黃文鈞

(1. 廣西民族大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣西 南寧 530006 2. 廣西混雜計算與集成電路設(shè)計分析重點實驗室，廣西 南寧 530006)

基于流體靜力學(xué)的區(qū)域分割活動輪廓模型

黃文鈞1,2

(1. 廣西民族大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，廣西 南寧 530006 2. 廣西混雜計算與集成電路設(shè)計分析重點實驗室，廣西 南寧 530006)

提出一種新的活動輪廓模型，應(yīng)用于灰度圖像的區(qū)域分割。對于定義在灰度圖像上的閉合連續(xù)簡單曲線，該模型應(yīng)用流體靜力學(xué)理論直接驅(qū)動，使其不斷地緩慢收攏，直至收斂于區(qū)域邊界。在這個過程中，閉合連續(xù)簡單曲線所經(jīng)歷的像素都被該模型根據(jù)像素性質(zhì)判定其區(qū)域歸屬。重新初始化有關(guān)變量，激活已收斂于區(qū)域邊界的閉合連續(xù)簡單曲線，繼續(xù)驅(qū)動閉合連續(xù)簡單曲線收攏，直至該曲線收斂于內(nèi)嵌的新區(qū)域邊界或者收斂于一個點。在該模型運行過程中，一條閉合連續(xù)簡單曲線可能會分裂成多條閉合連續(xù)曲線，以適應(yīng)多區(qū)域分割。當(dāng)一條閉合連續(xù)的簡單曲線經(jīng)過模型持續(xù)驅(qū)動之后收斂于一個點時，被其包圍的區(qū)域分割才告結(jié)束。本文提出的模型能夠分割多區(qū)域和嵌套區(qū)域。

區(qū)域分割；活動輪廓；流體靜力學(xué)；圖像分割

圖像分割是將一幅圖像劃分成若干個互不相交的區(qū)域，使得灰度、彩色、紋理等特征在同一個區(qū)域內(nèi)表現(xiàn)出一致性或相似性。圖像分割方法有基于邊緣的、基于區(qū)域的、基于紋理的等等。基于區(qū)域的分割方法，受邊緣的影響較小，優(yōu)于基于邊緣的分割方法。經(jīng)典的區(qū)域分割法當(dāng)屬“區(qū)域生長法”[1]，該方法簡練，但有自身的弱點，譬如種子像素比較難確定。自從活動輪廓方法興起[2]，基于區(qū)域分割法有了新的模型和算法。文獻(xiàn)[3]提出了基于區(qū)域相似性的活動輪廓合成孔徑雷達(dá)(synthetic aperture radar，SAR)圖像分割模型：首先將原始圖像過分割成同質(zhì)子區(qū)域集合；然后結(jié)合強(qiáng)度和紋理信息真實度量子區(qū)域的成對相似性，并以此定義能量泛函；最后實現(xiàn)SAR圖像的有效分割。文獻(xiàn)[4]提出了基于局部信息的幾何主動輪廓(geometric active contour，GAC)模型：將圖像區(qū)域局部化，構(gòu)造局部符號壓力函數(shù)指導(dǎo)輪廓線收縮與擴(kuò)張。文獻(xiàn)[5]利用圖像局部信息，定義一種新的符號壓力函數(shù)，對GAC模型進(jìn)行改進(jìn)，提出一種新的區(qū)域活動輪廓模型，以解決非同質(zhì)或弱邊界圖像分割問題。文獻(xiàn)[6]提出一種水、陸區(qū)域分割的活動輪廓模型，該模型通過引入基于梯度的邊緣引導(dǎo)函數(shù)，提升對水、陸區(qū)域邊緣的捕捉能力和抗噪音干擾能力。文獻(xiàn)[7]利用局部圖像統(tǒng)計信息來代替 C-V(Chan-Vese)模型中的全局灰度均值，以此方法分割灰度不均勻的圖像。文獻(xiàn)[8]提出一種基于模糊聚類和活動輪廓相結(jié)合的區(qū)域分割模型。文獻(xiàn)[9]針對多相C-V模型中計算復(fù)雜度高、對初始輪廓選取位置敏感、分割不精確等問題，在區(qū)域梯度算法的基礎(chǔ)上，引入自適應(yīng)權(quán)重項對擬合中心進(jìn)行加權(quán)計算，給出一種改進(jìn)的自適應(yīng)C-V模型。文獻(xiàn)[10]利用兩個水平集函數(shù)產(chǎn)生兩條閉合曲線，一條取目標(biāo)區(qū)域，另一條取背景區(qū)域。

