馬智博，殷建偉，李海杰，劉 全

（1.北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學研究所，北京 100088；2.長沙機電產(chǎn)品研究開發(fā)中心，湖南長沙 410100）

文章編號：1001?246X（2015）05?0514?09

校準條件下的數(shù)值模擬不確定度量化方法

馬智博1，殷建偉1，李海杰2，劉 全1

（1.北京應(yīng)用物理與計算數(shù)學研究所，北京 100088；2.長沙機電產(chǎn)品研究開發(fā)中心，湖南長沙 410100）

當存在眾多不確定輸入因素時，不確定度的傳遞分析往往導(dǎo)致對數(shù)值模擬不確定度的過高估計.利用校準行為能夠消減系統(tǒng)級數(shù)值模擬中認知不確定度的客觀機制，提出一個綜合利用已有系統(tǒng)級試驗對比信息和新增建模與模擬傳遞信息的不確定度量化方法，結(jié)合一個虛擬試驗的例子對該方法進行展示和驗證.

數(shù)值模擬；不確定度量化；校準；可靠性認證

0 引言

在投入應(yīng)用之前，建模與模擬（Modeling＆Simulation，M＆S）技術(shù)需要經(jīng)過驗證（Verification）、確認（Validation）和認可（Accreditation）過程，以評估其可信度并獲取工程應(yīng)用所需的資質(zhì)［1－2］.事實上，即便經(jīng)過充分的驗證和確認，也難以完全發(fā)現(xiàn)并徹底解決M＆S中的所有問題，再加上不可避免的離散誤差，對復(fù)雜物理過程的數(shù)值模擬往往會產(chǎn)生相對于真值的系統(tǒng)性偏離，因而常常通過校準（Calibration）措施給予糾偏以提高模擬結(jié)果與試驗結(jié)果的一致性.用經(jīng)過校準的模擬程序?qū)π碌膹?fù)雜對象進行模擬計算，是現(xiàn)實中普遍存在并將長期存在的工程預(yù)測方法.當不能進行新對象的系統(tǒng)級試驗時，對校準后數(shù)值模擬的預(yù)測結(jié)果進行不確定度量化，是可靠性認證與評估所面臨的一個重要科學問題［3］.

認證的對象為抽象的事物類（如型號），評估的對象為具體的事物例（如產(chǎn)品）［4］.型號經(jīng)過認證后獲得定型，定型產(chǎn)品經(jīng)過庫存和服役等過程后，可能發(fā)生狀態(tài)上的改變，往往需要分期評估.為全面考察各種工程因素的影響，新型號認證一般會安排較多的系統(tǒng)級試驗，試驗數(shù)據(jù)可用于數(shù)值模擬的系統(tǒng)級校準、確認和不確定度量化.當不能進行新對象的系統(tǒng)級試驗時，需要針對改變后的設(shè)計參數(shù)和新增加的工程因素進行數(shù)值模擬及其模擬結(jié)果的不確定度量化.

如果不能進行新對象的系統(tǒng)級試驗，數(shù)值模擬不確定度量化的信息主要來自兩個方面：其一是對比信息，即通過原型對象的系統(tǒng)級試驗數(shù)據(jù)與數(shù)值模擬的對比而得到的不確定度信息，利用模型空間中不確定度從確認域到應(yīng)用域的外推技術(shù)，可以將該信息轉(zhuǎn)換為能夠直接反映新對象系統(tǒng)級數(shù)值模擬的不確定度信息［4］；其二是傳遞信息，即借助總體計算程序和擾動分析方法，將較低層級建模與模擬不確定度信息傳遞到新對象系統(tǒng)級數(shù)值模擬的不確定度信息［5］.

可靠性分析往往受困于信息缺乏，多源信息的整合因此變得迫切.雖然對比信息和傳遞信息分別來自不同的認知途徑，但反映的是同一個問題，將二者進行整合，既有現(xiàn)實需求，又有科學上的合理性和可行性.

