任一峰，李 娜，王晉軍

（中北大學(xué) 計算機與控制學(xué)院，山西 太原030051）

0 引 言

對一類具有模型不確定、時變、非線性特性的受控對象，在復(fù)雜外擾動條件下實施有效的控制，是控制理論和控制工程都十分重視的問題.非線性控制理論成果研究及應(yīng)用化設(shè)計，對于提高工業(yè)控制器性能水平具有十分重要的意義.中科院韓京清教授研究的自抗擾控制器（Active Disturbance Rejection Control，ADRC），正是這種典型的面向?qū)嶋H應(yīng)用的控制技術(shù)［1］.ADRC利用跟蹤微分器跟蹤輸入、輸出信號及其微分，并將各種不確定的對象特性和外部擾動作為擴張狀態(tài)進行觀測估計，最后通過非線性組合形成控制律.大量的實際應(yīng)用表明，自抗擾控制器具有穩(wěn)定域?qū)?，魯棒性好，控制精度高等?yōu)良性能，得到業(yè)界廣泛的認同［2-3］.

但在實際應(yīng)用中，自抗擾控制器也遇到一些技術(shù)上的問題，特別是它需要整定大量控制器參數(shù).一個常規(guī)二階ADRC，總共需要確定14個參數(shù)的數(shù)值，對于高階的ADRC還需要整定更多的參數(shù).如何簡化整定過程，一度成為ADRC控制研究的一個熱點.參數(shù)整定的復(fù)雜性，實際上限制了這種先進控制器在工業(yè)控制領(lǐng)域的推廣和應(yīng)用.

在實際應(yīng)用中會發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)控制對象結(jié)構(gòu)雖然具有高階細節(jié)性模型的不確定性，但受控對象的近似數(shù)學(xué)模型可以得到，且對象的部分狀態(tài)量可以量測.模型信息和狀態(tài)量的豐富使控制方法更加透明和開放，從而找到理論上更完善、設(shè)計方法更便捷的自抗擾控制結(jié)構(gòu).相對階狀態(tài)反饋補償控制正是這方面研究的一個成果［4-5］.

1 相對階狀態(tài)反饋補償控制

相對階的概念最初出現(xiàn)在線性系統(tǒng)的解耦理論，但后來在非線性控制系統(tǒng)的精確線性化方法中受到了人們更多的重視.相對階是系統(tǒng)特征量之一，這種特征體現(xiàn)在狀態(tài)反饋下相對階具有不變性，而對象的階次則沒有這個性質(zhì)［6-7］.

具有相對階的單變量的仿射非線性系統(tǒng)表達如下

式中：n為狀態(tài)向量的維度；f（x），g（x），h（x）在f，g∈Cp（Rn，Rn），h∈Cp（Rn），p（為正整數(shù)）區(qū)間均為連續(xù)可導(dǎo)函數(shù).

若系統(tǒng)相對階r已知，且輸出變量y（t）到r-1階可導(dǎo)，則據(jù)微分幾何理論［8-9］，可構(gòu)造r個變換和n-r個輔助變換將系統(tǒng)化為標準型

式中：z=（z1，…，zr）T，w=（w1，…，wn-r）T，a（z，w），b（z，w）和c（z，w）由f（x），g（x），h（x）及φi（x），i=1，…，n獲得.

系統(tǒng)的預(yù)期動力學(xué)方程為

式中：h0，h1，…，hr-1為預(yù)期方程參數(shù).根據(jù)系統(tǒng)動態(tài)、穩(wěn)態(tài)控制指標，可以確定hi（i=1，…，r-1）的數(shù)值.

基于受控對象式（2）和預(yù)期動力學(xué)方程式（3）參數(shù)，可構(gòu)造狀態(tài)反饋補償控制如下

式中：k0，k1，…，kr-2為任意常數(shù)，kr-1=sgn（b（z，w））μ，μ為一待選的正數(shù)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于μ的選取.其控制結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1 相對階狀態(tài)反饋補償控制結(jié)構(gòu)圖 Fig.1 Rrelative degree state feedback compensation control structure

李雅普諾夫第二法穩(wěn)定判據(jù)可以證明，若存在常數(shù)μ＊＞0，當(dāng)滿足μ＞μ＊時，控制器與對象構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定.