本文將討論基于區(qū)域分割的新模型：基于流體靜力學(xué)原理的活動輪廓區(qū)域分割模型。本文從一個基于流體靜力學(xué)原理的物理模型入手，再導(dǎo)出對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

1 流體靜力學(xué)基本知識

(1) 流體處于靜止?fàn)顟B(tài)時，作用在流體表面上的表面力只有壓力。

(2) 流體靜壓力的兩個特性：流體靜壓力的方向必沿作用面的內(nèi)法線方向；流體中任意一點所受的各方向壓力相等。

(3) 歐拉(流體)平衡微分方程式：

其中，fx、fy、fz分別表示質(zhì)量力在x軸、y軸、z軸上的投影分別表示流體靜壓力在x軸、y軸、z軸方向單位距離上壓強(qiáng)的變化率；ρ表示流體密度。

該方程式表明流體處于平衡狀態(tài)時，單位質(zhì)量流體所受的表面力與質(zhì)量力彼此相等。

(4) 靜止流體中凡壓強(qiáng)相等的各點聯(lián)結(jié)起來組成的平面或者曲面稱為等壓面。

2 基于流體靜力學(xué)原理的模型

物理模型：

(1) 將一組剛體裝入一個具有優(yōu)良彈性的薄橡皮口袋中，將該口袋密封。

(2) 將這個已密封的口袋，連同里面的剛體一起，浸沒入一個具有足夠深度的湖中，在水壓力足夠大的位置懸停。這時該口袋，連同其中的剛體，處于平衡狀態(tài)。

(3) 通過此口袋以及其中的所有剛體，作一個理想的等壓剖面。在這個理想的等壓剖面上，含有該口袋的一個確定剖面(是一條封閉的平面曲線)、內(nèi)部空間的一個確定剖面、所有剛體的確定剖面(每一個剛體剖面均為一個平面區(qū)域)。

(4) 緩慢地抽出這個口袋里的空氣，這時該口袋上各點在其內(nèi)法線方向上承受的合力逐漸增大，平衡狀態(tài)被打破，該口袋上各點沿著自己的內(nèi)法線方向從外向里緩慢移動，逼近內(nèi)部的剛體；這個過程反映到該等壓剖面上，出現(xiàn)一個相應(yīng)現(xiàn)象：口袋剖面上的任意一點，在其內(nèi)法線方向上承受的合力越來越大，迫使該點沿著自己的內(nèi)法線方向從外向里緩慢移動，帶動曲線從四周向里緩慢收縮，逼近內(nèi)部的剛體剖面。

(5) 隨著口袋里的空氣逐漸稀少，在流體壓力以及橡皮彈力的作用下，此口袋從各個方向向內(nèi)部的剛體緩慢逼近，逐漸將各個剛體隔離；和上述的情形相似，反映到該等壓剖面上，也出現(xiàn)一個相應(yīng)現(xiàn)象：口袋剖面從四周向內(nèi)部的剛體剖面緩慢逼近，逐漸將各個剛體剖面隔離。(6) 當(dāng)口袋里形成真空時，在靜水壓力以及橡皮彈力的作用下，口袋的內(nèi)表面將粘在剛體的表面上，或者內(nèi)表面相互粘貼在一起，口袋里將沒有任何縫隙。由于物品是剛體，不可壓縮，根據(jù)歐拉平衡方程式，口袋將處于新的平衡。相應(yīng)地，等壓剖面上的口袋剖面，一條閉合曲線，其內(nèi)部也沒有任何縫隙，曲線粘在剛體剖面的輪廓上，或者內(nèi)側(cè)粘貼在一起。此時，在該等壓剖面上，剪掉那些聯(lián)結(jié)在兩個剛體剖面之間的曲線段，即得到各個剛體剖面的分割。模擬上述物理模型的數(shù)學(xué)模型：

