顏可珍，劉 沛，王曉亮

（湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410082）

瀝青混合料動模量是瀝青路面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析的重要參數(shù)之一［1］.如何確定瀝青混合料的動模量已引起廣大道路工作者的關(guān)注［2］.目前，確定瀝青混合料動模量主要采用室內(nèi)試驗(yàn)方法，但室內(nèi)試驗(yàn)存在試樣制備過程復(fù)雜、試驗(yàn)設(shè)備昂貴、費(fèi)時(shí)費(fèi)材料等缺點(diǎn)［3］.有學(xué)者提出通過離散元法的虛擬試驗(yàn)來確定瀝青混合料的動模量［4］，但虛擬試驗(yàn)的細(xì)觀參數(shù)確定困難.近年來神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等智能方法在材料性能預(yù)測方面取得了較好的效果.Ceylan等［5］采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對瀝青混合料動模量進(jìn)行了預(yù)測，Gopalakrishnan等［6］提出了基于支持向量機(jī)的瀝青混合料動模量預(yù)測模型.以上方法雖然簡單，精度也能滿足要求，但并不能明確瀝青混合料動模量與各因素間的內(nèi)涵，無法得到明確的解析表達(dá)式，給應(yīng)用帶來了不便.

基因表達(dá)式編程（GEP）算法是一種新近發(fā)展的進(jìn)化方法，可以實(shí)現(xiàn)多維空間上的數(shù)據(jù)挖掘.在復(fù)雜的非線性問題上，GEP算法是目前最有效的分析手段.近年來GEP 算法在巖土工程等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用，取得了很好的成果［7］.本文通過GEP 算法建立了瀝青混合料動模量的預(yù)測模型，對多種瀝青混合料進(jìn)行預(yù)測，分析了預(yù)測結(jié)果的精度，并與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等其他模型進(jìn)行了比較.

1 基因表達(dá)式編程算法

1.1 基因表達(dá)式

GEP算法是一種基于生物基因結(jié)構(gòu)和功能而發(fā)明的新型自適應(yīng)演化算法，是從遺傳算法（genetic algorithms，GAS）和遺傳程序設(shè)計(jì)（genetic programming，GP）中發(fā)展而來.它克服了GAS系統(tǒng)中功能的復(fù)雜性及GP系統(tǒng)中遺傳操作難的不足，具有更強(qiáng)的函數(shù)發(fā)現(xiàn)能力與更高的搜索效率.其顯著特點(diǎn)是可以利用簡單的編碼解決復(fù)雜問題，其實(shí)質(zhì)是用廣義的層次轉(zhuǎn)化為計(jì)算機(jī)程序來描述問題［8］.

1.2 GEP的基因結(jié)構(gòu)

GEP算法中染色體為待解決問題的可行解，它由一個(gè)或多個(gè)基因組成固定長度的線性符號串構(gòu)成.基因是構(gòu)成染色體的基本單位.基因由頭部和尾部構(gòu)成，頭部的符號可以是函數(shù)符號，也可以是終端符號，而尾部的符號只能來自于終端符號集.對具體問題而言，基因的頭部長度根據(jù)問題需要選定，尾部長度則由頭部長度與n 的一個(gè)函數(shù)得到，其中n 為基因含有的函數(shù)中最大參數(shù)的個(gè)數(shù)（對于加法等算術(shù)運(yùn)算，n取2；對于三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，n取1）.設(shè)基因的頭部長度為h，尾部長度為e，基因含有的函數(shù)集中所有函數(shù)的最大操作數(shù)為n，則e＝h×（n－1）＋1，其表現(xiàn)形式是一棵基因表達(dá)式樹，它可由基因型按照語法規(guī)則和層次順序構(gòu)成，基因型將表達(dá)式樹的變量按照從上往下、從左至右的順序進(jìn)行排列.每個(gè)染色體由單個(gè)或多個(gè)基因組成，每個(gè)基因確定一棵子表達(dá)式樹，而多個(gè)子樹可由函數(shù)符相互連接［9－10］.例如，假定一個(gè)基因是由集合｛q，×，／，－，＋，x，y｝中的元素組成（其中q表示根號），則n＝2，若h＝10，則e＝11，從而基因的長度為21；基因型如下（其中黑體部分為其尾部）：

其對應(yīng)的表達(dá)式樹見圖1.圖1的語義即為：

圖1 基因型對應(yīng)的表達(dá)式樹Fig.1 Genotype correspond to the expression tree

2 基于GEP 算法的瀝青混合料動模量預(yù)測模型

2.1 影響因素分析

根據(jù)瀝青混合料材料組成與動模量的影響因素，結(jié)合有關(guān)研究成果［11－12］，本文擬采用影響動模量的8個(gè)主要因素為預(yù)測模型的輸入變量，它們是：瀝青混合料空隙率（體積比）Va；有效瀝青含量（質(zhì)量比）wbeff；集料在19，9.5，4.75mm 篩孔上的篩余質(zhì)量分?jǐn)?shù)ρ34，ρ38，ρ4；在0.075mm 篩孔上的通過率（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）ρ200；瀝青黏度η（MPa·s）；荷載頻率f（Hz）.以馬里蘭大學(xué)瀝青研究所在過去30 年對205種瀝青混合料進(jìn)行實(shí)驗(yàn)室測試所建立的2 750組數(shù)據(jù)點(diǎn)作為應(yīng)用GEP 算法及評價(jià)模型的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)［11］，每個(gè)影響因素的取值范圍、瀝青混合料動模量E 的實(shí)測值以及它們的離散性如表1所示.

