黃桂芳 ?k詹斯琦++黃維清

摘要：采用非平衡分子動(dòng)力學(xué)方法，研究了一維非線性功能梯度材料的不對(duì)稱熱傳導(dǎo)性質(zhì)。通過(guò)耦合兩段FrenkelKontorova鏈，并引入線性質(zhì)量梯度，研究平均溫度、界面耦合強(qiáng)度及體系大小對(duì)熱整流的影響。結(jié)果表明，當(dāng)界面耦合強(qiáng)度較小，并在特定的體系中時(shí)，通過(guò)調(diào)節(jié)熱浴溫差來(lái)控制系統(tǒng)的熱整流方向，無(wú)需進(jìn)行結(jié)構(gòu)重建，在原結(jié)構(gòu)中就能進(jìn)行熱整流方向的控制。討論了該系統(tǒng)在實(shí)驗(yàn)制備及應(yīng)用方面的可能性。

關(guān)鍵詞：材料熱傳導(dǎo)；熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)特性；非線性效應(yīng)

中圖分類號(hào)：O469 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

近年來(lái)，一維非線性晶格體系的熱傳導(dǎo)性質(zhì)引起了廣泛的關(guān)注。人們?cè)噲D利用解析或非平衡分子動(dòng)力學(xué)方法從微觀動(dòng)力學(xué)機(jī)理的角度去解釋宏觀的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象＼[1-6＼] 。盡管至今沒(méi)能得到一個(gè)完善的關(guān)于低維材料的熱傳導(dǎo)理論，但在經(jīng)典一維系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)研究過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)許多新奇的現(xiàn)象，如熱整流效應(yīng)，界面熱阻，負(fù)微分熱阻等。這些現(xiàn)象的存在使得熱量的載體——聲子能像電子那樣得到控制與管理，因此開(kāi)辟了熱二極管＼[7＼]，熱晶體管＼[8＼]，熱邏輯門＼[9＼]等熱學(xué)器件的研究領(lǐng)域。其中熱二極管的研究最為廣泛，人們?cè)噲D建立各種模型來(lái)實(shí)現(xiàn)材料的熱整流性質(zhì)＼[10-12＼] 。經(jīng)過(guò)大量的理論研究后，總結(jié)出熱二極管模型需要滿足兩個(gè)必要條件：系統(tǒng)的非線性（簡(jiǎn)諧）及不對(duì)稱結(jié)構(gòu)。此外，實(shí)驗(yàn)方面也取得了不錯(cuò)的成績(jī)，借助納米科技的迅速發(fā)展，Chang等人＼[13＼]首次在實(shí)驗(yàn)中成功制備出碳納米管固體熱二極管。隨后不同形態(tài)及材料構(gòu)成的熱二極管也相繼在實(shí)驗(yàn)中成功制備＼[14-15＼]，這使熱二極管的實(shí)際應(yīng)用成為可能。

功能梯度材料在各領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用，它是一種在結(jié)構(gòu)或性能上連續(xù)/準(zhǔn)連續(xù)變化的非均質(zhì)復(fù)合材料。對(duì)于功能梯度材料的研究，目前已逐步擴(kuò)大到機(jī)械、電子、聲學(xué)、光學(xué)、核工程、生物等領(lǐng)域。相比這些性質(zhì)，人們對(duì)它的熱學(xué)性質(zhì)的研究并不夠多。文獻(xiàn)＼[16＼]最先將功能梯度材料概念引入一維非線性熱傳導(dǎo)領(lǐng)域，并提出一維線性質(zhì)量梯度下的FermiPastaUlam （FPU） 鏈，通過(guò)計(jì)算實(shí)現(xiàn)了熱整流效應(yīng)。隨后線性質(zhì)量梯度下的FrenkelKontorova （FK） 鏈及指數(shù)型質(zhì)量梯度下的FPU鏈也相繼被提出用以構(gòu)建熱二極管模型＼[17-18＼] 。在實(shí)驗(yàn)方面，Chang等人[13]也是通過(guò)采用質(zhì)量梯度沉積制備出了不對(duì)稱的無(wú)定型C6H16Pt固體熱二極管。由此可見(jiàn)，功能梯度材料在低維非線性熱傳導(dǎo)領(lǐng)域極具應(yīng)用價(jià)值。

