鄭曉，薄華，孫強(qiáng)

(1.上海海事大學(xué) 信息工程學(xué)院，上海201306;2.西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院，陜西西安710000)

壓縮感知理論的突出優(yōu)點(diǎn)在于能夠同時(shí)完成信號(hào)獲取和壓縮，它突破了奈奎斯特采樣定理，能夠以遠(yuǎn)少于傳統(tǒng)方法所需的采樣數(shù)來進(jìn)行圖像的精確重構(gòu)。它在減少冗余數(shù)據(jù)、節(jié)省存儲(chǔ)空間上有較大優(yōu)勢(shì)。因而，壓縮感知掀起了信號(hào)處理領(lǐng)域的革命，被廣泛應(yīng)用于醫(yī)用電子學(xué)、模式識(shí)別、數(shù)據(jù)采樣與挖掘、無線通信、信道編碼、天文學(xué)以及雷達(dá)遙感等領(lǐng)域。觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)是壓縮感知研究的關(guān)鍵問題之一，構(gòu)造性能好的觀測(cè)矩陣對(duì)于觀測(cè)值的獲取和圖像的精確重構(gòu)都起到了至關(guān)重要的作用。目前，國(guó)內(nèi)外提出的優(yōu)化方法主要有:通過減小格拉姆矩陣(Gram)的非對(duì)角線元素增大觀測(cè)矩陣與稀疏基之間的非相干性，從而實(shí)現(xiàn)觀測(cè)矩陣的優(yōu)化。用到的方法主要有等角緊框架法、梯度迭代法以及特征值優(yōu)化方法[1-11]等;利用增強(qiáng)觀測(cè)矩陣的列獨(dú)立性實(shí)現(xiàn)觀測(cè)矩陣優(yōu)化[12-13]等等。上面提到的優(yōu)化方法主要是通過減小觀測(cè)矩陣與稀疏基之間的互相干性單方面展開[1-11]，或者通過增大觀測(cè)矩陣的列獨(dú)立性展開[12-13]。文中將把增強(qiáng)觀測(cè)矩陣的列獨(dú)立性和增大觀測(cè)矩陣與稀疏基之間的非相干性結(jié)合起來，尋求一個(gè)更加優(yōu)化的觀測(cè)矩陣，從而利用相同的觀測(cè)個(gè)數(shù)，實(shí)現(xiàn)重構(gòu)質(zhì)量更好、仿真實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定的效果。

1 壓縮感知

壓縮感知(compressed sensing，CS)突破了香農(nóng)采樣定理的瓶頸，使高分辨率信號(hào)的采集成為可能，引起廣大學(xué)者的研究。對(duì)壓縮感知進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，它主要涉及3方面的內(nèi)容[14]:

1)尋求稀疏基Ψ∈RN×N，并將信號(hào)X∈RN進(jìn)行稀疏表示，由式(1)可以得到稀疏向量Θ∈RN:

2)設(shè)計(jì)一個(gè)平穩(wěn)的、與稀疏基ψ不相關(guān)的觀測(cè)矩陣Φ∈RM×N，保證稀疏向量Θ能夠從N維降到M維，同時(shí)不丟失重要信息，進(jìn)而得到觀測(cè)集合Y∈RM，如式(2)所示:

3)設(shè)計(jì)快速重構(gòu)算法，利用觀測(cè)集合Y并根據(jù)式(3)恢復(fù)原信號(hào):

稀疏表示是指在某個(gè)特定變換域中用盡量少的基函數(shù)來盡可能完整地表示原始信號(hào)[15]。信號(hào)能夠進(jìn)行有效的稀疏表示是壓縮感知的前提。所以，稀疏基的選擇是壓縮感知的先決條件。常用的稀疏基有DCT基、小波基、Chirplet基、Gabor基等，但是這些固定的正交基有時(shí)還不足以表示如聲音或自然圖像這些信號(hào)所具有的復(fù)雜未知規(guī)則性，不能保證信號(hào)在變換域足夠稀疏。稀疏基的構(gòu)造不是文中的研究重點(diǎn)，根據(jù)文中實(shí)驗(yàn)圖像的特點(diǎn)，文中采用較常用的小波基。