(1) 定義如下幾個變量：i，j，m，n，s，t，x， y，Δs，

(2) 設(shè)一幅灰度圖像為：

其中，1≤i≤m，1≤j≤n，[m,n]=size(I)，m,n≥1。這幅圖像模擬物理模型的等壓剖面。

(3) 在該灰度圖像平面上定義一條簡單閉合連續(xù)曲線：

其中，t(t≥0)表示時刻，(x(s,t)，y(s,t))表示曲線上的點。

(4) 在曲線 C(s,t)上定義一個函數(shù)并將其初始化：

模擬物理模型中的口袋剖面各點初始所受的流體靜壓力。

(5) 將曲線C(s, 0)包圍灰度圖像I的目標(biāo)，模擬口袋剖面包圍剛體剖面。

(6) 定義如下偏微分方程(partial differential equation，PDE)為驅(qū)動曲線C(s,t)的數(shù)學(xué)模型：

(7) 應(yīng)用偏微分方程(*)驅(qū)動曲線C(s,t)：將偏微分方程(*)應(yīng)用于閉合曲線 C(s,ti–1)上任意一點(x(sj,ti–1),y(sj,ti–1))，可產(chǎn)生曲線C(s,ti)的相應(yīng)一個點：(x(sk,ti),y(sk,ti))：=(x(sj,ti-1),y(sj,ti-1))+?t×α×β

其中：

將此點(x(sk,ti) ,y(sk,ti))添加到曲線 C(s,ti)的相應(yīng)位置，并且記錄此點對應(yīng)的“α×β”：

(8) 如果曲線 C(s,ti)上任意相鄰兩點(x(sk,ti),y(sk,ti))和(x(sk–1,ti),y(sk–1,ti))滿足下面不等式：

則用曲線：

連接并加入到曲線C(s,ti)之中，其中：

函數(shù) Ic(x,y)在這段連接曲線上的取值保持不變。

(9) 如果閉合曲線C(s,ti)除了端點之外，還有另外重合點，則將曲線 C(s,ti)裁剪成幾條簡單閉合曲線，從中選取那些周長大于預(yù)定閾值CL(＞0)的簡單閉合曲線，連同在它們上面定義的函數(shù)Ic(x,y)，一起存儲于集合W中。如果集合W非空，從集合W中取出其中一條曲線，仍記為C(s,ti)。

(10) 計算下面表達(dá)式：

若最小值min隨t值增大而未趨于穩(wěn)定，則跳 轉(zhuǎn)第(7)步繼續(xù)驅(qū)動曲線C(s,t)；如果最小值min為零或者隨 t值增大而趨于穩(wěn)定，暫停對曲線 C(s,t)的驅(qū)動，并進(jìn)行如下處理：

并跳轉(zhuǎn)第(7)步繼續(xù)驅(qū)動該曲線 C(s,t)，搜索嵌套的區(qū)域。如果曲線 C(s,t)的周長|C(s,t)|過短，即|C(s,t)|＜CL，則被此曲線包圍的區(qū)域不予考慮，當(dāng)噪音處理，放棄此曲線。

