閆勝昝， 章 健， 蘇本躍

(安慶師范學(xué)院計算機與信息學(xué)院，安徽 安慶 246011)

不規(guī)則復(fù)雜牙冠模型的建立及優(yōu)化分析

閆勝昝， 章 健， 蘇本躍

(安慶師范學(xué)院計算機與信息學(xué)院，安徽 安慶 246011)

從牙齒掃描的點云數(shù)據(jù)出發(fā)，提出優(yōu)化的快速行進距離場構(gòu)建算法用于實現(xiàn)牙冠模型的高精度快速生成。借助計算機輔助工程中的應(yīng)力有限元分析方法，獲得網(wǎng)格單元上的受力情況，建立有限元實體網(wǎng)格單元與三角面片網(wǎng)格模型面片間應(yīng)力關(guān)系模型。利用仿真引導(dǎo)設(shè)計的方法實現(xiàn)常規(guī)臨床治療手工加工過程的數(shù)字化和虛擬化，從而有效加速建模過程，并將模型修整部分提前到設(shè)計階段。通過創(chuàng)建并優(yōu)化后的模型可簡化治療程序、縮短治療周期、減輕病人痛苦。

不規(guī)則網(wǎng)格曲面；點云數(shù)據(jù)；有限元分析；距離場；力矢量分解

口腔修復(fù)學(xué)作為口腔醫(yī)學(xué)的一個重要組成部分，是醫(yī)學(xué)與現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物。近年來，隨著計算機技術(shù)的不斷發(fā)展，特別是計算機圖形圖像處理技術(shù)、虛擬現(xiàn)實技術(shù)和現(xiàn)代醫(yī)學(xué)的飛速發(fā)展與交叉融合、相互滲透，利用計算機進行口腔修復(fù)并設(shè)計出實用的醫(yī)學(xué)仿真系統(tǒng)成為計算機應(yīng)用研究的一大熱點，其研究基礎(chǔ)是牙齒建模研究。CAD源自工業(yè)領(lǐng)域，廣泛應(yīng)用于制造業(yè)。工業(yè)上使用的CAD系統(tǒng)，設(shè)計加工對象通常是標(biāo)準(zhǔn)的幾何體，具有一定的數(shù)學(xué)表達，而牙齒模型形態(tài)各異，多為復(fù)雜的不規(guī)則曲面，因此在實現(xiàn)個性化設(shè)計、滿足美觀和精度等多方面的要求上有一定的難度。

