王紅梅

（太原師范學院 物理系，山西 太原030012）

0 引 言

1998年，MIT小組首次在純光阱中實現了23Na的玻色愛因斯坦凝聚體（Bose-Einstein con-densate，BEC），釋放了原子由于具有超精細自旋而存在的內部自由度，相當于第一次實現了旋量BEC［1］.隨后實驗上相繼實現了自旋-1和2的23Na和87Rb凝聚［2-4］及自旋-3的52Cr凝聚［5］.具有自旋的超冷原子間存在短程各向同性的自旋交換作用和長程各向異性的磁偶極-偶極相互作用.這兩種相互作用以及它們之間的競爭引起了各種豐富的磁效應.目前，偶極旋量BEC的理論研究主要集中于較簡單的自旋-1或偶極作用較強的自旋-3情況.本文主要介紹偶極自旋-1BEC在平均場方法下的基態(tài)相圖，然后用這種方法分析并比較自旋-2和混合自旋-1凝聚體中的偶極效應.以此研究偶極作用的普遍性質及在各旋量凝聚體中的具體表現，有助于實驗上量子磁相變的探測及技術上磁效應的應用.

1 模 型

考慮N個自旋為f的玻色冷原子組成的系統(tǒng).由于自旋，兩兩原子間具有自旋交換作用，此作用可以用接觸贗勢表示為

式中：r1，r2為兩原子的位置；Pf是對應自旋f的投影算符，不同f時Pf有不同的具體形式；相互作用參數gf=4πh2af／M，af是f通道的s-波散射長度，M是原子質量［6］.令＾ψα（r）（α=0，…，±f）為場算符，它表示在位置r處湮滅一個磁量子數為α的玻色子，上述自旋交換作用對應的哈密頓量為

自旋使得原子具有偶極矩μ=-gμBF，這里g為朗德因子，μB為玻爾磁子，F=（Fx，Fy，Fz）表示自旋角動量，其矩陣元為Fαβ.兩兩原子間便存在偶極-偶極相互作用，其作用勢為

式中：r12=r1-r2，e=r12／|r12|；μ0是真空磁導率.令cd=μ0g2μ2B／（4π），偶極相互作用部分的哈密頓量便表示為

當粒子數N較大時，可以采用平均場方法并作單模近似（簡稱為平均場近似），即令＾ψα（r）≡φ（r）ζα，這 里φ（r）滿 足 粒 子 數 歸 一 化 條 件滿足自 旋守 恒 條 件

平均場近似下偶極作用哈密頓量為

下面給出不同自旋情況下系統(tǒng)的總哈密頓量形式并分析其基態(tài)性質.

2 自旋-1BEC

對于f=1原子，Vc=c0+c2F1·F2且c0=（g0+2g2）／3，c2=（g2-g0）／2［6］.平均場近似下，自旋交換作用哈密頓量為

令（c2／2）∫d r|φ（r）|4=c并忽略自旋無關c0項，系統(tǒng)總自旋相關哈密頓量為

這里考慮的是總自旋相關能量，忽略了原子的動能、外勢能等.

利用自旋-1矩陣和并令2θ0，可以得到自旋相關的能量泛函

引入拉格朗日乘子λ，對泛函X=H1（x，y，z）-λg（x，y，z）進行最小化，并利用守恒條件g（x，y，z）=x2+y2+z2-1=0，便 得 到 全 部可能的自旋相和相應的能量.當自旋態(tài)為eiθ+（1，1，0）和eiθ-（0，0，1）時能量為e+2d；當自旋態(tài)為時能量為0；當自旋態(tài) 為時 能 量 為這里

由此得到，不考慮偶極作用時，d=0，系統(tǒng)只有兩個相，相邊界為c=0，見圖1（a）.當c＞0，磁矩m=x2-z2=1，系統(tǒng)處于鐵磁相（F）；當c＜0，磁矩m=x2-z2=0，系統(tǒng)處于反鐵磁相或極化相（P）.考慮偶極作用d≠0，則會出現三個相.偶極作用解除了鐵磁態(tài)的簡并，將F相分成兩個相，易于平面各向異性的相F1和易于軸向各向異性的相F2，相邊界為d=0.相F1與相P的邊界為c-d=0，相F2與相P的邊界為c+2d=0，如圖1（b）.這與文獻［7］用量子方法得到的結果相同，偶極作用破壞了無偶極系統(tǒng)的旋轉對稱性并引入磁性各向異性.

圖1 自旋-1BEC基態(tài)相圖 Fig.1 Ground state phase diagram of spin-1 BEC

3 自旋-2BEC

當f=2時，自旋相互作用勢成為Vc=α+βF1·F2+5γP0.平均場近似下的自旋相互作用哈密頓量為

通過對基態(tài)能量泛函極小化，可以得到當d=0時，由c1，c2參數決定了系統(tǒng)存在鐵磁相（F）、極化相（P）和循環(huán)相（C），如圖2所示.而d≠0的作用只是將c1變?yōu)閏1+2d，即只是平移了F-P邊界與F-C邊界，而對P-C邊界沒有影響.對于自旋-2原子，一個爭論是87Rb原子的基態(tài)處于F相還是C相.而偶極作用的效應相對比較小，見圖2.它因此無益于87Rb原子的爭論，但偶極作用也許對自旋-283Rb原子的基態(tài)有重大影響，因為實驗中83Rb原子的c2，c1數據約為（c2，c1）=（3.2，-0.8）×10-27J，這靠近F-C邊界且有較大值的d／c1≈［-0.59，1.18］.這個值是基于文獻［8］中a0，2，4=83.0，82.0，81.0（aB）所作估算并假設83Rb與87Rb同樣的原子數和密度.期望以后的精確實驗可以驗證自旋-283Rb在偶極作用下能否出現從相F到相C的轉變.