表1 8個(gè)影響因素和動模量實(shí)測值的離散情況Table 1 Discrete case of eight influencing factors and dynamic modulus measured values

2.2 瀝青混合料動模量預(yù)測模型的求解流程

根據(jù)GEP算法原理，可以得到瀝青混合料動模量預(yù)測模型的求解流程，如圖2所示.

圖2 瀝青混合料動模量預(yù)測模型的流程圖Fig.2 Flowing chart of prediction model for dynamic modulus of asphalt mixture

對于瀝青混合料動模量預(yù)測模型優(yōu)劣性的評估，采用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的相關(guān)系數(shù)R、擬合度R2以及實(shí)測值和預(yù)測值的標(biāo)準(zhǔn)誤差Se與實(shí)測值標(biāo)準(zhǔn)誤差Sy之比Se／Sy作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)［12］.

3 GEP算法的預(yù)測結(jié)果及比較分析

3.1 GEP算法預(yù)測瀝青混合料動模量模型

3.1.1 確立動模量預(yù)測模型

根據(jù)GEP算法原理，建立預(yù)測模型時(shí)先將數(shù)據(jù)庫隨機(jī)劃分為兩大部分：第一部分為訓(xùn)練組，有2 000組數(shù)據(jù)，占總數(shù)據(jù)的72.7%；第二部分為驗(yàn)證組，有750 組數(shù)據(jù)，占總數(shù)據(jù)的27.3%.運(yùn)用GEP算法對2 000組數(shù)據(jù)進(jìn)行反復(fù)訓(xùn)練之后，得出最佳適應(yīng)度樣本的染色體，即瀝青混合料動模量預(yù)測模型，再將預(yù)測模型放在驗(yàn)證組的750組數(shù)據(jù)中進(jìn)行擬合度驗(yàn)證.

運(yùn)用GEP算法確定動模量預(yù)測模型的第一步是確定GEP算法的進(jìn)化參數(shù).通過分析GEP算法特性可知，基因數(shù)量范圍在［3，6］之間，種群大小范圍在［30，100］之間，進(jìn)化代數(shù)大于10 000代時(shí)能夠找到最優(yōu)染色體.本文在對GEP算法進(jìn)行反復(fù)試算后確定種群大小為50，基因數(shù)量取6，基因頭部長度取12，進(jìn)化代數(shù)為100 000代.第二步是選擇終點(diǎn)符集T 和函數(shù)集F.終點(diǎn)符集T為動模量8個(gè)影響因素，T＝｛A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8｝；函數(shù)集選取沒有參考依據(jù)，通過反復(fù)試算，最后確定最優(yōu)函數(shù)集F＝｛＋，－，×，／，＾2，lg｝.第三步是選取連接函數(shù)，此處選擇“＋”作為基因之間的連接函數(shù).第四步是遺傳算子設(shè)計(jì).綜合變異、轉(zhuǎn)座、重組算子，設(shè)置算子參數(shù)值如下：變異率0.044，IS 轉(zhuǎn)座率0.1，RIS 轉(zhuǎn)座率0.3，基因轉(zhuǎn)座率0.3，單點(diǎn)重組率0.1，兩點(diǎn)重組率0.1，基因重組率0.1.由GEP算法強(qiáng)大的函數(shù)挖掘能力，經(jīng)過反復(fù)計(jì)算后得到較好的動模量預(yù)測模型為：

3.1.2 GEP預(yù)測模型結(jié)果的分析

將預(yù)測模型得到的動模量預(yù)測值與實(shí)測結(jié)果進(jìn)行比較，分別列出訓(xùn)練組、驗(yàn)證組及整個(gè)數(shù)據(jù)庫預(yù)測值與實(shí)測值的相關(guān)性，見圖3.由圖3可知，訓(xùn)練組中R2＝0.941，Se／Sy＝0.137；驗(yàn)證組R2＝0.906，Se／Sy＝0.264；整體樣本數(shù)據(jù)組R2＝0.925，Se／Sy＝0.168.當(dāng)擬合度R2≥0.90，誤差比值Se／Sy≤0.35時(shí)，表明預(yù)測值與實(shí)測值相關(guān)性很好［11］.因此用GEP預(yù)測模型來預(yù)測瀝青混合料動模量時(shí)具有很好的擬合度，能滿足工程上的精度要求，具有可行性.