基于單信息源的不確定度量化已有較好的方法基礎(chǔ).Oberkampf根據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果以及試驗結(jié)果的均值和標準差，給出了概率框架下基于對比分析的數(shù)值模擬誤差量化方法［1］，Helton總結(jié)了認知不確定度傳遞分析的敏感度方法和蒙特卡羅抽樣方法［6］，劉全用非嵌入多項式混沌方法進行了炸藥狀態(tài)方程模型參數(shù)不確定度對爆轟計算結(jié)果不確定度的傳遞分析［7］.將對比信息從確認域外推到應(yīng)用域的不確定度量化方法也被提出并逐漸投入使用［4，8］，而有關(guān)這兩類信息的整合，仍是目前面臨的技術(shù)瓶頸.

數(shù)值模擬的不確定度主要為認知不確定度，宜用區(qū)間理論來表達并進行信息整合，不確定度量化應(yīng)當遵循真值覆蓋原則和最小化原則［4］.如果量化結(jié)果僅利用外推后的對比信息，則會因為沒有充分考慮新對象建模和模擬所新增加的認知缺陷，容易導(dǎo)致不確定度估計結(jié)果偏小而違背真值覆蓋原則，最終增加不合格對象被接收的風險，如果把外推后的對比信息和不確定度的整體傳遞信息直接相加或僅僅利用整體傳遞信息，均可能使不確定度估計結(jié)果被不合理地放大而違背最小化原則，從而增加合格對象被拒收的風險.

根據(jù)認知科學中對比信息和傳遞信息之間的容斥關(guān)系以及不確定度量化的基本原則，本文將經(jīng)過外推的系統(tǒng)級對比信息作為不確定度的基本組成部分，將新對象建模和模擬所新增加的不確定度傳遞到系統(tǒng)級的計算結(jié)果中，作為不確定度的增量部分，然后將二者進行相加作為新對象數(shù)值模擬的不確定度，并結(jié)合一個黎曼問題及其虛擬試驗對該不確定度量化方法進行展示和驗證.

1 數(shù)值模擬校準及其技術(shù)特征

提高計算結(jié)果與試驗結(jié)果一致性的途徑有兩個，其一是全面提高認知能力，降低數(shù)值模擬中每個技術(shù)環(huán)節(jié)的認知不確定度，這也是數(shù)值模擬發(fā)展的理想途徑，其二是基于現(xiàn)有認知能力，人為地讓不同技術(shù)環(huán)節(jié)所產(chǎn)生的認知誤差相互補償.數(shù)值模擬校準在較大程度上依賴于誤差補償機制，但這種補償作用只在較小的模型范圍內(nèi)有效，隨著模擬對象遠離那些用以校準的試驗對象，數(shù)值模擬不確定度往往增加很快.

本文提及的模型包括實體模型和物理模型，前者指具體的特殊工程對象，包括部件的材料選用、密度與質(zhì)量、形狀與尺寸、動作過程的初邊條件等工程設(shè)計參數(shù)，后者指抽象的一般物理規(guī)律，包括描述材料力學屬性的本構(gòu)關(guān)系和狀態(tài)方程、描述相關(guān)物理過程（如爆轟、湍流和傳熱等）的模型方程以及描述物質(zhì)運動普遍規(guī)律的三大守恒方程等.實體建模的不確定度往往決定于靜態(tài)測量的不確定度，物理建?？赡苌婕案嗟膭討B(tài)測量以及基于測量結(jié)果和近似理論的逆向運算，因此，物理建模所引起的數(shù)值模擬不確定度一般較大.

結(jié)合試驗進行的校準行為，主要體現(xiàn)在對模型形式、計算方法和選定的校準參數(shù)進行調(diào)整并把它們固定下來［2］，校準參數(shù)一般來自計算參數(shù)、物理參數(shù)或可調(diào)參數(shù).可調(diào)參數(shù)可理解為缺乏明確數(shù)學和物理含義或缺乏確切賦值信息但對最終數(shù)值模擬結(jié)果有明顯影響的參數(shù).通過充分的驗證和確認，可有效減少可調(diào)參數(shù)的數(shù)量，提高數(shù)值模擬的預(yù)測能力，但由于數(shù)值計算對應(yīng)非零的時間和空間離散尺度，離散誤差不可避免，再加上模型形式的近似性和計算方法在模擬復(fù)雜問題時能力的欠缺，可調(diào)參數(shù)的存在往往難以避免［9］.