(11) 如果集合 W不空，從中取出一條曲線并記為C(s,ti–1)，跳轉(zhuǎn)第(7)步繼續(xù)執(zhí)行。

(12) 結(jié)束。

3 模型分析與討論

物理模型中的“等壓剖面”實際上是一個水平面，在該水平面上的口袋剖面是一條閉合的橡皮曲線，如果不考慮質(zhì)量力，曲線上任意一點，未接觸剛體剖面邊緣之前，只受兩個力：一個是朝內(nèi)法線方向的靜水壓力，另一個是朝外法線方向的氣體壓力。

在抽出該口袋里的空氣之前，該曲線上任意一點都處于平衡狀態(tài)，此時根據(jù)歐拉方程可以推知：曲線上任意一點在法線方向上合力為零。在“緩慢地”抽出空氣過程中，靜水壓力不變，而氣體壓力變小，曲線上的點在法線方向上所受合力不為零，原平衡狀態(tài)被改變，曲線上的點發(fā)生位移。由于抽出空氣過程“緩慢”，流體狀態(tài)依然可以看成“靜態(tài)”，曲線上任意一點所受的靜水壓力和氣體壓力依然朝著法線方向。隨著氣體壓力緩慢變小，曲線上任意一點在靜水壓力和氣體壓力的合力作用下朝內(nèi)法線方向緩慢移動，帶動著整條曲線緩慢地演變。曲線的任意一點，如果在內(nèi)法線方向上沒有障礙物，則受力大小相等，在同一個時間間隔內(nèi)移動的距離也相等。曲線上的點沿內(nèi)法線方向移動時若碰上剛體邊緣，受邊緣慣性力和流體壓力在法線方向上的合力(合力為零；該點所受氣體壓力為零)作用，該點停止移動，根據(jù)歐拉平衡方程，該點在曲線后續(xù)演變的過程中保持平衡。

本數(shù)學(xué)模型是上述物理模型的模擬，其中的灰度圖像I(i,j)對應(yīng)物理模型的“口袋內(nèi)部空間剖面”；灰度圖像I(i,j)的目標(biāo)區(qū)域?qū)?yīng)“剛體剖面”；曲線C(s,t)對應(yīng)“口袋剖面”，非目標(biāo)區(qū)域?qū)?yīng)口袋內(nèi)部空間(不含上述的剛體)的剖面。

偏微--→分方程(*)驅(qū)動曲線 C(s,t)上的點沿著內(nèi)法線方向N緩慢移動，模擬口袋剖面在靜流體壓力作用下緩慢收縮過程。

偏微分方程(*)的變量 β，其值與函數(shù)(也可以看成變量)Ic(x(s,t),y(s,t))的值相同。設(shè)該變量β，是為了方程(*)書寫簡潔。該變量表征曲線上的點是否已接觸目標(biāo)區(qū)域邊緣：β=0表征曲線C(s,t)上的點(x(s,t),y(s,t))已接觸目標(biāo)區(qū)域邊緣，不再移動(x(s,t+Δt),y(s,t+Δt))：=(x(s,t),y(s,t))，同時Ic(x(s,t+Δt), y(s,t+Δt))：=0，β：=0。以此方法模擬口袋剖面上的點，接觸剛體邊界后的平衡狀態(tài)；β=1表征曲線C(s,t)上的點(x(s,t),y(s,t))目前(時刻t)是否接觸目標(biāo)區(qū)域邊界尚未確定，需要在時刻 t+Δt結(jié)合變量 α (見數(shù)學(xué)模型第(6)步)加以考察：如果參數(shù)α=0，則β×α=0，表明該點(x(s,t),y(s,t))已接觸目標(biāo)區(qū)域邊界，不能再移動，此時，有：(x(s, t+Δt),y(s,t+Δt))：=(x(s, t),y(s,t)),Ic(x(s, t+Δt),y(s, t+Δt))：=0，β：=0。如果α=1，則β×α=1，表征曲線C(s,t)上的點(x(s,t),y(s,t))未接觸目標(biāo)區(qū)域邊界，仍然可以沿內(nèi)法線方向移動(見偏微分方程(*))，此時，Ic(x(s, t+Δt),y(s,t+Δt))：=1，β：=1。以此方法模擬口袋剖面上的點，未接觸剛體邊界之前，仍沿流體靜壓力方向移動。