圖3 動模量模型預(yù)測值與實(shí)測值的相關(guān)性及擬合度Fig.3 Correlation between predicted values and measured values of dynamic modulus

3.2 GEP算法預(yù)測模型與現(xiàn)有模型比較分析

將GEP算法預(yù)測模型與現(xiàn)有的3個(gè)代表性瀝青混合料動模量預(yù)測模型：Witczak 1999函數(shù)模型、韓國動模量預(yù)測模型及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）模型［5，12］進(jìn)行比較分析.Witczak 1999函數(shù)模型見式（2）；韓國預(yù)測模型采用西格謨得函數(shù)對多種瀝青混合料數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性分析，得到的預(yù)測模型見式（3）［13］.這幾種模型所用的變量參數(shù)均相同（即動模量的8個(gè)影響因素）.運(yùn)用相同的數(shù)據(jù)庫作為輸入變量，計(jì)算出各個(gè)模型的動模量預(yù)測值，并分別與實(shí)測值進(jìn)行比較，分析動模量預(yù)測值與實(shí)測值的相關(guān)性，結(jié)果如圖4所示.對4種動模量模型預(yù)測值與實(shí)測值之間的相關(guān)性進(jìn)行對比分析，見表2.

圖4 動模量預(yù)測值與實(shí)測值的相關(guān)性Fig.4 Correlation between predicted values and measured values of dynamic modulus

表2 4種模型預(yù)測值與實(shí)測值之間的誤差和相關(guān)性對比分析Table 2 Comparative analysis of the correlation and error between predicted values and measured values of four models

由表2可知，GEP算法的擬合度達(dá)到了0.925，精度高于Witczak 1999預(yù)測模型和韓國預(yù)測模型，但比人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型略低.雖然人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測精度比GEP算法略高，但人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的隱含層層數(shù)及隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)目前尚無很好的確定方法，很難找到最優(yōu)的參數(shù)組合，而且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法是一種黑匣子計(jì)算方法，不能得到預(yù)測因子的顯式表達(dá)式，無法明確各預(yù)測因素與被預(yù)測因子間關(guān)系［14］.GEP算法模型簡單，能得到函數(shù)的顯式表達(dá)式，運(yùn)用方便，為瀝青混合料動模量預(yù)測提供了一種新的方法.

3.3 8個(gè)影響因素對動模量預(yù)測的敏感性分析

根據(jù)皮爾森相關(guān)系數(shù)的原理，進(jìn)行動模量影響因素敏感性分析［15］.選定1個(gè)影響因素作為輸入變量參數(shù)，其他輸入?yún)?shù)不變，預(yù)測輸出參數(shù).皮爾森相關(guān)系數(shù)定義式為：

式中：N 為樣本量；Xi，Yi為選定的輸入變量參數(shù)和輸出參數(shù)；分別為輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)的平均值；SX，SY分別為輸入?yún)?shù)和輸出參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

將8個(gè)影響因素與動模量的敏感性分析結(jié)果用柱狀圖表示，見圖5.由圖5 可知，Witczak 1999，ANN，GEP預(yù)測模型與動模量實(shí)測值對各影響因素具有相似的相關(guān)性，其中與動模量實(shí)測值正相關(guān)的影響因素有骨料級配特性ρ200，ρ34，ρ38，ρ4 以及瀝青黏度η和荷載頻率f；負(fù)相關(guān)影響因素為有效瀝青含量wbeff和瀝青混合料空隙率Va.韓國預(yù)測模型中與動模量實(shí)測值正相關(guān)的影響因素有ρ200，η，f；具有負(fù)相關(guān)的影響因素為wbeff，Va，ρ34，ρ38，ρ4.

圖5 各影響因素對動模量的敏感性分析Fig.5 Sensitivity analysis of each factor on the dynamic modulus

由此可知，GEP模型、ANN 模型、Witczak 1999模型與動模量實(shí)測值對各影響因素的敏感性具有較好的一致性，而韓國預(yù)測模型中各影響因素的敏感性與實(shí)際情況偏差較大.

4 結(jié)論

（1）根據(jù)GEP算法建立的動模量預(yù)測模型精度高，能得到預(yù)測因子與各影響因素的顯式函數(shù)表達(dá)式，可以準(zhǔn)確預(yù)測瀝青混合料的動模量值.

（2）與其他典型預(yù)測模型相比，GEP模型預(yù)測精度優(yōu)于Witczak 1999預(yù)測模型和韓國預(yù)測模型，略低于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，但人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型不能得到函數(shù)的顯式表達(dá)式，無法明確各預(yù)測因素與被預(yù)測因子間關(guān)系.因此，GEP模型在保證預(yù)測精度的同時(shí)有效克服了人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等傳統(tǒng)方法的不足，從而為瀝青混合料動模量的預(yù)測提供了一種新的可靠方法.

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