非自治逆緊系統(tǒng)的拓?fù)鋲?/h1>
2015-11-26 05:54:41張秀芬郭亞曉楊宇
張秀芬，郭亞曉，楊宇
（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127）
非自治逆緊系統(tǒng)的拓?fù)鋲?/p>
張秀芬，郭亞曉，楊宇
（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127）
主要研究了非自治逆緊系統(tǒng)上的拓?fù)鋲?給出了非自治逆緊系統(tǒng)上拓?fù)鋲旱亩x，得到了這種拓?fù)鋲宏P(guān)于集合Z的一些性質(zhì)，并在同胚意義下，探討了兩個非自治逆緊系統(tǒng)上拓?fù)鋲旱拇笮￡P(guān)系.
C-P結(jié)構(gòu)；容許覆蓋；非自治逆緊系統(tǒng)；拓?fù)鋲?/p>
1 引言
拓?fù)鋲涸跓崃W(xué)中有著廣泛應(yīng)用.長期以來，在熱力學(xué)形式與維數(shù)理論的相關(guān)領(lǐng)域，探究拓?fù)鋲杭捌渥兎衷硎茄芯康臒狳c(diǎn)課題之一.1973年，文獻(xiàn)［1］對緊度量空間上的擴(kuò)張映射給出了拓?fù)鋲旱母拍睿?975年，文獻(xiàn)［2］又對緊度量空間上的連續(xù)自映射定義了拓?fù)鋲?，并建立了拓?fù)鋲旱淖兎衷?受文獻(xiàn)［3］的啟發(fā)，2011年，文獻(xiàn)［4］中又對拓?fù)鋲鹤髁诉M(jìn)一步研究.上述工作討論的都是緊致系統(tǒng)上的拓?fù)鋲汉妥兎衷?2014年，文獻(xiàn)［5］討論了在非緊集上逆緊映射的拓?fù)潇丶捌渥兎衷?由于空間可能出現(xiàn)非緊的情況，且基于拓?fù)鋲菏峭負(fù)潇馗拍畹耐茝V，因此，本文在其框架下給出了非自治逆緊系統(tǒng)上拓?fù)鋲旱南嚓P(guān)概念和性質(zhì).
2 預(yù)備知識
下面，先給出本文中需要的一些基本概念和記號.首先給出C-P結(jié)構(gòu)的定義.
定義2.1［3］設(shè)X和S是兩個任意的集合，F(xiàn)=｛Us：s∈S｝是X的子集族.假設(shè)存在兩個函數(shù)η，ψ：S→R+滿足以下條件：
（1）存在s0∈S使得Us0=?；如果Us=?，那么η（s）=0，ψ（s）=0；如果Us/=?，那么η（s）＞0，ψ（s）＞0；
（2）對任意的δ＞0，存在ε＞0，只要s∈S滿足ψ（s）≤ε，就有η（s）≤δ.
（3）對任意的ε＞0，存在有限或可數(shù)的集合G?S覆蓋X（即）而且滿足ψ（G）：=sup｛ψ（s）：s∈G｝≤ε.
令ξ：S→R+是一個函數(shù).若集合S、子集族F、及函數(shù)ξ，η，ψ滿足條件（1）-（3），則稱其構(gòu)成了X上的一個C-P結(jié)構(gòu)τ，并記τ=（S，F(xiàn)，ξ，η，ψ）.
定義2.2［6］設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，如果f：X→X是一個連續(xù)映射，且任意緊集在f下的原象是緊集，則稱f為逆緊映射.
定義2.3［6］如果一個開集的補(bǔ)集或閉包是緊集，則稱這個開集為容許開集.
定義2.4［6］如果拓?fù)淇臻gX的有限開覆蓋U滿足對任意的A∈U，A是一個容許開集，則稱開覆蓋U為容許覆蓋.
定義2.5設(shè)X為拓?fù)淇臻g，對于任意i∈Z+，映射fi：X→X為逆緊映射，則稱（X，f1，∞）為非自治逆緊系統(tǒng).
注2.1緊度量空間中的任何連續(xù)映射都是逆緊映射，且緊拓?fù)淇臻g的任何開覆蓋都有容許子覆蓋.
下面在非自治逆緊系統(tǒng)中定義拓?fù)鋲?，上、下容量拓?fù)鋲?
設(shè)（X，f1，∞）為非自治逆緊系統(tǒng)，φ：X→R為連續(xù)函數(shù)，U是X的一個容許覆蓋.記
3 主要結(jié)果及其證明
定理3.1設(shè)（X，f1，∞）為非自治逆緊系統(tǒng)，那么關(guān)于拓?fù)鋲河幸韵滦再|(zhì)：
定理3.2設(shè)（X，f1，∞）為非自治逆緊系統(tǒng)，那么關(guān)于下、上容量拓?fù)鋲河幸韵滦再|(zhì)：
定理3.3設(shè)（X，f1，∞），（Y，g1，∞）都是非自治逆緊系統(tǒng)，φ：X→R為連續(xù)函數(shù).如果f1，∞和g1，∞是拓?fù)涔曹?，存在同一個同胚π：X→Y，對于任意i∈Z+都有π?fi=gi?π，那么PZ（f1，∞，φ）=PπZ（g1，∞，φ?π-1）.
［1］Ruelle D.Statistical mechanics on a compact set with action satisfying expansiveness and specification［J］. Trans.Amer.Math.Soc.，1973，185：237-251.
［2］Walters P.A variational principle for the pressure of continuous transformations［J］.Amer.J.Math.，1976，97：937-971.