在本數(shù)學(xué)模型里，所有的區(qū)域都被暫時當(dāng)成目標(biāo)區(qū)域，都要被分割出來。本模型認(rèn)為：灰度圖像的目標(biāo)區(qū)域是一個平面區(qū)域，有一定的面積，也有一定的周長。因此，預(yù)先給目標(biāo)定義一個判別標(biāo)準(zhǔn)，預(yù)設(shè)一個正整數(shù)閾值。在閉合曲線演化的過程中，若發(fā)現(xiàn)曲線周長小于該閾值，就可以認(rèn)為該閉合曲線內(nèi)部無目標(biāo)區(qū)域，可放棄該曲線。曲線的長度以點(像素)的數(shù)目表征。

當(dāng)曲線上某個像素的內(nèi)法線方向和直線y=x或y=–x平行時，沿此像素內(nèi)法線方向的最鄰近像素，和該像素的距離等于，大于一個像素距離，這時此像素要選取向內(nèi)水平方向或豎直方向為移動方向，以保證

事實上，本文模型是用新方法來實現(xiàn)區(qū)域生長。區(qū)域生長法是這樣表述：先對每個需要分割的區(qū)域找一個種子像素作為生長的起點，然后將種子像素周圍鄰域中與種子像素有相同或相似性質(zhì)的像素(根據(jù)某種事先確定相同或相似準(zhǔn)則來判定)合并到種子像素所在的區(qū)域中。將這些新像素當(dāng)作新的種子像素繼續(xù)進(jìn)行上述過程，直到再沒有滿足條件的像素可以被包含進(jìn)來為止。這樣一個區(qū)域就長成了。

要實現(xiàn)區(qū)域生長法，需要解決3個基本問題：①選擇或確定一個或一組能正確代表所屬區(qū)域的種子像素；②確定在生長過程中能將相鄰像素包括進(jìn)來的準(zhǔn)則；③制定讓增長停止的條件或準(zhǔn)則。然而，在事先不了解區(qū)域?qū)傩曰蚍秶那闆r下，第①個問題就很難解決。事實上，對于一幅圖像，是由若干個區(qū)域組成，2個相鄰區(qū)域之間有可以分辨的邊界。如果將這些區(qū)域分類，可以分成2類：目標(biāo)區(qū)域和非目標(biāo)區(qū)域。要確定目標(biāo)區(qū)域，有2條途徑：①直接分割出所有目標(biāo)區(qū)域；②分割出所有非目標(biāo)區(qū)域。在這2條途徑當(dāng)中，任意選擇其中一條都可以實現(xiàn)目標(biāo)區(qū)域分割。對于圖像上的任何一個像素，在確定的某一時間段內(nèi)，也只有2種歸屬：屬于目標(biāo)區(qū)域或?qū)儆诜悄繕?biāo)區(qū)域。綜合以上討論可以得出一個結(jié)論：圖像內(nèi)任何一個還沒有歸屬的像素，都可以作為區(qū)域的種子像素。本文模型初始化時需要在圖像邊緣上定義一條連續(xù)的、閉合的簡單曲線，包圍整幅圖像。根據(jù)上述討論，這條曲線上的像素可以作為初始種子像素。本文模型還需要定義一個閾值，作為2個準(zhǔn)則的基準(zhǔn)：當(dāng)種子像素與相鄰像素的灰度差(絕對值)小于該閾值，則將該相鄰像素包括進(jìn)來；反之將該相鄰像素作為新區(qū)域的邊界。

包圍圖像的閉合曲線，在流體靜壓力(模型中的微分方程)的驅(qū)動下，緩慢收縮，所包圍的范圍越來越小，所有像素都將被曲線訪問，對照“相同或相似性質(zhì)”，每一個像素都有一個確定的區(qū)域歸屬。當(dāng)所有的閉合曲線都收縮成點以后，圖像中所有像素的歸屬已全部確定，到此區(qū)域分割完成。