近年來，制作義齒的相關(guān)技術(shù)取得了一定進展，Williams等[1-3]采用具有力回饋功能的人機交互設(shè)備，進行了可摘義齒的CAD與金屬支架快速成形，并在患者口內(nèi)初步驗證了適合性。國內(nèi)學(xué)者采用兩步法進行全口義齒的CAD軟件開發(fā)以及全口義齒修復(fù)體的快速成形輔助制作，初步完成了全口義齒輔助制作系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論和基本方法的探索工作，實現(xiàn)了CAD技術(shù)在全口義齒修復(fù)領(lǐng)域的突破[4-6]。隨著研究和應(yīng)用的不斷深入，在各種CAD系統(tǒng)中，相關(guān)數(shù)據(jù)的收集、分析、歸納和整理在逐步深入，與設(shè)計相關(guān)的口腔修復(fù)數(shù)據(jù)庫也日益完善，特別是在嵌體、貼面、固定橋、個性化種植體的形態(tài)和功能設(shè)計上都已具有較高的水準(zhǔn)和精度。然而，CAD階段的問題也并未完全解決，口腔修復(fù)CAD系統(tǒng)的研究方向主要集中于傳統(tǒng)修復(fù)領(lǐng)域的拓展，制作完整修復(fù)體時必須考慮咬合、鄰面接觸關(guān)系，需要模擬個性化下頜咬合運動關(guān)系進行檢查、調(diào)整。而在設(shè)計制作牙齒全冠模型時，需要一種合理有效的等距算法，對分割后的牙冠模型進行等距放大，然后利用得到的等距面和原牙冠模型相結(jié)合得到牙齒全冠模型。在設(shè)計時，應(yīng)避免飾瓷層過厚、過薄以及由于基底冠厚度不均勻?qū)е碌牟牧蠎?yīng)力，采用適當(dāng)?shù)那娴染嗨惴ǎ梢詫棿杀懒训娘L(fēng)險降至最低。傳統(tǒng)的對網(wǎng)格模型的等距方法主要包括基于面的等距[7]和基于點的等距[8]。其中，基于面的等距方法是先將網(wǎng)格模型中的所有面片沿各自法向量方向移動一個定值，然后，通過裁剪和延伸等操作，使其構(gòu)成閉合網(wǎng)格，該方法在操作過程中需要處理大量的面片相交問題。而基于點的等距則是將網(wǎng)格中的各個控制點沿其法向量方向移動一個定值，然后，根據(jù)原模型的拓撲關(guān)系來生成新模型。這兩種方法的優(yōu)點是運算速度快，在等距距離較小時比較實用。然而，當(dāng)?shù)染嗑嚯x較大時，自交與斷裂現(xiàn)象的出現(xiàn)將不可避免。此外，使用隱式曲面的等距[9]也是一種思路，其主要原理是通過選取原模型中部分控制點，由這部分控制點及其法向量信息構(gòu)造出一個基于徑向基函數(shù)(radial basis function，RBF)的隱式曲面，適當(dāng)調(diào)整隱式曲面中的參數(shù)便可得到等距曲面。這種算法可以在等距距離較小的情況下不產(chǎn)生自交，缺點是生成的等距模型精度不夠，主要原因在于構(gòu)造隱式曲面時，需要大量的控制點作為RBF的插值點，當(dāng)插值點增多時，運算的復(fù)雜度將會急劇增高，而如果減少插值點數(shù)量則必然會影響到生成的等距曲面的精度。對于控制點數(shù)目較大的牙齒模型來說，使用隱式曲面的等距在精度問題上不能滿意。為了避免出現(xiàn)自交現(xiàn)象，同時在保證精度的前提條件下提高算法的時效性，Lorensen等[10-11]采用移動立方體算法(marching cubes，MC)或雙重輪廓線算法(dual contouring，DC)來處理等距問題。

本文利用基于 DC算法構(gòu)造的優(yōu)化等距算法處理等距問題，采用優(yōu)化的快速行進算法(fastMarching)構(gòu)建距離場，每次循環(huán)均計算采樣點到最近三角面片的距離值，而非用從前次循環(huán)遞推出的間接距離表示，在保證牙體模型精度的前提下，獲得較好的提速效果；引入CAE分析方法計算牙冠模型的應(yīng)力/應(yīng)變；利用有限元分析的應(yīng)力/應(yīng)變結(jié)果指導(dǎo)牙冠模型調(diào)整優(yōu)化，提高模型一次制作精度，減少對其進行手工精加工和調(diào)磨所需的時間，減輕患者痛苦。

1 模型重建

1.1 優(yōu)化的fastMarching距離場構(gòu)建算法

Sethian[12]提出的fastMarching算法，是一種用于處理運動界面演化問題的算法，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于圖像處理，曲面重建的領(lǐng)域。fastMarching算法主要分3步：

(1) 將空間中所有采樣點分為3類：① alive：已經(jīng)被訪問過的點；② active：正在或即將被訪問的點；③ faraway：遠離的點，是否需要訪問未知。

算法先將原始數(shù)據(jù)作為種子，在二維平面中是一條曲線，在三維空間中就是一個曲面。對于牙齒模型來說，可以將原模型的點云數(shù)據(jù)或三角網(wǎng)格的控制點作為種子。構(gòu)建距離場時，由種子出發(fā)，種子標(biāo)記為active，均勻柵格中的所有采樣點標(biāo)記為faraway。

(2) 訪問所有標(biāo)記為active的采樣點，將訪問到的采樣點的標(biāo)記改為 alive。然后，訪問此采樣點 1鄰域范圍內(nèi)的其他采樣點，對于均勻柵格來說，采樣點的 1鄰域包括了與其在各方向的距離都不超過1個采樣間距的共26個采樣點，訪問到的采樣點，若標(biāo)記為 faraway，則將其標(biāo)記改為active，并計算該點與網(wǎng)格模型間的距離值，若標(biāo)記不為faraway，則不做處理。

