吳祖金 李中方

函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)、方程、圖像的知識交匯點(diǎn)，它充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的關(guān)系，且蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想。每年高考都有此類題出現(xiàn)，下面例析一些?？碱}型，供大家學(xué)習(xí)與參考。

題型一：函數(shù)零點(diǎn)的分布

例1 函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）。

A.（1，2）

B.（2，5）

C.（5，10）

D. （10，+∞）

解：由，可得f（l）=-9<0，

由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，可知函數(shù)f（x）的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（5，1O），應(yīng)選C。

評析：函數(shù)y=f（x）在[a，b]上連續(xù)，且f（a）.f（b）0時，函數(shù)也可能有零點(diǎn)。

題型二：函數(shù)零點(diǎn)與零點(diǎn)個數(shù)的判斷

例2 函數(shù)，的零點(diǎn)個數(shù)為（）。

A.2

B.3

C.7

D.0

解：由f（x）=0，可得或，解得x=-1或。

所以函數(shù)f（x）共有2個零點(diǎn)，應(yīng)選A。

評析：對函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷可從以下幾個方面考慮：（l）結(jié)合函數(shù)圖像；（2）根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求某些點(diǎn)的函數(shù)值；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點(diǎn)是否唯一。

題型三：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在情況，求參數(shù)的值或范圍

例3 已知函數(shù)

（l）若函數(shù)y=g（x）-m有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

（2）確定m的取值范圍，使得方程g（x）-f（x）=0有兩個相異實(shí)根。

解：（1）作出函數(shù)的大致圖像（如圖1）。

由圖像知，若y=g（x）-m有零點(diǎn)，則只需m≥2e。所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[2e，+∞）。

（2）若方程g（x）-f（x）=0有兩個相異實(shí)根，即函數(shù)g（x）與f（x）的圖像有兩個不同的交點(diǎn)。

再在圖1中作出函數(shù)1的大致圖像（圖略）。因?yàn)?，所以其圖像的對稱軸為x=e，開口向下，最大值為

可知當(dāng)，即時，g（x）與f（x）有兩個不同交點(diǎn)，即方程g（x）-f（x）=0有兩個相異實(shí)根。所以m的取值范圍是

評析：函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要表現(xiàn)在利用零點(diǎn)求參數(shù)范圍。若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍；若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖像的關(guān)系求解，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。

題型四：二次函數(shù)的零點(diǎn)問題

例4 已知二次函數(shù)

（l）若a>b>c，且f（1）=0，試證明f（x）必有兩個零點(diǎn)。

（2）若對x1，x2∈R，且x1