4 實驗及對比

本實驗所用的電腦參數(shù)為：Intel(R) Xeon(R)CPU E31230@3.20 GHz；內(nèi)存2 G。采用MATLAB語言編程，用其中的函數(shù)cputime()計時。在互聯(lián)網(wǎng)以及文獻(xiàn)[6]上各取了2幅圖作實驗(見圖1)，驗證算法的有效性，同時也是為了對比。實驗表明本文模型有效(見圖2)，分割質(zhì)量比較好，可控制噪音干擾(把噪音當(dāng)目標(biāo)區(qū)域分割，然后根據(jù)面積大小決定取舍)，但迭代次數(shù)比文獻(xiàn)[6]的多，原因是本模型不管原圖像的灰度均勻還是變化復(fù)雜，都要遍歷圖像全部像素，分割所有區(qū)域。

圖1 本文模型實驗用圖

圖2 本文模型的實驗結(jié)果

表1給出了相關(guān)的實驗數(shù)據(jù)。

表1 兩種模型的實驗數(shù)據(jù)對比

5 結(jié) 論

本文模型能夠分割背景和目標(biāo)近似于二值的圖像、背景和目標(biāo)灰度比較復(fù)雜的圖像和分割嵌套的目標(biāo)和多目標(biāo)區(qū)域；分割的區(qū)域輪廓線基本完整。收斂性穩(wěn)定，只要初始活動曲線包圍了目標(biāo)區(qū)域，經(jīng)過一定次數(shù)的迭代該活動曲線都能夠收斂于目標(biāo)區(qū)域邊界；一旦活動曲線收斂于區(qū)域邊界，即使迭代次數(shù)繼續(xù)增加也不會改變該活動曲線的位置，因此也有效控制了過分割現(xiàn)象的發(fā)生?？乖胄员容^強(qiáng)，即使比較稠密的噪音也不會影響活動曲線收斂于目標(biāo)區(qū)域邊界的性能，但是模型迭代次數(shù)會增加、收斂速度會減慢。

(本文實驗用圖來自國際互聯(lián)網(wǎng)和參考文獻(xiàn)，本文作者向這4幅圖的作者表示衷心的感謝！)

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An Active ContourModel Based on FluidStatics for Region-BasedSegmentation

Huang Wenjun1,2
(1. College of InformationScience and Engineering, Guangxi University for Nationalities, Nanning Guangxi 530006, China; 2. Guangxi Key Laboratory of Hybrid Computation and IC Design Analysis, Nanning Guangxi 530006, China)

A new active contourModel for region-basedSegmentation of grayscale image is proposed in this paper. ThisModel bases on the theory of fluidStatics. TheModel uses the theory of hydrostatic to drive a closed continuousSimple curve defined on a gray image and contracts the curve constantly until the curve converges to a region boundary. In this process, the pixels of the closed continuousSimple curve areSorted intoSome regions by theModel according to the nature of the pixels. Reinitializing the related variables and activating the closed continuousSimple curve which has converged to the boundary of the region, theModel continues to drive the curve until the curve converges to the boundary of a new embedded region or converges to a point. In the process of driving aSimple closed continuous curve by theModel, the cureMay beSplit intoSome closed continuous curves. When a closed curve converges to a point, theSegmentation for the regionSurrounded by the closed curve is complete. ThisModel is able toSegmentMultiple regions, and able toSegment the regions which are in the interior of another region of a grayscale image.

region-basedSegmentation; active contour; fluidStatics; imageSegmentation

A

2095-302X(2015)02-0227-06

TP 391

2014-10-08；定稿日期：2014-10-30

黃文鈞(1958–)，男，廣西武鳴人，副教授，碩士。主要研究方向為圖像分割。E-mail：hwjart@126.com