觀測(cè)矩陣進(jìn)行的線性觀測(cè)是把信號(hào)稀疏表示和信號(hào)重構(gòu)連接起來的橋梁，觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)是壓縮感知的重要部分[15]。提出了觀測(cè)矩陣設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)該滿足的3個(gè)原則，根據(jù)這3個(gè)原則構(gòu)造了一些常用觀測(cè)矩陣，例如高斯矩陣、正交觀測(cè)矩陣、多項(xiàng)式確定觀測(cè)矩陣、循環(huán)矩陣、循環(huán)直積觀測(cè)矩陣等。文中采用高斯矩陣作為基本矩陣。

常用的重構(gòu)算法主要分為3類[16]:1)貪婪追蹤算法:匹配追蹤算法、正交匹配追蹤算法(OMP)、分段正交匹配追蹤算法等;2)凸松弛算法:梯度投影法、基追蹤算法內(nèi)點(diǎn)法等;3)組合算法:傅立葉采樣以及鏈?zhǔn)阶粉櫟?。文中采用OMP算法。

2 文中優(yōu)化算法

現(xiàn)有的觀測(cè)矩陣幾乎都存在著一些不足，目前觀測(cè)矩陣的研究熱點(diǎn)在于:尋找需要更少觀測(cè)值的新矩陣;對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行優(yōu)化，在相同觀測(cè)數(shù)的情況下，使觀測(cè)矩陣具有更好的性質(zhì);構(gòu)造或優(yōu)化能夠減小計(jì)算復(fù)雜度和提高實(shí)驗(yàn)穩(wěn)定性的觀測(cè)矩陣。

為了利用更少的觀測(cè)值得到更加精確、更加穩(wěn)定的重構(gòu)結(jié)果，文中結(jié)合觀測(cè)矩陣列向量的獨(dú)立性以及觀測(cè)矩陣與稀疏基之間的非相干性兩方面對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行優(yōu)化，提出一種利用QR分解來增大觀測(cè)矩陣的列獨(dú)立性方法，同時(shí)提出通過優(yōu)化Gram矩陣特征值增大觀測(cè)矩陣與稀疏基之間的非相干性的優(yōu)化方法(以下簡(jiǎn)稱QT算法)。

2.1 QR分解增大列獨(dú)立性

觀測(cè)矩陣的列獨(dú)立性越大，重構(gòu)所需的觀測(cè)值越少，重構(gòu)質(zhì)量也越高。文獻(xiàn)[19]中指出設(shè)計(jì)觀測(cè)矩陣時(shí)，要保證觀測(cè)矩陣的最小奇異值大于某一個(gè)大于零的常數(shù)。而文獻(xiàn)[20]中指出矩陣的最小奇異值與矩陣的列向量相關(guān)性密切相關(guān)。最小奇異值越大矩陣的列相關(guān)性越弱，列獨(dú)立性越強(qiáng)。因此，觀測(cè)矩陣的最小奇異值是影響圖像重構(gòu)質(zhì)量的重要因素。所以，可以在不違背文獻(xiàn)[15]中提出的觀測(cè)矩陣應(yīng)該滿足的性質(zhì)前提下，通過增大觀測(cè)矩陣的最小奇異值對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行優(yōu)化，最終會(huì)得到更好的重構(gòu)效果。

QR分解優(yōu)化不但能夠增大矩陣的最小奇異值，同時(shí)能夠保持矩陣的性質(zhì)基本不變[16]。QR分解優(yōu)化主要原理為:首先對(duì)觀測(cè)矩陣Φ∈RM×N進(jìn)行QR分解，得到正交矩陣Q∈RM×N和上三角矩陣A∈RN×N。然后對(duì)A分析，看出其主對(duì)角線元素遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于非對(duì)角線元素，利用該發(fā)現(xiàn)，把A的非對(duì)角線元素全置零得A1，再根據(jù)A1得優(yōu)化后的觀測(cè)矩陣Φ1∈RM×N。通過QR分解優(yōu)化，Φ的最小奇異值小于 Φ1的最小奇異值[12]。

2.2 基于特征值的優(yōu)化

文獻(xiàn)[1-10]提出觀測(cè)矩陣與稀疏基之間的互相干性越小，重構(gòu)所需的觀測(cè)值越少，重構(gòu)精度也越大。觀測(cè)矩陣與稀疏基之間的互相干性μ(Φ，Ψ)如式(4)所示:

