吳洪華

摘 要：一道衍生于伏安法測電阻的中考實(shí)驗(yàn)題，討論的是電路中滑動(dòng)變阻器的電功率隨電流變化的特點(diǎn)。在解答過程中產(chǎn)生了幾點(diǎn)疑問，后用數(shù)理結(jié)合的方法進(jìn)行了論證，解決了心中的疑問。

關(guān)鍵詞：中考實(shí)驗(yàn)題；疑問；數(shù)理結(jié)合；論證

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）10-0057-3

題 （2014·揚(yáng)州27）某同學(xué)用圖1所示的電路探究“通過導(dǎo)體的電流與電壓、電阻的關(guān)系”，電源電壓恒為3 V。

（l）閉合開關(guān)后，電流表無示數(shù)，但電壓表有示數(shù)，原因可能是 。

A.電流表斷路 B.電壓表斷路

C.R1斷路 D.R2斷路

（2）探究電流與電壓的關(guān)系時(shí)，應(yīng)保持

不變（R1 /R2）。

（3）探究電流與電阻的關(guān)系時(shí)，當(dāng)R1的阻值是2 Ω，電流表示數(shù)是1.0 A；要使電流表示數(shù)是0.5 A，R1的阻值是 Ω；多次測量后，作出的I-R1圖像是圖2中的 。

（4）該同學(xué)為研究可變電阻功率的變化規(guī)律，他將R1換成阻值為5 Ω的定值電阻，把R2換成阻值范圍是0～10 Ω的電阻箱。實(shí)驗(yàn)中R2從1 Ω逐漸調(diào)大到10 Ω，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1。

當(dāng)R2消耗的功率最大時(shí)，其電阻約為 。

A.4 Ω B.5 Ω

C.6 Ω D.4 Ω和6 Ω

簡析：（1）電流表無示數(shù)，則電路斷路；電壓表有示數(shù)，則與電壓表并聯(lián)的電路斷路；（2）要探究電流和電壓的關(guān)系，應(yīng)保持電阻不變；（3）在探究電流和電阻的關(guān)系時(shí)，應(yīng)保持電阻兩端的電壓不變，根據(jù)歐姆定律進(jìn)行分析；（4）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)呈現(xiàn)的變化趨勢，可以推斷出“當(dāng)R2消耗的功率最大時(shí)，其電阻約為5 Ω”。

作為一道中考題，本題并未在問題設(shè)置中給予學(xué)生太難的障礙，但其第（4）問卻引起了筆者的思考：此處給出了六組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這與教材中許多規(guī)律探究性實(shí)驗(yàn)通常只要求做三次實(shí)驗(yàn)（或給出三組數(shù)據(jù)）不同，分析題目提供的六組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)所反映的變阻器功率變化的趨勢，可以得出“變阻器的電功率P1隨電流I0的增大先增大后減小”的初步結(jié)論，并且從第3、4兩組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)還能看出在這兩點(diǎn)變阻器的電功率似乎有對稱的特點(diǎn)。那么，①P1與I0之間是否存在著一個(gè)對應(yīng)的有對稱軸二次函數(shù)關(guān)系式？②滑動(dòng)變阻器消耗的功率隨它接入電路的電阻變化之間存在怎樣的函數(shù)關(guān)系？③原試題第（4）問給出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)雖只有六組，但已經(jīng)足以證實(shí)P2隨R2變化的不對稱性，所以我們在解答最后一問時(shí)會(huì)產(chǎn)生疑惑：P2的最大值恰恰是在R2=5 Ω這一點(diǎn)嗎？④能否通過數(shù)理結(jié)合的方法解答上面的問題？

根據(jù)試題的第（4）問，將原題中的圖1所示的電路中的電阻箱換成阻值為5 Ω的定值電阻，R2用最大值等于10 Ω的滑動(dòng)變阻器替代，連接成圖3所示的電路，做以下分析。