2 基于倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)反饋補償控制器設(shè)計

單級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型及仿真模型如下［10-11］

根據(jù)實物選取［12］

在單級倒立擺系統(tǒng)中位移和角度方程相對階均為二階，所以分別設(shè)計兩個二階控制器.由（4）設(shè)計二階狀態(tài)反饋補償控制器為

根據(jù)式（6）分別構(gòu)造位移控制器（TC）和角度控制器（TC1），并構(gòu)成系統(tǒng)的控制仿真模型如圖2所示.

圖2 倒立擺控制系統(tǒng)的仿真模型 Fig.2 Simulation model of inverting pendulum control system

根據(jù)預(yù)期輸出指標要求，首先確定位移控制器的h指標：h0=140.1，h1=129.98；角度控制器的h指標：h10=29.1，h11=11.12.

實際上，每個二階控制器真正需要整定的參數(shù)只有兩個k值.在分析參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響的基礎(chǔ)上，利用Signal Constraint模塊對參數(shù)進行優(yōu)化，得到：k0=0，k1=1.47，k10=0，k11=9.998.

以下通過仿真實驗，將相對階狀態(tài)補償控制器與幾種常用的高性能控制器的動態(tài)性能、抗干擾以及魯棒性能進行比較［13-15］.

3 仿真結(jié)果

3.1 動態(tài)性能

為方便進行比較，以下各控制器參數(shù)經(jīng)過Signal Constraint模塊動態(tài)優(yōu)化，確定為最佳參數(shù)組.在加入位移單位脈沖激勵以后，各受控系統(tǒng)的擺桿角度響應(yīng)如圖3所示.

圖3 擺桿動態(tài)響應(yīng)圖 Fig.3 Dynamic response of pendulum angle

結(jié)果表明：超調(diào)量從LQR與PI復(fù)合控制的12%，模糊控制的9%，降低到相對階狀態(tài)反饋補償控制的2.3%，調(diào)節(jié)時間從4 s降低為2.5 s.相對階狀態(tài)反饋補償控制的整體動態(tài)性能是這幾種控制器中最優(yōu)的.

3.2 抗干擾性

當(dāng)系統(tǒng)受到擾動作用時，對輸出端的直接影響，也反映了控制器的性能差異.現(xiàn)在受控對象加入相同的隨機干擾信號，比較復(fù)合控制、模糊控制和相對階狀態(tài)補償控制三種情形，仿真結(jié)果如圖4所示.

仿真結(jié)果表明，模糊控制擺動的最大擾動輸出為0.1，LQR與PI復(fù)合控制的最大擾動輸出為0.05，而相對階狀態(tài)補償控制的最大擾動輸出為0.005，抗擾指標相差一個數(shù)量級以上.

圖4 擾動系統(tǒng)的控制仿真曲線 Fig.4 Simulation curve of disturbance control system

3.3 魯棒性

為驗證控制器的魯棒性能，增加擺桿質(zhì)量為原來質(zhì)量的1.5倍，并不改變控制器的參數(shù)值.仿真結(jié)果如圖5所示.

結(jié)果表明：在受控對象質(zhì)量參數(shù)發(fā)生大幅變化時，在不改變控制參數(shù)的情形下，擺桿控制的調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量基本不變，控制系統(tǒng)具有很好的魯棒性能.

圖5 對象結(jié)構(gòu)參數(shù)發(fā)生改變時擺桿控制結(jié)果比較 Fig.5 Pendulum control results for the changed object structure parameter

4 結(jié) 語

本文在相對階狀態(tài)反饋控制理論分析的基礎(chǔ)上，以倒立擺系統(tǒng)為控制對象，設(shè)計了相對階狀態(tài)反饋補償器，仿真實驗表明：基于相對階的狀態(tài)反饋補償控制器相對復(fù)合控制器和模糊控制器，其超調(diào)量降低為2.3%，調(diào)節(jié)時間降低為2.5 s，動態(tài)性能明顯優(yōu)于兩種參照控制器.抗干擾性能與參照控制器相比，也提高了一個數(shù)量級.同時，它還具有十分突出的魯棒性能，在受控對象結(jié)構(gòu)參數(shù)變化達到150%時，控制器效果基本不變.魯棒性能已接近于其它文獻中自抗擾控制器的魯棒性能仿真結(jié)果［5］，但相對階狀態(tài)反饋補償控制器和常規(guī)自抗擾控制器比較，由于調(diào)整參數(shù)少，整定規(guī)律簡單易行等特點，在工程中具有更高的實用價值.

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