基于特征的優(yōu)化算法是針對(duì)Gram矩陣的特征值進(jìn)行的，算法的本質(zhì)在于通過減小Gram矩陣的非對(duì)角線元素減小互相干性。

首先，構(gòu)造 D∈RN×N，令 D=ΦΨ，其中觀測(cè)矩陣Φ∈RM×N，并且秩為 M，稀疏基 Ψ∈RN×N。對(duì) D 進(jìn)行歸一化得到 D1，然后構(gòu)造 Gram矩陣 G∈RN×N，令G=DT1D。G的非對(duì)角線元素的大小和觀測(cè)矩陣與稀疏基之間的非相干性的大小有著密切關(guān)系:非對(duì)角線元素越小，互相干性越小。文中通過使G的非對(duì)角線元素的平方和最小化實(shí)現(xiàn)互相干性最小化。

對(duì)上面的G進(jìn)行分析，假設(shè)G有M個(gè)大于0的特征值lk(k＜M)，根據(jù)矩陣的跡理論以及特征值的相關(guān)理論，加上G是歸一化矩陣，求解觀測(cè)矩陣和稀疏基之間最小相關(guān)性問題可以等價(jià)為求解式(5)的最優(yōu)解。

式中:gij表示G中的元素，di、dj均為G的列向量。通過式(5)可以看出，當(dāng)lk都為N/M時(shí)可得到理論的最優(yōu)解。此時(shí)，式(5)等價(jià)為式(6)

文中優(yōu)化算法的主體思路是選擇高斯隨機(jī)矩陣為原始觀測(cè)矩陣，利用它構(gòu)造Gram矩陣，之后對(duì)Gram矩陣優(yōu)化，讓它的特征值逐漸逼近N/M。然后通過優(yōu)化后的Gram矩陣反向求出此時(shí)的觀測(cè)矩陣，并且對(duì)此時(shí)的觀測(cè)矩陣進(jìn)行QR分解優(yōu)化，增大觀測(cè)矩陣的列獨(dú)立性。繼續(xù)用求得的觀測(cè)矩陣求解Gram矩陣，在不斷地進(jìn)行觀測(cè)矩陣和Gram矩陣的相互求解過程中，當(dāng)達(dá)到設(shè)置的終止條件時(shí)，輸出此時(shí)的觀測(cè)矩陣。通過上述優(yōu)化后，觀測(cè)矩陣不但列獨(dú)立性得到了增強(qiáng)，而且它與稀疏基的非相干性也相應(yīng)增大了。另外，由于每次迭代中QR分解優(yōu)化時(shí)A只保留相對(duì)較大的主對(duì)角線元素，觀測(cè)矩陣保存了主要信息，又因?yàn)镚不斷趨向于最優(yōu)化矩陣，加上觀測(cè)矩陣與Gram矩陣的不斷相互求解，因此，每次得到的觀測(cè)矩陣很相近，相應(yīng)地，仿真結(jié)果穩(wěn)定性也較好。

2.3 算法流程及具體實(shí)現(xiàn)

通過算法分析，設(shè)計(jì)出QT算法流程如圖1。

圖1 QT算法流程圖Fig.1 The flow of QT algorithm

對(duì)上述流程進(jìn)行細(xì)化，具體實(shí)現(xiàn)如下:

輸入 Φ∈RN×NΨ∈RN×N，最大迭代次數(shù)設(shè)為100。

輸出 優(yōu)化后的觀測(cè)矩陣Φ2。

具體實(shí)現(xiàn)步驟如下:

1)構(gòu)造D∈RM×N，并且令 D=ΦΨ，對(duì)其進(jìn)行歸一化處理，得到歸一化矩陣D1;

2)由G=DT1D1構(gòu)造出Gram矩陣G，然后對(duì)G進(jìn)行奇異值分解，即G=USVT，其中U，V均為酉矩陣，S 為 對(duì) 角 矩 陣，并 且 U ∈ RN×N，V ∈ RN×N，S∈RN×N;

3)將S中對(duì)角線上的非零元素置為N/M，得到S1，接著得到G1=US1VT;