本文利用非平衡分子動(dòng)力學(xué)模擬方法，系統(tǒng)地研究一維非線性功能梯度材料中不對(duì)稱熱傳導(dǎo)性質(zhì)。在以往的研究中，改變系統(tǒng)的熱整流方向需要進(jìn)行結(jié)構(gòu)重建。然而，本文的模型能通過(guò)調(diào)節(jié)熱浴溫差進(jìn)行熱整流方向的控制，即系統(tǒng)出現(xiàn)了熱整流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。熱整流的反轉(zhuǎn)是由負(fù)微分熱阻引起的，并且它還與系統(tǒng)的體系大小及界面耦合強(qiáng)度緊密相關(guān)。鑒于該模型能在原地控制熱整流方向，文章進(jìn)一步討論了其實(shí)際應(yīng)用的可能性。

1模型和計(jì)算方法

圖1為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖，該系統(tǒng)由兩段質(zhì)量連續(xù)變化的FK鏈組成，并由一彈性系數(shù)為kint的簡(jiǎn)諧彈簧連接，我們稱該彈簧為界面彈簧。系統(tǒng)通過(guò)引入線性遞減分布的質(zhì)量梯度來(lái)實(shí)現(xiàn)不對(duì)稱性（功能梯度），為方便觀察，質(zhì)量大小由晶格的大小表示。 最左端與最右端晶格分別與溫度為TL和TR的熱浴接觸。

系統(tǒng)的哈密頓量為：

H=HLFK+HRFK+12kint（xN/2+1-xN/2-a）2。（1）

式中：N為系統(tǒng)總粒子數(shù)；HLFK和HRFK分別為左右兩段FK鏈的哈密頓量。

KFK（xi+1-xi-a）2/2，KintxN2+1-xN2-a2/2

-Vcos（2πxi）/（2π）2KFK（xi+1-xi-a）2/2

圖1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

Fig。1Schematic picture of the system

HLFK=

∑Ni=1p2i2mi+12k（xi+1-xi-a）2-V（2π）2cos2πxi。（2）

式中：pi和xi分別為第i個(gè)晶格的動(dòng)量和位置。取k=a=1，分別表示晶格間的簡(jiǎn)諧作用強(qiáng)度及晶格常數(shù)。第i個(gè)粒子的質(zhì)量為：

Mi=Mmax-（i-1）（Mmax-Mmin）/（N-1）。 （3）

固定Mmax=20，Mmin=1，Mmax為最左端晶格的質(zhì)量，Mmin為最右端晶格的質(zhì)量?；讋?shì)強(qiáng)度為V=5。

模擬計(jì)算中，采用固定邊界條件，并使兩端的晶格與NOSEHOOVER熱浴耦合，保持溫度分別為TL和TR。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，定義系統(tǒng)的平均溫度為T0=（TL+TR）/2，晶格鏈兩端的溫度差為ΔT=TL-TR=2T0Δ。當(dāng)Δ>0時(shí)，最左端晶格與溫度較高的熱浴耦合，最右端的晶格與溫度較低的熱浴耦合；當(dāng)Δ<0時(shí)，情況則相反。系統(tǒng)的局域化溫度定義為格點(diǎn)i處晶格的平均動(dòng)能：Ti=m〈i2〉。系統(tǒng)的局域熱流定義為Ji=k〈i（xi-xi-1）〉，（〈〉均表示對(duì)時(shí)間的平均）。計(jì)算中，使用改進(jìn)后的龍格庫(kù)塔算法對(duì)晶格的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行積分，設(shè)置步長(zhǎng)為0。1，并有足夠長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)間（107）使系統(tǒng)最終達(dá)到非平衡穩(wěn)態(tài)。當(dāng)系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)過(guò)程達(dá)到非平衡穩(wěn)態(tài)以后，系統(tǒng)中流過(guò)不同格點(diǎn)的局域熱流量相同且為一恒定值。我們定義從左到右流過(guò)系統(tǒng)的熱流量的絕對(duì)值為J+，當(dāng)熱浴反轉(zhuǎn)，從右到左的熱流量的絕對(duì)值則為J-，r=J+/J-為系統(tǒng)的熱整流效率。

2結(jié)果與討論

2。1不對(duì)稱熱傳導(dǎo)

