梅鑫華

摘 要：不少物理教師將極限與極端混為一談。本文試圖對此做出區(qū)分，并探尋高中物理教材中的極端與極限思維，舉例說明兩種思維在解題中的應用。

關鍵詞：極限思維；極端思維；物理應用

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）10-0049-3

人教版物理必修1在引出瞬時速度概念的過程中，采用了極限的思維。若把這種思維稱作極端思維，顯然有失偏頗。而在高中物理教學中，不少教師將極端與極限思維混為一談，甚至有些文獻也認為“極端思維又叫做極限思維”[1]。嚴格說來，極限與極端是兩種有區(qū)別的思維方法。若教學中將兩者混淆，必然不利于學生形成正確的極限概念。筆者認為有必要對此做一區(qū)分，便于學生理解與掌握兩種思維的精髓。

1 極限思維與極端思維的區(qū)別

在數(shù)學中，如果某個變化的量無限地逼近于一個確定的數(shù)值，那么該定值就叫作變化的量的極限。這里隱含了極限思維的內(nèi)涵：無限趨近或逼近。例如，函數(shù)y=，其中x≥1。利用極限思維，使x無限趨近+∞，可得y無限逼近0，所以0是函數(shù)y在x→∞時的極限值。而極端思維類似于數(shù)學中的特殊值法，是一種“極端”的特殊。例如，上述函數(shù)在取x=1這種“極端”特殊情況下，y的值將變?yōu)?。

中學階段的極限與極端思維用數(shù)學語言可歸納如下：極限思維是指“使自變量趨近某一值，研究因變量無限逼近的極限值”；極端思維是指“取自變量為某些極端值，研究因變量的數(shù)值”。由于有些自變量無法直接取為極端值，如上述函數(shù)x不能直接取為0，所以需要極限思維，使x無限趨近于0，來研究因變量y的極限值。

對中學物理而言，兩種思維的區(qū)別：極端思維是將所研究的問題直接推到極端狀態(tài)下進行分析、討論；而極限思維則是將所研究的問題無限趨近于極端狀態(tài)來進行分析、討論。

2 極限思維在高中物理中的體現(xiàn)

2.1 引出瞬時物理量的概念、方向

極限思維引出瞬時物理量的概念、方向在高中物理中有很多例子，如瞬時速度、曲線運動速度方向、向心加速度方向，這里不再過多描述。

2.2 推導物理公式、規(guī)律

由于極限思維是微積分的基礎。高中物理教材在利用微積分思想推導公式、規(guī)律時，也滲透了極限的思維。

例如，勻變速直線運動位移公式的推導。首先利用微積分思想，將物體的運動分成幾個小段，各小段的位移在v-t圖像上近似表示為矩形面積。將這些矩形面積累加求和，即為全過程的位移。利用極限思維，使全過程無限分割，即相鄰時間間隔趨近于零，此時累加求和的值將無限逼近圖像上梯形的面積，由此得到勻變速直線運動的位移公式。此外，彈簧彈性勢能公式、重力做功、靜電力做功的推導與之類似。

3 極端思維在高中物理中的體現(xiàn)

極端思維類似于特殊值法，其主要用于解決物理問題，而在推導物理公式與規(guī)律中應用較少。因此，高中物理教材中極端思維的應用并不多，如表1。

4 極限思維與極端思維在物理解題中的應用

例1 （極限思維應用）空間某一靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖1所示，x軸上兩點B、C的電場強度在x方向上的分量分別是EBx、Ecx，下列說法中正確的有（ ）

A.B、C兩點的電場強度大小EBx

B.EBx的方向沿x軸正方向

C.電荷在O點受到的電場力在x方向上的分量最大

D.負電荷沿x軸從B移到C的過程中，電場力先做正功，后做負功

分析 由于B點斜率絕對值大于C點，所以EBx大于Ecx，即A選項錯。沿電場線方向，電勢降低，所以B選項錯。O點處的斜率為零，所以電場強度為零，電場力最小，即C選項錯。根據(jù)W=Uq，可知D選項正確。

點評 此題φ-x圖像的斜率表示電場強度，這里隱含了極限的思維。以B點為例，在距B點右側(cè)（或左側(cè)）附近Δx處取A點，則A、B兩點的電勢差Δφ與Δx的比值可近似表示B處電場強度。使A點無限趨近于B點，即Δx趨向于零，此時E=將無限逼近該處切線斜率的大小，該斜率即為B處電場強度大小。

例2 （極端思維應用）如圖2，一根不可伸長的輕繩系一個小球，將小球拉至水平位置后由靜止釋放，則小球在擺動到最低點的過程中，重力對小球做功的瞬時功率（ ）

A.始終不變

B.始終增大

C.先減小后增大

D.先增大后減小

分析 在小球下落過程中，由于速度沿重力方向的分量逐漸減小，而速度逐漸增大，導致難以判斷下落過程中重力瞬時功率的大小變化。對此，我們進行定量分析。

設小球下落至某一點處，此時繩與水平方向的夾角為θ，設繩長度為R，那么該處小球重力的瞬時功率為：

P=mgvcosθ。

根據(jù)動能定律mgRsinθ=mv2，

聯(lián)立兩式得：

P=mgcosθ=mg。

由數(shù)學計算可知，從最高點到最低點，重力瞬時功率P先增大后減小，且sinθ=時，功率P達到最大值，答案選D選項。此題不妨應用極端思維，考慮到最高點及最低點時的功率都為零，而中間過程功率不為零，由此推出功率必然先增大后減小。

點評 極端思維用于判斷物理量的變化情況時，可以幫助我們快速解決問題，節(jié)省做題時間，應用較為廣泛。但對于何處達到最大或最小、具體數(shù)值為多大等問題，還需進行嚴密的物理分析與數(shù)學計算。

5 小 結

應用極限思維，可以引出一些瞬時物理量的概念，如瞬時速度、瞬時功率等；可以得到瞬時矢量的方向，如曲線運動速度方向沿切線方向、向心加速度方向；還可得到物理量在某處的大小，如電場強度大小。此外，極限思維配合微積分思想，能求解一些變力做功等問題。

應用極端思維，可以使我們快速、巧妙地解決物理問題，檢驗解題結果的正確性，對某些選擇題尤為適用。這種思維具有跳躍性、靈活性等特點。

參考文獻：

[1]方小寧.重視極端思維在物理中的應用[J].物理教學探討，2004，22（8）：23—25.

（欄目編輯 陳 潔）