校準過程一般基于某一范圍內(nèi)的實體模型，本文將實體模型空間中的這個范圍稱為校準域.校準之后所進行的確認活動，也有對應(yīng)的確認域，其中模擬結(jié)果和試驗結(jié)果的對比分析，被用于確認域內(nèi)數(shù)值模擬的不確定度量化.

校準過程完成以后，計算程序及其相關(guān)的模型參數(shù)即被固化，但固化通常具有相對性和階段性.相對性主要表現(xiàn)在描述物理規(guī)律的模型參數(shù)在取值上與特定計算方法和計算參數(shù)有關(guān)，并非完全基于對物理的認識，而階段性表現(xiàn)在固化版本通常是暫時的，隨著數(shù)值模擬技術(shù)的發(fā)展，模型和參數(shù)也會隨之改變.

演繹和歸納是認識事物的兩個基本方法，前者基于特定條件和普遍規(guī)律來推斷事物的發(fā)展結(jié)果，是不確定度傳遞分析的基礎(chǔ)，后者通過實踐和觀察來總結(jié)事物的發(fā)展結(jié)果，是不確定度對比分析的基礎(chǔ).對比信息直接來自系統(tǒng)層級的實踐活動，因此可信度更高，在進行信息整合時，對比信息的權(quán)重因子一般要遠大于傳遞信息.

我們認為，經(jīng)歷校準后的數(shù)值模擬具有如下特點：

1）校準域內(nèi)系統(tǒng)級數(shù)值模擬的不確定度能夠得到有效消減，但隨著實體模型遠離校準域，誤差補償作用逐漸減弱，新對象模擬結(jié)果對真值的背離會逐漸增大；

2）確認域內(nèi)由對比分析得到的不確定度可外推至應(yīng)用域，但外推結(jié)果不能充分反映新對象建模和模擬所導(dǎo)致的新增不確定度；

3）系統(tǒng)級以下物理建模和數(shù)值計算的不確定度并不因為校準而得到必然的消減，由傳遞分析得到的不確定度往往較大；

4）如果對比信息和傳遞信息均反映同一數(shù)值模擬的不確定度，進行信息整合時，權(quán)重分配應(yīng)以對比信息為主；

5）當確認域外的新對象不能進行試驗時，數(shù)值模擬不確定度存在兩個獨立的信息來源：其一是系統(tǒng)級確認域內(nèi)來自對比的不確定度信息，其二是系統(tǒng)級以下新增的建模和模擬不確定度所傳遞到系統(tǒng)級的不確定度信息，二者具有可加性，可基于區(qū)間理論進行信息整合.

2 校準條件下的不確定度量化

需要解決的關(guān)鍵問題之一，是如何整合對比信息和傳遞信息，并使量化方法符合真值覆蓋原則和最小化原則［4］.

實物試驗可消減認知不確定度，但不能消減偶然不確定度.對偶然不確定度，可根據(jù)各自的信息量來分配信息整合的權(quán)重，然后用概率框架下的貝葉斯理論或其它技術(shù)途徑進行對比信息和傳遞信息的整合［10－11］.數(shù)值模擬主要產(chǎn)生認知不確定度，只要對比信息存在，一般可把傳遞信息的權(quán)重賦零，主要使用對比信息進行不確定度量化.

當沒有新對象的系統(tǒng)級試驗時，無直接的對比信息可利用，不確定度量化的可能方案有：

1）僅僅利用傳遞信息；

2）僅僅利用外推后的對比信息；

3）同時利用以上兩種信息.

第一方案未利用原有的系統(tǒng)級對比信息，由傳遞給出的認知不確定度不能得到有效消減，傳遞過程產(chǎn)生的不確定度難以量化，低層級數(shù)值計算造成的不確定度也難以傳遞到系統(tǒng)層級.第二方案可能漏掉新對象建模和模擬所新產(chǎn)生的不確定度.第三方案有更加合理的思想基礎(chǔ)，但需要設(shè)計一套恰當?shù)膶嵤┓椒ǎ畲笙薅鹊販p少上述問題造成的影響.