(3) 對第(2)步進行迭代，直到所有標(biāo)記為active的采樣點與網(wǎng)格模型間的距離值都大于一定閾值時截止。在處理曲面重建問題時，閾值設(shè)定為均勻柵格的采樣間距即可，而在處理曲面等距問題時，閾值則要設(shè)定為等距距離加上均勻柵格的采樣間距。

采用fastMarching算法來構(gòu)建距離場，在整個的運算過程之中，被訪問到的采樣點除了最后一個層次外，均為后續(xù)步驟中需要用到的，沒有對更多的采樣點進行訪問，因此，采用fastMarching算法來構(gòu)建距離場在運算時間上必然比傳統(tǒng)算法更快速。

當(dāng)fastMarching算法加快了運算速度后，精確地計算被訪問到的采樣點與網(wǎng)格模型間的距離值就成為了另一個關(guān)鍵問題。為了更好地發(fā)揮其運算速度快的優(yōu)點，通常會利用較前的波層中的采樣點的位置及對應(yīng)法向量信息，估算出當(dāng)前遍歷波層中的采樣點與模型間的距離值，這樣的做法在精度要求不高或迭代層數(shù)較少時尚可接受，對于精度要求很高的牙齒模型處理將不能適用。

為了解決采用 fastMarching算法來構(gòu)建距離場時的精度問題，并在傳統(tǒng)的距離場構(gòu)建算法的基礎(chǔ)上加快運算速度，本文以fastMarching算法為基礎(chǔ)，在計算采樣點到網(wǎng)格模型間的距離值時，結(jié)合傳統(tǒng)距離場算法中的計算方法，提出了優(yōu)化的fastMarching距離場構(gòu)建算法，該算法不但能保證精度要求，而且具有較高的運算速度，并有利于模型優(yōu)化時網(wǎng)格變形的調(diào)整。

1.2 算法實現(xiàn)及性能分析

本文優(yōu)化的 fastMarching距離場構(gòu)建算法實現(xiàn)的偽代碼如下：

BEGIN(算法開始)

//更新 active堆棧(原 active堆棧已加入 alive堆棧，現(xiàn)active堆棧為遍歷過程中尋找到的)

14 while(當(dāng) active堆棧中所有頂點與模型距離超過某一閾值時終止)

}

END(算法結(jié)束)

其中，計算采樣點與網(wǎng)格模型間的距離值時，采用了一種快速獲得距離值的方法[13]。對于某個采樣點v，將三角面片表示成 T(s,t)=B+sE0+tE1的形式，其中 B為三角形的任意一個頂點，設(shè)定為基本點，E0、E1分別為另外兩個頂點與基本點之間的向量。當(dāng)滿足s,t∈[0,1],S+t＜1時，T(s,t)表示的點處于該三角形之內(nèi)。通過計算v與T(s,t)之間的距離，可得到一個關(guān)于s,t的函數(shù)，對該函數(shù)取偏導(dǎo)數(shù)并求極值，即可算出三角形T(s,t)所在平面上與點v最近的點(即垂足)所對應(yīng)的s,t的值。需要注意的是，這里計算出的S,t的值不一定滿足s,t∈[0,1],S+t＜1，即點v并不處于三角形T(s,t)的正上方，此時，還需根據(jù)s,t值的情況進行分類并調(diào)整，將s,t的值按情況增減至[0,1]范圍以內(nèi)，然后，將求得的s,t的值帶入到式T(s,t)中，就能得到三角形內(nèi)與采樣點v最近的點坐標(biāo)。進而，根據(jù)空間兩點間距離公式求得距離值。