圖2 自旋-2BEC的基態(tài)相圖 Fig.2 Ground state phase diagram of spin-2 BEC

實驗上最早觀察到偶極作用比較大的自旋-352Cr凝聚體的偶極效應［5］.由于自旋-1和自旋-2凝聚體中的偶極作用較弱，一直以來觀察比較困難.最近Marti等人在探測自旋-187Rb的鐵磁態(tài)時，發(fā)現了磁振子質量增加的現象［9］.此現象在理論上可以用偶極作用來解釋［10］.該實驗在旋量凝聚體的制備和束縛上采用常規(guī)的磁光阱，但在探測上采用對樣品損傷較小的原位（in situ）測量技術，所以測量結果更加精確從而能將微弱的偶極效應顯示出來.自旋-283Rb實驗若采用此探測技術有望對上述F-C相作出判決.

4 混合旋量-1BEC

考慮兩種自旋-1凝聚體的混合物，如23Na與87Rb原子的混合物.其原子數分別為N1，N2，場算符分別為＾Ψ（r），＾Φ（r）.在平均場近似下，設它們滿足歸一化條件不同種自旋-1原子間的自旋交換作用為

同種自旋-1原子間的偶極-偶極作用為

定義C1β1／2=c11，C2β2／2=c22，C12β／2=c12，C12γ／2=c′12，cdCd1／2=d11，cdCd2／2=d22，cdCd12／2=d12，系統(tǒng)的總能為

考慮一特殊情況，當〈F〉=〈Fz〉且同種原子內部相互作用為0，式（16）變?yōu)?/p>

最小化能量泛函，如果沒有偶極作用，自旋交換作用會導致c′12-c12相圖中由相邊界c12=0和c12=c′12／3給出的PP、FF、CC和AA相［12］.前三個相類似于自旋-2BEC中的P、F和C相.只有AA相沒有對應者.偶極作用的效果是將c′12-c12相圖中的相邊界沿c12軸平移2d12，見圖3.圖中只考慮了種間偶極作用、種間自旋交換作用和單體配對作用，取d12／c12=［-0.5，1.0］.這表明偶極作用對混合自旋-1BEC的影響類似于對自旋-2BEC的影響.

圖3 混合偶極自旋-1BEC的基態(tài)相圖 Fig.3 Ground state phase diagram for binary mixture of spin-1 BEC

5 總 結

本文研究了具有不同超精細自旋的偶極旋量BEC在不加外磁場下的基態(tài)性質，發(fā)現偶極作用破壞了無偶極系統(tǒng)磁性的旋轉對稱性，解除了鐵磁相的簡并，并影響到鐵磁相和其它相的邊界.對于自旋-187Rb原子，偶極作用的影響是需要考慮的.對于自旋-287Rb原子，偶極作用的影響雖然可以忽略，但有助于理解其它高自旋混合BEC中的偶極作用效應.

［1］Stamper-Kurn D M.Optical confinement of a Bose-Einstein condensat［J］.Phys.Rev.Lett.，1998，80：2027-2030.

［2］Gorlitz A.Sodium Bose-Einstein condensates in the F=2 state in a large-volume optical trap［J］.Phys.Rev.Lett.，2003，90：090401-090404.

［3］Schmaljohann H.Dynamics of F=2 spinor Bose-Einstein condensates［J］.Phys.Rev.Lett.，2004，92：040402-040405.

［4］Kuwamoto T.Magnetic field dependence of the dynamics of87Rb spin-2 Bose-Einstein condensates［J］.Phys.Rev.A，2004，69：063604-063609.

［5］Griesmaier A.Bose-Einstein condensation of chromium［J］.Phys.Rev.Lett.，2005，94：160401-160404.

［6］Ho T L.Spinor bose condensates in optical trap［J］.Phys.Rev.Lett.，1998，81：742-745.

［7］Yi S，You L，Pu H.Quantum phases of dipolar spinor condensates［J］.Phys.Rev.Lett.，2004，93：040403-040406.

［8］Ciobanu C V，Yip S K，Ho T L.Phase diagrams of F=2 spinor Bose-Einstein condensates［J］.Phys.Rev.A，2000，61：033607-033613.

［9］Marti G E.Coherent magnon optics in a ferromagnetic spinor Bose-Einstein condensate［J］.Phys.Rev.Lett.，2014，113：155302-155307.

［10］Saito H，Kunimi M.Energy shift of magnons in a ferromagnetic spinor-dipolar Bose-Einstein condensate［J］.Phys.Rev.A，2015，91：041603-041608.

［11］Xu Z F，Zhang Yunbo，You Y.Binary mixture of spinor atomic Bose-Einstein condensates［J］.Phys.Rev.A，2009，79：023613-023618.

［12］Ueda M，Kawaguchi Y.Spinor Bose-Einstein condensates［J］.Physics Reports，2012，520：253-364.