基于第三方案，本文建議，首先將新對象由傳遞得到的數(shù)

傳遞信息一般由三部分組成，結(jié)合式（1），有如下近似表達式

其中1Upropagation，2Upropagation，3Upropagation分別表示實體建模、物理建模和數(shù)值計算三個技術(shù)環(huán)節(jié)所傳遞到系統(tǒng)級的數(shù)值模擬不確定度.

新對象數(shù)

綜上所述，可據(jù)如下步驟進行數(shù)值模擬不確定度的量化：

1）結(jié)合校準試驗，進行數(shù)值模擬校準，然后完成對計算程序和相關(guān)參數(shù)的固化；

2）結(jié)合確認試驗，進行系統(tǒng)級確認域內(nèi)的對比分析和不確定度量化；

3）根據(jù)不確定度隨實體模型參數(shù)的變化規(guī)律，用確認域內(nèi)的不確定度信息外推新對象數(shù)值模擬的不確定度；

5）根據(jù)公式（3）得到新對象數(shù)值模擬的總體不確定度.

3 基于對比分析的不確定度量化

試驗對象的加工隨機性和測試隨機性都會使試驗結(jié)果產(chǎn)生偶然不確定度，但該不確定度并非由數(shù)值模擬產(chǎn)生，因此，基于對比分析的不確定度量化方法，要恰當?shù)貥?gòu)造統(tǒng)計量，屏除這類不確定度的影響，同時有效地揭示真正的數(shù)值模擬不確定度信息.

在工程實踐中，基于試驗的對比分析有兩種情形：

1）一對一，即一次數(shù)值模擬對應(yīng)一次試驗；

2）一對多，即一次數(shù)值模擬對應(yīng)多次試驗.

在一對一情形中，需要對每次試驗的對象進行單獨測量，然后將測量結(jié)果用于實體建模和物理建模，每個試驗對象均有相應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果和試驗結(jié)果，在扣除測試誤差后，兩者之間的差別能夠直接地反映試驗對象的數(shù)值模擬誤差.如果試驗和模擬次數(shù)均為n，可按下式提取數(shù)值模擬的不確定度：

一對多情形往往對應(yīng)于重復(fù)性試驗，僅基于設(shè)計方案的公稱參數(shù)或?qū)嶋H加工的中值參數(shù)進行實體建模和物理建模，最終只產(chǎn)生一套數(shù)值模擬結(jié)果.雖然每一個試驗對象都按照同樣的設(shè)計方案進行加工制造，但產(chǎn)品加工和試驗測試的隨機性會導(dǎo)致試驗結(jié)果的隨機性.為了屏除隨機性干擾信息，本文建議從數(shù)值模擬結(jié)果與試驗均值之間的差異中挖掘數(shù)值模擬的不確定度信息，具體公式

本文取置信度β＝0.95，t（1－β）/2，ν為自由度為ν的t分布的（1－β）/2分位數(shù)，ν＝n－1．

當所有試驗對象均處于某設(shè)計點附近且n足夠大時，式（4）、（7）給出的結(jié)果趨于一致.

4 實例演示

4.1 問題描述

圖1所示的實體模型對應(yīng)一維黎曼問題，共有兩個物質(zhì)區(qū)域，左端區(qū)域相當于高壓氣體，其初始時刻的壓強、密度、內(nèi)能和速度分別為p1，ρ1，e1，v1，右端區(qū)域相當于重金屬材料，其初始時刻的壓強、密度、內(nèi)能和速度分別為p2，ρ2，e2，v2．兩區(qū)在零時刻的初速度均為零，從零時刻開始，在物質(zhì)界面處產(chǎn)生一個向左傳播的膨脹波和向右傳播的沖擊波，金屬材料在高壓氣體的推動下向右運動，本例所關(guān)心的系統(tǒng)級輸出量是10μs時物質(zhì)界面移動的距離D.

圖1 實體模型示意圖Fig.1 Sketchmap of entitymodel

物理模型主要涉及兩種材料的狀態(tài)方程，左端的氣體選用理想氣體狀態(tài)方程p＝（γ1－1）ρe，音速方程c右端的金屬也被視作流體，選用凝聚介質(zhì)實用狀態(tài)方程p＝（ρ－ρ0）＋（γ2－1）ρe，音速方程 ，其中γ1和γ2分別為兩種材料的多方指數(shù)，c0為初始音速.