針對A、B、C三種牙齒模型進行了算法比較，如表1所示。

表1 使用不同方法的耗時對比

從表 1可知，對于同一種模型，本文算法較傳統(tǒng)算法耗時降低 24%以上，速度平均提高25.92%。同時，對于同一模型，兩種方法使用的控制點數(shù)和三角面片數(shù)相同，在計算中由于本文算法第一步即對采樣點進行了active和faraway的過濾，因此在計算中實際調(diào)入內(nèi)存中的控制點數(shù)和三角面片數(shù)較傳統(tǒng)算法要少，所以本文算法的內(nèi)存空間占用也較傳統(tǒng)算法更少。

模型A～C分別為采用兩種算法獲得的牙齒模型，如圖 1～3所示?？梢姳疚乃惴ㄔ诮档蛢?nèi)存占用、提高速度的基礎(chǔ)上仍能保證一定的模型精度(優(yōu)化的fastMarching算法使距離場更精確)。

圖1 模型A等距模型效果

圖2 模型B等距模型效果

2 CAE分析

2.1 CAE分析原理及結(jié)果

采用以上建模算法得到的牙齒CAD模型，由于原模型的準(zhǔn)確性以及等距算法的精度問題，使得牙齒模型未必能與原牙完全一致，并與周圍牙齒之間保持很好的匹配度和密合度。在治療中，對于初步制作的牙冠模型，一般通過將其裝入原齒位置后的人為咬合運動，利用咬合紙檢查修復(fù)體與周圍牙之間的密合度問題，對于留下咬合紙印記較重的區(qū)域再通過手工修磨進行校正，其間患者承受很大痛苦。隨著CAE技術(shù)的廣泛應(yīng)用，特別是在制造業(yè)中的應(yīng)用，用仿真引導(dǎo)設(shè)計的思想已經(jīng)成熟。

為在義齒實體模型制作之前設(shè)計出滿足個體需求和精度要求的三維CAD模型，將CAE技術(shù)引入到牙齒的模型設(shè)計中來，對采用以上算法建立的牙齒模型或牙冠模型，進行有限元分析，利用分析得到的應(yīng)力、應(yīng)變分布云圖指引設(shè)計的修正，即將手工修磨提前到設(shè)計階段，在計算機中實現(xiàn)模型修整，從而可避免或減少患者痛苦。圖4給出了采用本文設(shè)計思想后的換牙流程與傳統(tǒng)換牙流程的對比，可知大量的調(diào)整工作在計算機中實現(xiàn)，既提高了速度，又減少了病人痛苦。

圖4 傳統(tǒng)換牙方法與基于CAE換牙方法的流程對比

應(yīng)力有限元分析的原理是通過將連續(xù)體離散成有限單元的結(jié)構(gòu)離散化，由于不同單元間節(jié)點相互連接，位移相同，選擇單元位移模式，以節(jié)點位移值來計算單元內(nèi)所有點處位移值的插值函數(shù)形成形函數(shù)，再通過多個單元形函數(shù)的聯(lián)系，逼近真實解。利用最小勢能原理、變分原理、幾何方程和物理方程建立起單元剛度矩陣，獲得單元節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系。再組合形成整體剛度矩陣，計算等效節(jié)點力，求未知節(jié)點位移。

鑒于應(yīng)力有限元分析在本研究中的作用，為減少計算工作量，僅考慮應(yīng)力、應(yīng)變兩個物理參數(shù)建立本構(gòu)方程，且認為兩者呈線性關(guān)系，遵循虎克定律。假設(shè)牙齒模型的材料符合各向同性線彈性材料的特性，即僅有兩個獨立的材料參數(shù)，分別為彈性模量E和泊松比v。彈性區(qū)域內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變之間滿足以下虎克定律。

將應(yīng)力放在等號左端，應(yīng)變放在等號右端可改寫成：

式中，εm稱為體應(yīng)變；eij為應(yīng)變分量；σij為應(yīng)力分量；下標(biāo) i,j分別取值1,2,3，依次代表 x,y,z。

根據(jù)總體平衡條件及總能量關(guān)系建立物理方程，再通過離散后在每個單元內(nèi)采用分片插值求得各個單元和節(jié)點的應(yīng)力和應(yīng)變。根據(jù)應(yīng)變和位移的關(guān)系：可積分求得 x,y,z方向上的位移u、v和w。