根據(jù)電路的總功率等于各電器的功率之和，可推得變阻器的電功率的表達(dá)式為：

P2=P總-P1=U電源I1-IR1=-R1（I-I1）=

-R1（I1-）2+（1）

式（1）表明，確實(shí)存在一個(gè)關(guān)于P2-I1（也即此電路中的總電流）的二次函數(shù)。按理說，P2隨I1變化的特征應(yīng)該是一個(gè)開口向下的有對稱軸的拋物線。但須知通過R1的電流不會(huì)為0；滑動(dòng)變阻器的電功率也只有電流不通過它時(shí)（此時(shí)電路中的電流I-）才等于0，即圖像與橫軸應(yīng)只有一個(gè)交點(diǎn)。根據(jù)操作要求，開關(guān)閉合時(shí)，變阻器滑片應(yīng)置于阻值最大位置，則圖像的起點(diǎn)在圖中的點(diǎn)P2，雖無限靠近坐標(biāo)原點(diǎn)，但不會(huì)落到原點(diǎn)，這是因?yàn)樵趫D3所示的電路中，電路中的電流I1不會(huì)為0，電路中的最小電流是I=，其中R1的值越大（R2遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于R1），I1越小，P2也越小，但不會(huì)等于0。當(dāng)電路中電流I=（此為拋物線的對稱軸，也即“變阻器接入電路的阻值恰好等于R1”）時(shí)，變阻器的電功率有最大值，P最大=，此為圖像的頂點(diǎn)；當(dāng)電路中電流I1=（即滑動(dòng)變阻器接入電路的電阻等于0）時(shí)，P2=0。當(dāng)電路中的電流等于（R1為變阻器的最大值）時(shí)，圖像到達(dá)另一個(gè)端點(diǎn)（，0），如圖4所示。

事實(shí)上也不難計(jì)算，當(dāng)圖3所示電路中的電流分別是0.1 A（設(shè)R2的值允許）、0.2 A、0.3 A、0.4 A、0.5 A時(shí)，R2的電功率分別等于0.25 W、0.40 W、0.45 W、0.40 W和0.25 W，呈現(xiàn)以P2=0.45 W為頂點(diǎn)的顯著對稱性。至此，證實(shí)了前面提出的疑問①。那么，以變阻器的阻值R2作為自變量的關(guān)于P2-R2之間的函數(shù)關(guān)系又是怎樣的呢？

借助U電源和定值電阻R1這兩個(gè)常量，可以推導(dǎo)并整理得出滑動(dòng)變阻器電功率P2隨其電阻R2變化的表達(dá)式如下。

P2=I2R2=（）2R2==

（2）

式（2）表明，這不是一個(gè)形如y=ax2+bx+c的二次函數(shù)，那它有沒有頂點(diǎn)？有沒有對稱軸呢？

分析式（2）發(fā)現(xiàn)，當(dāng)變阻器接入電路的阻值為0時(shí)，由P2=I2R2可知，P2等于0為最小值；當(dāng)變阻器接入電路的阻值等于R1時(shí)，式（2）的分母最小，則P2取最大值，且最大值為。那么，與此關(guān)系式對應(yīng)的、能反映P2-R2關(guān)系的圖像是什么形狀呢？為了回答此問題，就以揚(yáng)州市中考題的第（4）問給出的R1和R2的值并將分別R2等于3 Ω、

5 Ω、7 Ω、9 Ω時(shí)R2的電功率P2的值也統(tǒng)計(jì)成如表2。

根據(jù)表2數(shù)據(jù)，按R2的阻值由小（R2=0 Ω）到大的順序用描點(diǎn)法描繪的P2隨R2變化的圖像如圖5所示。圖像反映出變阻器的電功率P2隨R2接入電路阻值的變化具有如下的變化特征：

①當(dāng)R2

②R2=R1這一點(diǎn)是P2變化的分水嶺（函數(shù)圖像的最大值點(diǎn)P最大，即函數(shù)圖像的拐點(diǎn)）。

③在R2=R1這一分水嶺兩側(cè)，P2值的變化是不對稱的，當(dāng)R2由0增大到R1時(shí)，P2逐漸增大（增大較快），并達(dá)到最大值；R2連入的值達(dá)到R1后繼續(xù)增大，P2則緩慢減小，用賦值法易證實(shí)P2從其最大值0.45 W減小到0.25 W （R2=1 Ω時(shí)，它的電功率值）時(shí)，R2的值必須達(dá)到31 Ω，顯示出P2隨R2變化的強(qiáng)烈的不對稱性。

從上面的分析可以看出，盡管兩種解法中圖像的差異很大，但我們又可以看出兩者在最大值、最小值等點(diǎn)位的同一性及圖像與橫軸只有一個(gè)交點(diǎn)的同一性。同時(shí)也看出了原題給出的R2=4 Ω和R2=6 Ω這兩點(diǎn)時(shí)P2的功率其實(shí)并不相等，只是非常相近而已，但兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式都可證明最大功率就是在R2=5 Ω這一點(diǎn)。

至此，解題之初產(chǎn)生的幾個(gè)疑問一一得到了解答，讓筆者心中有如釋重負(fù)的豁然之感。這不僅僅是這道中考題的魅力所在，也更是物理問題總有吸引我們不斷探究的獨(dú)特魅力吧！

（欄目編輯 王柏廬）