dealing with one-dimensionalSignals and two-dimensionalSignals by contrast with db3 wavelet, and the experiment proves that the filters have an effect dealing with the edges of images.

wavelet; filter; numericalMethod; compactlySupported; Legendre polynomials

TP 301.6

A

2095-302X(2015)02-0257-05

2013-10-30；定稿日期：2014-01-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11001017)

王 喬(1992–)，男，黑龍江七臺(tái)河人，本科。主要研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)。E-mail：qwang@mail.bnu.edu.cn

崔 麗(1978–)，女，黑龍江安達(dá)人，副教授，博士。主要研究方向?yàn)樾〔ǚ治隼碚摷捌鋺?yīng)用。E-mail：licui@bnu.edu.cn