具體分析方法：在前述方法建立的牙齒CAD幾何模型上，定義約束條件及接觸面等物理特性，從而建立有限元分析模型，計算得到牙齒或牙冠接觸表面的彩色應(yīng)力分布云圖以及各單元節(jié)點的應(yīng)力、應(yīng)變值，進而利用其指導(dǎo)牙齒或牙冠設(shè)計模型的修整。建立滿口牙齒模型，目標(biāo)是使分析所得各個接觸位置的應(yīng)力值趨于均勻，對較高區(qū)域進行不斷修正從而達到這一目標(biāo)。

目前滿口牙齒模型正在構(gòu)建之中，本文僅對單齒模型進行應(yīng)力有限元分析，旨在介紹利用有限元分析結(jié)果指導(dǎo)牙齒設(shè)計模型修整的方法。圖5給出了在牙根部施加固定約束，在牙冠3個高點施加一定載荷時的應(yīng)力有限元分析結(jié)果。由此可見，不同位置的不同應(yīng)力對應(yīng)不同的顏色且有值。因此，可根據(jù)應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系建立整體均勻化的約束條件，通過對局部網(wǎng)格模型的調(diào)整實現(xiàn)模型的修整優(yōu)化。

圖5 應(yīng)力分析結(jié)果及有限元分析模型

對于牙齒模型進行應(yīng)力有限元分析時采用 10節(jié)點六面體單元，經(jīng)分析計算可得到各個有限元單元節(jié)點上的應(yīng)力，應(yīng)力矢量有方向和大小，每個節(jié)點有坐標(biāo)位置，因此，可將有限元網(wǎng)格模型上計算得到的各個節(jié)點應(yīng)力映射到建模得到的三角面片網(wǎng)格模型上，再通過力的分解獲得每個三角面片上的力，指導(dǎo)三角面片網(wǎng)格模型的調(diào)整。由于牙齒模型表面的復(fù)雜性，凹曲面及面片間的聯(lián)動問題還有待進一步研究。圖 6(a)給出了單個10節(jié)點六面體單元上10個節(jié)點的應(yīng)力示意，并給出了相鄰2個體單元構(gòu)成模型表面的2個面上節(jié)點的應(yīng)力情況。圖 6(b)給出了 2個實體單元面上節(jié)點應(yīng)力對應(yīng)在三角面片網(wǎng)格模型上的情況。根據(jù)力的合成可由實體單元面上節(jié)點應(yīng)力計算出該單元表面上的應(yīng)力情況，然后采用按面積加權(quán)的方法計算出對應(yīng)三角網(wǎng)格模型各三角面片上應(yīng)力的大小和方向，用作三角面片網(wǎng)格模型調(diào)整優(yōu)化的指導(dǎo)參數(shù)。設(shè)三角網(wǎng)格模型某個三角面片 P的面積為 AP，與該三角面片相關(guān)的單元表面數(shù)目為n，相關(guān)單元表面的面積分別為 Am，則該三角面片分別與相關(guān)單元表面相交的面積為APAm，第m個相關(guān)單元上的應(yīng)力為σijm，則該三角面片上的各應(yīng)力分量σijP可按以下公式求得：

圖6 力的示意

式中，i,j分別取值為1,2,3，依次代表 x,y,z方向。

最后，由應(yīng)力分量求出合成應(yīng)力及其方向，即得三角面片上應(yīng)力的大小和方向。

2.2 網(wǎng)格模型優(yōu)化

在制作假牙或全冠修復(fù)體時，有可能超出患者牙齒原來的大小，也就是說比患者原先健康的牙齒所占的空間更大，這樣患者佩戴后就感覺不適或無法正常咬合。因此，牙醫(yī)在制作牙修復(fù)體前，最好能在計算機中，對修復(fù)體模型和裝入的對頜牙模型進行觀察，分析出雙方是否有相交的部分，若存在相交，則應(yīng)對相交部位的修復(fù)體模型進行修整。