4)根據(jù)S1=LTL，對(duì)S1進(jìn)行分解，得到矩陣L。其中L∈RM×N，并且它的對(duì)角線元素為，其他元素為零;

5)設(shè) D2∈RM×N，并且令 D2=LVT，然后通過Φ1=D2Ψ－1，求得 Φ1;

6)對(duì)Φ1進(jìn)行近似QR分解的優(yōu)化:即首先對(duì)Φ1進(jìn)行QR分解，得到Φ1=EF。其中，正交陣E∈RM×N，而上三角矩陣F∈RM×N;然后將F中的非對(duì)角線元素設(shè)置為零，得到F1;最后根據(jù)Φ2=EF1，求得進(jìn)一步更新的觀測(cè)矩陣Φ2;

7)利用D2=Φ2Ψ求出D2，接著對(duì)D2進(jìn)行歸一化處理，得到D3，然后繼續(xù)利用G2=DT3D3得到新的Gram矩陣G2，求出G2中除主對(duì)角線元素外的所有值的平方和(sum)，當(dāng)(sum)－((N/M)2－N)|＜0.1時(shí)，輸出此時(shí)的觀測(cè)矩陣Φ2，否則跳轉(zhuǎn)到②繼續(xù)新的循環(huán)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證文中算法的有效性，文中選擇多幅自然圖像，應(yīng)用文中提出的算法進(jìn)行觀測(cè)矩陣的構(gòu)造，然后對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)，采用OMP算法進(jìn)行重構(gòu)，將重構(gòu)圖像的信噪比和目前的經(jīng)典算法進(jìn)行比較。

采用256×256的自然圖像，初始的觀測(cè)矩陣采用高斯矩陣，稀疏基選取小波基，重構(gòu)算法選取OMP算法。進(jìn)行對(duì)比算法的觀測(cè)矩陣分別是初始高斯矩陣，經(jīng)QR分解優(yōu)化的高斯矩陣[12]，基于特征值優(yōu)化的高斯矩陣[11]。實(shí)驗(yàn)部分分為2個(gè)部分:對(duì)比不同的觀測(cè)長(zhǎng)度下，不同觀測(cè)矩陣得到的重構(gòu)精度的比較(多次重構(gòu)的平均結(jié)果);比較在相同觀測(cè)長(zhǎng)度下，不同觀測(cè)矩陣得到的重構(gòu)精度(單次重構(gòu)的結(jié)果)。

3.1 不同觀測(cè)長(zhǎng)度的比較

為了驗(yàn)證文中構(gòu)造的觀測(cè)矩陣的有效性，對(duì)于同樣一幅自然圖像，分別選取不同的觀測(cè)矩陣長(zhǎng)度M，比較采用不同觀測(cè)矩陣得到的觀測(cè)向量的重構(gòu)精度，并用信噪比表示。由于觀測(cè)矩陣選取的隨機(jī)性，所以每次結(jié)果都不盡相同。

為得到一個(gè)統(tǒng)計(jì)性的結(jié)果，采用50次平均的結(jié)果為最終結(jié)果。表1、2分別表示4種方法在不同觀測(cè)個(gè)數(shù)時(shí)lena和cameralman重構(gòu)圖像的信噪比。

表1 不同觀測(cè)個(gè)數(shù)的PSNR(lena)Table 1PNSR ofdifferent measurement numbers(lena)dB

表2 不同觀測(cè)個(gè)數(shù)的PSNR(cameraman)Table 2 The PNSR ofdifferent measurement dB

由表1和表2中的數(shù)據(jù)可以看出，經(jīng)QR分解優(yōu)化后，PSNR相對(duì)于未經(jīng)優(yōu)化時(shí)提高的幅度不明顯，而經(jīng)過特征值優(yōu)化后，PSNR相對(duì)于未經(jīng)優(yōu)化時(shí)提高的幅度較大。將QT算法和前3種算法中效果最好的基于特征值優(yōu)化算法相比較:當(dāng)M=80、100、120、140、160 時(shí)，lena 的 PSNR 提高情況分別為7.6、3.8、3.5、2.5 和 1.8 dB，而 cameraman 的 PSNR 提高情況分別為 6.5 、3.1 、2.9 、2.2 與 1.2 dB。通過比較分析，隨著M的增大，文中方法的優(yōu)勢(shì)越來越小，也就是說M越小，優(yōu)化算法優(yōu)勢(shì)更大。總的來說，文中優(yōu)化方法在保證近似精確重構(gòu)的條件下，減小觀測(cè)次數(shù)上更有空間。