本例將上述實體模型看作一個產(chǎn)品型號，并假定庫存老化僅導(dǎo)致兩個物理參數(shù)發(fā)生改變，其一是氣體的初始內(nèi)能e1（初始壓強與初始內(nèi)能相關(guān)，不作為獨立的模型變量），其二是金屬的多方指數(shù)γ2．因二者均為庫存時間t的函數(shù)，可基于庫存時間建立實體模型的模型空間，并在該模型空間中定義校準域、確認域和應(yīng)用域.

要解決的問題是，當不能對庫存產(chǎn)品進行新的系統(tǒng)級試驗時，如何基于已有的0年～50年庫存期產(chǎn)品的系統(tǒng)級試驗結(jié)果及其對應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果，量化80年庫存期產(chǎn)品數(shù)值模擬預(yù)測的不確定度.

4.2 試驗設(shè)計

模型校準、模型確認以及對不確定度量化方法的檢驗將涉及試驗，該例存在系統(tǒng)級輸出量的精確解D?，因此擬用虛擬試驗代替真實試驗，并需要預(yù)先確定一套表達不同庫存期產(chǎn)品真實變化規(guī)律的實體模型和物理模型——本文稱之為真實模型.真實模型只用于產(chǎn)生虛擬試驗數(shù)據(jù)，文中不予展示.

虛擬試驗（下文簡稱試驗）的作法是，首先結(jié)合真實模型確定模型參數(shù)的設(shè)計值，然后在設(shè)計值上附加一個虛擬隨機量（以模仿真實的加工制造隨機性），將模型參數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機變量，接著對該隨機變量進行抽樣，把抽樣結(jié)果視作試驗樣品真實狀態(tài)的模型參數(shù)，并據(jù)此求出各試驗樣品所對應(yīng)的系統(tǒng)級輸出量的精確解.為了模仿真實試驗的測試隨機性，也通過附加虛擬隨機量的方法將精確解轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機性系統(tǒng)級輸出量，對該輸出量進行抽樣，便可獲取相當于真實試驗的測試結(jié)果.

表1 虛擬隨機變量的均方差Table 1 Deviations of virtual stochastic variables

4.3 模型校準

本例中需要校準的參數(shù)有兩類，其一是計算參數(shù)，其二是物理參數(shù).參照驗證和確認的順序要求，先進行計算參數(shù)的校準，后進行物理參數(shù)的校準.因為新鮮材料和新鮮產(chǎn)品的試驗數(shù)據(jù)比較豐富，擬基于新鮮產(chǎn)品的試驗數(shù)據(jù)來校準計算參數(shù)，即首先根據(jù)工程任務(wù)對數(shù)值計算的準確性要求以及所耗費計算時間的承受能力，選擇恰當?shù)目臻g步長，然后將時間步長和人為粘性系數(shù)確定為校準量，以新鮮產(chǎn)品的試驗結(jié)果為參照解，完成對時間步長和人為粘性系數(shù)的校準.物理參數(shù)的校準主要是對庫存老化后材料參數(shù)e1和γ2的校準，需要用到庫存產(chǎn)品的試驗數(shù)據(jù).校準后的計算參數(shù)和物理參數(shù)形成一組固定搭配，用于新對象的數(shù)值模擬預(yù)測.

按以下步驟開展數(shù)值模擬校準：

1）對計算方法、計算參數(shù)、物理參數(shù)和可調(diào)參數(shù)進行應(yīng)用需求分析，確定校準量以及參照解的獲取途徑.本例只在計算參數(shù)和物理參數(shù)中選取校準量（選取結(jié)果見下文），并假定分析對象是復(fù)雜系統(tǒng)，參照解來自試驗數(shù)據(jù)；

3）通過設(shè)計狀態(tài)下模擬結(jié)果和5個試驗結(jié)果的對比分析，得到優(yōu)化的計算參數(shù)校準結(jié)果：初始網(wǎng)格寬度Δx＝0.1mm，時間步長Δt＝0.0016μs，人為粘性系數(shù)α＝1.5和β＝0.06，該粘性系數(shù)所對應(yīng)的人為粘性模型為