［3］Pesin Y.Dimension Theory in Dynamical Systems［M］.Chicago：the University of Chicago Press，1997.
［4］Barreia L.Thermodynamic Formalism and Applications to Dimension Theory［M］.Basel：Birk¨auser，2011.
［5］Ma Dongkui，Cai Bin.Topological entropy of proper map［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2014，18（4）：1219-1241.
［6］Patr~ao M.Entropy and its variational principle for non-compact metric spaces［J］.Ergodic Theory Dynam. Systems，2010，30：1529-1542.
［7］Bowen R.Topological entropy for noncompact sets［J］.Trans.Amer.Math.Soc.，1973，184：125-136.
The topological pressure of a non-autonomous proper system
Zhang Xiufen，Guo Yaxiao，Yang Yu
（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）
This paper focuses on the topological pressure of a non-autonomous proper dynamical system.First of all，giving the definition of topological pressure，and we got some properties of subset Z，then in the case of homeomorphism，we explore the relationship between topological pressures of two non-autonomous proper dynamical systems.
C-P structure，admissible cover，non-autonomous proper system，topological pressure
O177.91
A
1008-5513（2015）04-0373-07
10.3969/j.issn.1008-5513.2015.04.006
2014-01-30.
國家自然科學(xué)基金（11301417）.
張秀芬（1990-），碩士生，研究方向：拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)與遍歷論.
2010 MSC:60F15
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非自治逆緊系統(tǒng)的拓?fù)鋲?/p>
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（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127）
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2 預(yù)備知識
下面，先給出本文中需要的一些基本概念和記號.首先給出C-P結(jié)構(gòu)的定義.
定義2.1［3］設(shè)X和S是兩個任意的集合，F(xiàn)=｛Us：s∈S｝是X的子集族.假設(shè)存在兩個函數(shù)η，ψ：S→R+滿足以下條件：
（1）存在s0∈S使得Us0=?；如果Us=?，那么η（s）=0，ψ（s）=0；如果Us/=?，那么η（s）＞0，ψ（s）＞0；
（2）對任意的δ＞0，存在ε＞0，只要s∈S滿足ψ（s）≤ε，就有η（s）≤δ.
（3）對任意的ε＞0，存在有限或可數(shù)的集合G?S覆蓋X（即）而且滿足ψ（G）：=sup｛ψ（s）：s∈G｝≤ε.
令ξ：S→R+是一個函數(shù).若集合S、子集族F、及函數(shù)ξ，η，ψ滿足條件（1）-（3），則稱其構(gòu)成了X上的一個C-P結(jié)構(gòu)τ，并記τ=（S，F(xiàn)，ξ，η，ψ）.
定義2.2［6］設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，如果f：X→X是一個連續(xù)映射，且任意緊集在f下的原象是緊集，則稱f為逆緊映射.
定義2.3［6］如果一個開集的補(bǔ)集或閉包是緊集，則稱這個開集為容許開集.
定義2.4［6］如果拓?fù)淇臻gX的有限開覆蓋U滿足對任意的A∈U，A是一個容許開集，則稱開覆蓋U為容許覆蓋.
定義2.5設(shè)X為拓?fù)淇臻g，對于任意i∈Z+，映射fi：X→X為逆緊映射，則稱（X，f1，∞）為非自治逆緊系統(tǒng).
注2.1緊度量空間中的任何連續(xù)映射都是逆緊映射，且緊拓?fù)淇臻g的任何開覆蓋都有容許子覆蓋.
下面在非自治逆緊系統(tǒng)中定義拓?fù)鋲?，上、下容量拓?fù)鋲?
設(shè)（X，f1，∞）為非自治逆緊系統(tǒng)，φ：X→R為連續(xù)函數(shù)，U是X的一個容許覆蓋.記
3 主要結(jié)果及其證明
定理3.1設(shè)（X，f1，∞）為非自治逆緊系統(tǒng)，那么關(guān)于拓?fù)鋲河幸韵滦再|(zhì)：
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定理3.3設(shè)（X，f1，∞），（Y，g1，∞）都是非自治逆緊系統(tǒng)，φ：X→R為連續(xù)函數(shù).如果f1，∞和g1，∞是拓?fù)涔曹?，存在同一個同胚π：X→Y，對于任意i∈Z+都有π?fi=gi?π，那么PZ（f1，∞，φ）=PπZ（g1，∞，φ?π-1）.
［1］Ruelle D.Statistical mechanics on a compact set with action satisfying expansiveness and specification［J］. Trans.Amer.Math.Soc.，1973，185：237-251.
［2］Walters P.A variational principle for the pressure of continuous transformations［J］.Amer.J.Math.，1976，97：937-971.
［3］Pesin Y.Dimension Theory in Dynamical Systems［M］.Chicago：the University of Chicago Press，1997.
［4］Barreia L.Thermodynamic Formalism and Applications to Dimension Theory［M］.Basel：Birk¨auser，2011.
［5］Ma Dongkui，Cai Bin.Topological entropy of proper map［J］.Taiwanese Journal of Mathematics，2014，18（4）：1219-1241.
［6］Patr~ao M.Entropy and its variational principle for non-compact metric spaces［J］.Ergodic Theory Dynam. Systems，2010，30：1529-1542.
［7］Bowen R.Topological entropy for noncompact sets［J］.Trans.Amer.Math.Soc.，1973，184：125-136.
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C-P structure，admissible cover，non-autonomous proper system，topological pressure
O177.91
A
1008-5513（2015）04-0373-07
10.3969/j.issn.1008-5513.2015.04.006
2014-01-30.
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