本文模型中，當(dāng)界面耦合強(qiáng)度為kint=1。0時(shí)，系統(tǒng)為一完整的FK鏈。線性質(zhì)量梯度下的FK鏈已被證明具有熱整流效應(yīng)＼[17＼]。因此，我們先研究界面耦合強(qiáng)度較小時(shí)系統(tǒng)的熱傳導(dǎo)性質(zhì)。圖2為當(dāng)N=100，kint=0。05時(shí)，系統(tǒng)在不同平均溫度下的溫度分布圖。由圖2可見(jiàn)，系統(tǒng)的溫度分布是不對(duì)稱的，并且由于界面耦合彈簧的存在，所有情況中，系統(tǒng)都存在由界面熱阻（ITR）引起的溫度躍變。而且熱浴反轉(zhuǎn)后，界面熱阻是不對(duì)稱的，正是因?yàn)榻缑鏌嶙璧牟粚?duì)稱性導(dǎo)致了系統(tǒng)的不對(duì)稱熱傳導(dǎo)現(xiàn)象。此外，該現(xiàn)象還與系統(tǒng)的平均溫度有關(guān)，溫度過(guò)高或過(guò)低都不利于實(shí)現(xiàn)不對(duì)稱熱傳導(dǎo)，因此我們固定系統(tǒng)的平均溫度為T0=0。1。

i/N

圖2不同平均溫度下系統(tǒng)的歸一化溫度分布圖

Fig。2Normalized temperature profile of the system

for different average temperature

2。2熱整流反轉(zhuǎn)

質(zhì)量梯度下的FK鏈，沿晶格質(zhì)量增加方向的熱流量要大于沿質(zhì)量減小方向的熱流量＼[17＼]。然而，當(dāng)FK鏈中引入一彈性系數(shù)較小的界面彈簧后，這種單向的不對(duì)稱熱傳導(dǎo)現(xiàn)象將被打破。 圖3為當(dāng)kint=0。05時(shí)，3種不同體系大小下熱流量與熱浴溫差因子Δ的關(guān)系圖。由圖3（a） （N=100）可以看到，沿晶格質(zhì)量減小方向的熱流量J+隨|Δ|的增加幾乎呈線性增長(zhǎng)，而沿質(zhì)量增加方向的熱流在Δ≈0。5時(shí)達(dá)到最大值后隨著|Δ|的增加而減小，導(dǎo)致了Δ=0。4時(shí)J+J-的熱整流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。因此系統(tǒng)僅在Δ<0。4條件下，沿著晶格質(zhì)量增加方向的熱流量大于沿質(zhì)量減小方向的熱流量，而當(dāng)|Δ|>0。4時(shí)，則轉(zhuǎn)為沿質(zhì)量減小方向的熱流量大于沿質(zhì)量增加方向的熱流量?？梢?jiàn)，熱整流方向的改變僅僅是通過(guò)控制熱浴兩端溫差實(shí)現(xiàn)的。一般而言，熱流量會(huì)隨著熱浴溫差的增加而增大，然而在圖3（a）中，當(dāng)|Δ|>0。5時(shí)出現(xiàn)了負(fù)導(dǎo)熱現(xiàn)象，正因?yàn)樗某霈F(xiàn)直接導(dǎo)致了熱整流的反轉(zhuǎn)。并且負(fù)導(dǎo)熱現(xiàn)象出現(xiàn)的區(qū)域隨著體系的增大逐步移向更高的熱浴溫差區(qū)。因此，當(dāng)體系大小為N=1 000時(shí)，從J+J-的熱整流的反轉(zhuǎn)現(xiàn)象出現(xiàn)在|Δ|≈0。7，如圖3（b）所示。隨著體系進(jìn)一步增大，負(fù)導(dǎo)熱現(xiàn)象最終消失，熱整流反轉(zhuǎn)也隨之消失，因此，當(dāng)N=2 000時(shí)，系統(tǒng)中沿著晶格質(zhì)量增加方向的熱流量大于沿質(zhì)量減小方向的熱流量，即J+J-到J+

2。3熱整流機(jī)理

針對(duì)以上不對(duì)稱熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，我們根據(jù)有效聲子理論研究了其熱整流機(jī)理：當(dāng)FK鏈中的晶格處于高溫極限時(shí)，其動(dòng)能足以克服基底勢(shì)能的束縛，因此基底勢(shì)可忽略不計(jì)并且系統(tǒng)可近似地看做為簡(jiǎn)諧晶格鏈，晶格中聲子的振動(dòng)頻率范圍為0<ω/2π<22π（κMi）；當(dāng)晶格處于低溫極限時(shí)則被困在基底勢(shì)壘中，通過(guò)線性化運(yùn)動(dòng)方程可得到晶格中聲子的振動(dòng)頻率范圍為12πVMi<ω/2π<12π（V+4κMi）。