其中q為粘性壓力，l為網(wǎng)格尺度，c為當?shù)匾羲?，Δ·v為速度的散度．計算參數(shù)校準以后，給出對應(yīng)設(shè)計狀態(tài)下的模擬結(jié)果Dm＆s，結(jié)果列于表2；

表2 試驗結(jié)果和計算參數(shù)校準后的計算結(jié)果Table 2 Test data and M＆S result after com puting parameters calibrated

4）基于材料的老化模型以及庫存期為10年、30年和50年的系統(tǒng)級試驗與數(shù)值模擬的結(jié)果對比，校準物理模型參數(shù).

老化模型給出的物理參數(shù)變化規(guī)律為

5）固化計算方法和各種校準參數(shù)的取值，完成數(shù)值模擬校準.

4.4 模型確認

在模型空間中，將庫存時間從0年～50年的區(qū)域定義為確認域，確認試驗分別對應(yīng)0年、10年、20年、30年、40年和50年的庫存時間，每個庫存時間分別安排5次重復(fù)性試驗，但只對應(yīng)一個數(shù)值模擬結(jié)果.

依據(jù)公式（7）進行確認環(huán)節(jié)的不確定度量化，當置信度β＝0.95時，t（1－β）/2，ν＝t0.025，4＝2.7764，確認域內(nèi)的不確定度量化結(jié)果見表3.

表3 確認域內(nèi)的數(shù)值模擬不確定度Table 3 M＆S uncertainties in validation domain

4.5 應(yīng)用域內(nèi)不確定度的量化

在模型空間中，將庫存時間大于50年的區(qū)域定義為應(yīng)用域，該域內(nèi)沒有新的系統(tǒng)級試驗.

為了量化式（3）的右端第一項，需要得到確認域內(nèi)不確定度隨庫存時間的變化規(guī)律，本例用二次多項式來表達這個規(guī)律

根據(jù)表3中的信息，有

該超定方程的最小二范數(shù)解為

（a0，a1，a2）＝（1.415 7×10－1，2.6012×10－3，－1.3807×10－5）．

為量化式（3）的右端第二項，表4和表5分別列出了基于區(qū)間表達的不同庫存期模型參數(shù)的不確定度以及系統(tǒng)響應(yīng)量D對模型參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)（即敏感系數(shù)），其中偶然不確定度源自加工隨機性導(dǎo)致的產(chǎn)品個體模型參數(shù)的隨機變化，而認知不確定度源自建模者對模型參數(shù)母體均值的認知缺陷.由于80年庫存期的材料級物理建模試驗較少，又沒有系統(tǒng)級試驗用于模型校準，因此在建模方面比0年～50年庫存期產(chǎn)品存在更多的認知不確定度，其中e1U增加了0.2MJ·kg－1，γ2U增加了0.2，即用式（8）－（10）求得的80年庫存期模型參數(shù)，對模型參數(shù)的真值存在更大的偏離.

表4 模型參數(shù)的不確定度Table 4 Uncertainties ofmodel parameters

表5 系統(tǒng)響應(yīng)量對模型參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)Table 5 Partial derivatives of system response to model parameters

對庫存80年的產(chǎn)品，由模型參數(shù)不確定度增量傳遞到系統(tǒng)響應(yīng)量上的不確定度為

根據(jù)式（3），對應(yīng)80年庫存期的數(shù)值模擬不確定度為

假如將模型參數(shù)的認知不確定度整體傳遞到模擬結(jié)果中，則有

如果進一步將偶然不確定度也考慮在內(nèi)，則僅由傳遞分析得到的數(shù)值模擬不確定度就高達0.92828mm，而且該結(jié)果還不能視為總的數(shù)值模擬不確定度.從這里可以看出，式（3）～式（7）所示的方法能有效利用試驗校準對系統(tǒng)級認知不確定度的消減作用，過濾來自試驗的偶然不確定度對量化結(jié)果的影響，合理地反映新對象數(shù)值模擬預(yù)測的不確定度.