判斷修復(fù)體模型與對頜牙模型之間是否存在咬合相交及其部位的方法：①計算對頜牙模型中的各控制點與全冠模型之間的距離，若修復(fù)體模型與對頜牙模型之間沒有相互咬合的部分，則對頜牙模型的各控制點均應(yīng)處于修復(fù)體模型的外部；如果在對頜牙模型之中存在某些處于修復(fù)體模型內(nèi)部的控制點，則控制點就處于兩者咬合的部位。②基于滿口牙齒模型應(yīng)力有限元分析的結(jié)果，應(yīng)力、應(yīng)變應(yīng)比較均勻，反之出現(xiàn)應(yīng)力、應(yīng)變峰值的區(qū)域即為兩者的咬合相交部位。

對于存在咬合相交的情況，要對修復(fù)體模型進行調(diào)整。首先要對咬合的程度進行分析，若咬合區(qū)域很小，所涉及修復(fù)體模型的控制點不多，則可以僅對這些控制點做微調(diào)處理，即沿著其法向量的逆方向位移其與對頜牙之間的距離即可；而如果咬合區(qū)域較大，所涉及修復(fù)體模型的控制點多，再使用以上的方法將出現(xiàn)大量的翻轉(zhuǎn)和自交現(xiàn)象，上述方法也就不再適用，還需要進行更好地處理。為此本文提出基于應(yīng)力有限元分析所得節(jié)點應(yīng)力，及前述三角面片網(wǎng)格模型控制點受力的計算方法，計算得到相交區(qū)域面片控制點的受力情況，根據(jù)相關(guān)面片控制點的受力大小及方向，決定各控制點的調(diào)整距離和方向，從而實現(xiàn)非全凸曲面、不規(guī)則曲面的動態(tài)調(diào)整。

3 結(jié) 束 語

提出了基于掃描點云數(shù)據(jù)進行快速建模的優(yōu)化fastMarching算法，并引入CAE技術(shù)對牙齒模型進行應(yīng)力有限元分析，設(shè)計提出了有限元分析實體網(wǎng)格模型應(yīng)力結(jié)果與三角面片網(wǎng)格模型面片及控制點受力情況的映射模型，用于準(zhǔn)確指導(dǎo)不規(guī)則復(fù)雜三角網(wǎng)格模型的調(diào)整優(yōu)化。以牙齒模型為例，分析了本文提出優(yōu)化算法的優(yōu)越性，以及由三角網(wǎng)格模型生成實體模型并進行應(yīng)力有限元分析的可行性和指導(dǎo)意義。下一步將繼續(xù)研究基于應(yīng)力有限元分析結(jié)果的三角網(wǎng)格模型局部調(diào)整的優(yōu)化算法問題，進一步完善有限元分析模型，建立更具現(xiàn)實意義的分析模型并驗證。

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Modeling and Optimization Analysis of Irregular Complex Dental Crown

YanShengzan, Zhang Jian, Su Benyue
(School of Computer & Information, Anqing Teachers College, Anqing Anhui 246011, China)

From points cloud data ofScanned tooth, the optimized fastMarching distance field construction algorithm is used to achieve rapid generation of high-precision dental crownModel. And by using CAEStress finite element analysisMethod the force of each element and node is gained, the force relationship between finite elementSolidMesh and triangularMeshModel patch is established. UsingSimulation-guiding-designMethod theManual processing in normal clinical treatment is digitalized and virtualized. Thus theModelingSpeed is effectively increased and theModel recondition is advanced to the designing period. Through thisMethod theModel is created and optimized based on CAE, which canSimplify the treatment process,Shorten the treatment period and reduce patients′Suffering.

irregularMeshSurface; points cloud data; finite element analysis; distance field; decomposition of force vector

TP 391.7

A

2095-302X(2015)02-0198-07

2014-10-08；定稿日期：2014-10-24

國家自然科學(xué)基金資助項目(61340016)；安慶師范學(xué)院青年科研基金資助項目(KJ201220)

閆勝昝(1978–)，女，河北辛集人，講師，博士。主要研究方向為計算機技術(shù)應(yīng)用、CAD/CAE等。E-mail：hebeiysz@163.com通訊作者：蘇本躍(1971–)，男，安徽蕪湖人，教授，博士。主要研究方向為CAD、CAGD等。E-mail：bysu@aqtc.edu.cn