因此，當(dāng)系統(tǒng)處于強(qiáng)耦合狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)回歸為一條完整的FK鏈，不存在界面熱阻，我們主要研究熱浴兩端晶格的聲子頻率：當(dāng)系統(tǒng)左端質(zhì)量較大的晶格與高溫?zé)嵩〗佑|時(shí)，晶格處于高溫極限中，聲子的振動(dòng)頻率為0<ω/2π<0。071。 而與低溫?zé)嵩〗佑|的右端質(zhì)量較小的晶格中，聲子的頻率為0。35<ω/2π<0。47?？梢?jiàn)左右兩端晶格中聲子的頻率不重合，不能匹配，這就意味著聲子不能較順利地從左往右輸運(yùn)熱量，因此系統(tǒng)中的熱流量較小。

圖3不同體系下熱流量J與 |Δ| 的關(guān)系圖

Fig。3Dependence of the heat flux J on |Δ| for

different system size

圖4不同體系下熱流量J與kint的關(guān)系圖

Fig。4Dependence of the heat flux J

on kint for different system size

當(dāng)系統(tǒng)左端晶格與低溫?zé)嵩〗佑|時(shí)，其聲子頻率為0。079<ω/2π<0。106。而右端晶格處于高溫極限，其聲子頻率為0<ω/2π<0。308?？梢?jiàn)左右兩端晶格中聲子的頻率能較好地匹配，更有利于聲子的熱輸運(yùn)，因此，J+J-，因此熱整流反轉(zhuǎn)了。由此可見(jiàn)，只有界面耦合強(qiáng)度較小情況下，才能通過(guò)調(diào)節(jié)熱浴溫差控制熱整流的方向。

此外，熱整流反轉(zhuǎn)除了與耦合強(qiáng)度有關(guān)外，還與體系的大小密切相關(guān)。由圖3和圖4可知，只有在體系較小的條件下才能出現(xiàn)熱整流反轉(zhuǎn)，當(dāng)體系大于一定的范圍后，無(wú)論界面耦合強(qiáng)度如何，系統(tǒng)都呈現(xiàn)出和強(qiáng)耦合狀態(tài)下一樣的熱整流性質(zhì)，沒(méi)有熱整流反轉(zhuǎn)現(xiàn)象。因此，圖3（c）中熱整流反轉(zhuǎn)的消失可理解如下：界面彈簧對(duì)系統(tǒng)的影響隨著體系的增大而減小，在較大的體系中，界面彈簧對(duì)系統(tǒng)的作用可以忽略不計(jì)，系統(tǒng)的兩部分仍可被看做強(qiáng)耦合在一起的整體。因此，可以總結(jié)得出，熱整流反轉(zhuǎn)的根本原因是界面彈簧的引入，并且只有在特定的體系下，當(dāng)系統(tǒng)為弱耦合狀態(tài)時(shí)，才能通過(guò)調(diào)節(jié)熱浴溫差控制熱整流方向。

2。4熱整流效率

值得一提的是，對(duì)于特定的體系（如N=100），

系統(tǒng)的熱整流效率r=J+/J-可從r→0。94變?yōu)閞→2。1，與目前實(shí)驗(yàn)中制備的固體熱二極管的熱整流效率較為一致。這意味著，該模型在熱整流方向控制領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。此外，由于負(fù)微分熱阻的存在以及功能梯度材料的廣泛應(yīng)用，該模型也是構(gòu)建熱晶體管，熱邏輯門等熱學(xué)器件不錯(cuò)的候選者。

3結(jié)論

本文研究了質(zhì)量梯度下一維非線性功能梯度材料的熱整流性質(zhì)。該系統(tǒng)在特定的界面耦合強(qiáng)度及特定的體系大小范圍內(nèi)，可以僅通過(guò)控制熱浴溫差實(shí)現(xiàn)由J+J-的熱整流反轉(zhuǎn)。引起熱整流反轉(zhuǎn)的根本原因是系統(tǒng)中存在的界面彈簧。鑒于該系統(tǒng)無(wú)需進(jìn)行結(jié)構(gòu)重建便能在原地進(jìn)行熱整流方向的控制，討論了它在實(shí)驗(yàn)制備及應(yīng)用方面的可能性。

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