4.6 不確定度量化方法的檢驗

為了檢驗上述方法的有效性，特意安排了應(yīng)用域內(nèi)對應(yīng)80年庫存期的試驗.檢驗方法是，根據(jù)數(shù)值模擬和試驗數(shù)據(jù)，直接由式（7）所示的對比方法對不確定度進行評定，如果式（13）的量化結(jié)果大于該評定結(jié)果且大得不多，則在一定程度上說明量化結(jié)果滿足真值覆蓋和最小化原則，量化方法正確有效.

試驗方法同前，即根據(jù)真實模型確定80年庫存期的設(shè)計參數(shù)，然后結(jié)合精確解和抽樣方法給出5個重復(fù)性試驗結(jié)果.數(shù)值模擬繼續(xù)用式（10）所示的校準后的模型參數(shù)，并且數(shù)值模擬中模型參數(shù)的認知不確定度與虛擬實驗中模型參數(shù)的偶然不確定度符合表4，即80年庫存期與0～50年庫存期相比，數(shù)值模擬所用的e1和γ2對真實模型的偏離分別增加了0.2MJ·kg－1和0.2，這兩個增加的偏離在影響效果上均使D變大，能夠很好地反映不確定度的疊加效應(yīng)，突出檢驗效果.

表6為庫存80年產(chǎn)品基于試驗對比的數(shù)值模擬不確定度評定結(jié)果，其中數(shù)值模擬所采用的模型參數(shù)為ρ1＝2 500kg·m－3，ρ2＝20 000kg·m－3，e1＝5.4MJ·kg－1，γ1＝3.0，γ2＝6.02，e1和γ2的取值來自式（8）－（10），不確定度的評定仍采用式（7）.

表6 基于試驗對比的不確定度評定Table 6 Uncertainty assessment based on com parison w ith test data

由表6知，試驗前用本文方法預(yù)測的數(shù)值模擬不確定度（0.381 65mm）稍大于試驗后由對比分析得到的不確定度評定結(jié)果（0.330 502mm），說明該例中的不確定度量化是成功的.

5 結(jié)論

當一個新對象不能進行實物試驗時，數(shù)值模擬預(yù)測及其不確定度量化結(jié)果就成為產(chǎn)品認證和評估的重要信息來源，而不確定度的傳遞分析往往被用作不確定度量化的常用手段.系統(tǒng)層級劃分越細，輸入的不確定因素也越多，僅靠傳遞分析則難以給出有實用價值的數(shù)值模擬不確定度.本文根據(jù)新對象的原型往往有一定試驗數(shù)據(jù)的工程現(xiàn)實，利用數(shù)值模擬的試驗校準能夠大量消減認知不確定度的作用機制，提出了在沒有新對象系統(tǒng)級試驗的條件下綜合利用校準后確認域?qū)Ρ刃畔⒑托略霾淮_定度傳遞信息的數(shù)值模擬不確定度量化方法，案例表明該方法能夠較好地遵循不確定度量化的真值覆蓋原則和最小化原則，適用于新對象數(shù)值模擬預(yù)測的不確定度量化.

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Uncertainty Quantification of Numerical Simulations Subjected to Calibration

MA Zhibo1，YIN Jianwei1，LIHaijie2，LIU Quan1
（1.Institute of Applied Physics and Computational Mathematics，Beijing 100088，China；
2.Electromechanical Product Research and Development Center，Changsha 410100，China）

Propagation analysis often overrate uncertainty of numerical simulation，especially asmany uncertain inputs exist.Taking advantage of the reality that calibration can reduce epistemic uncertainty of system?level numerical simulation，amethod for uncertainty quantification is offered synthetically using comparison information based on available testdata and additional propagation information of modeling and simulation.An example with virtual test is displayed in which themethod is demonstrated and validated.

numerical simulation；uncertainty quantification；calibration；reliability certification

O242.1

A

2014－08－12；

2014－12－24

國家自然科學基金（11371066）、裝備預(yù)先研究（51319010207）及中國工程物理研究院科學技術(shù)發(fā)展基金（2012B0102010，2013A0101004）資助項目

馬智博（1963－），男，博士，研究員，主要從事計算物理和可靠性工程研究，E?mail：mazhibo＠iapcm.ac.cn

Received date： 2014－08－12；Revised date： 2014－12－24