3.2 算法的魯棒性比較

由于觀測(cè)矩陣的初始矩陣均為高斯噪聲，因此每次仿真試驗(yàn)的初始矩陣都是隨機(jī)的，從而每次重構(gòu)的結(jié)果都會(huì)有所差異。由于QT算法同時(shí)考慮了觀測(cè)矩陣列的獨(dú)立性，以及觀測(cè)矩陣和基函數(shù)的不相關(guān)性，因此，比其他3種算法有更好的魯棒性。依然選取lena和cameraman 2幅圖像進(jìn)行圖示對(duì)比。圖2和圖3分別為當(dāng)M=80時(shí)對(duì)2幅圖像進(jìn)行觀測(cè)重構(gòu)之后的單次重構(gòu)精度的曲線圖。

圖2 M=80時(shí)的PNSR圖(lena)Fig.2 The graph of PNSR when the value of M is 80(lena)

圖3 M=80時(shí)的PNSR圖(cameraman)Fig.3 The graph of PNSR when the value of M is 80(cameraman)

由圖2、3可以看出:當(dāng)M=80時(shí)，其他3種方法的PSNR變化幅度比較大，而且經(jīng)QR分解優(yōu)化和特征值優(yōu)化后的PSNR值在個(gè)別點(diǎn)上比未經(jīng)優(yōu)化時(shí)小。文中優(yōu)化方法每次的PSNR始終大于其他3種方法，并且每次它的波動(dòng)在5%以內(nèi)，穩(wěn)定性較好。另外，隨著觀測(cè)值的增多，其他方法的實(shí)驗(yàn)仿真穩(wěn)定性也會(huì)有所提高，和文中優(yōu)化算法在穩(wěn)定性上的趨勢(shì)比較接近。由上述實(shí)驗(yàn)可以得到結(jié)論:當(dāng)觀測(cè)值較少時(shí)，文中提出的優(yōu)化算法無論在PSNR，還是實(shí)驗(yàn)結(jié)果的穩(wěn)定性上，都比其他3類算法有更好的效果。圖4和圖5給出了lena和cameraman在M=120時(shí)的4種算法的重構(gòu)結(jié)果。

圖4 不同方法優(yōu)化的重構(gòu)圖(lena)Fig.4 The reconstructed images by different optimization methods(lena)

圖5 不同方法優(yōu)化的重構(gòu)圖(cameraman)Fig.5 The reconstructed images by different optimization methods(cameraman)

從對(duì)圖4和圖5進(jìn)行分析可以看出，M=120時(shí)，經(jīng)QR分解優(yōu)化效果不大?；谔卣髦祪?yōu)化的重構(gòu)圖相對(duì)前2種方法在帽子邊緣和頭發(fā)、臉部這些細(xì)節(jié)部分明顯變得更清晰，重構(gòu)質(zhì)量得到了較大提高。文中算法優(yōu)化的重構(gòu)圖在鼻子、嘴巴以及眼睛這3個(gè)細(xì)節(jié)處的重構(gòu)效果更好。綜合以上分析，文中算法在相同的觀測(cè)個(gè)數(shù)時(shí)，重構(gòu)質(zhì)量更高。

4 結(jié)束語

文中提出的優(yōu)化算法，緊密結(jié)合觀測(cè)矩陣的列獨(dú)立性和觀測(cè)矩陣與稀疏基的非相干性兩方面對(duì)觀測(cè)矩陣進(jìn)行優(yōu)化。通過對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，文中提出的優(yōu)化算法在重構(gòu)質(zhì)量和穩(wěn)定性這2個(gè)方面有較大優(yōu)勢(shì)，尤其在觀測(cè)個(gè)數(shù)較少時(shí)，優(yōu)勢(shì)更明顯。后期的工作將嘗試研究確定性觀測(cè)矩陣，如何采用更少的觀測(cè)個(gè)數(shù)，得到更精確的重構(gòu)結(jié)果是下一步的研究目標(biāo)。

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