張啟迪

摘 要：Maclaurin公式是Taylor公式的特殊形式，在中學(xué)物理競賽和自主招生的解題中有著重要的應(yīng)用。然而，Maclaurin公式在進(jìn)行近似計算時，有時取一階近似，有時取二階近似。本文以兩道競賽題為例，淺談在應(yīng)用該公式時，如何對階數(shù)進(jìn)行取舍。

關(guān)鍵詞：Maclaurin公式；一階近似；二階近似；物理情景；物理意義

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2015）10-0028-2

1 引 言

Taylor公式和Maclaurin公式是大學(xué)物理學(xué)習(xí)過程中非常常用的兩個公式，而Maclaurin公式是泰勒公式的特殊情況，即在滿足Taylor定理的前提下，當(dāng)泰勒公式中x0=0時，公式成為f（x）=

f（0）+f'（0）x+x2+…+xn+xn+1，（0<θ<1）。

在一定條件下，所有的函數(shù)都可以用Maclaurin公式展開，由公式可以看出，展開后分別為x的一次方到n+1次方。在物理學(xué)中，很多時候需要近似計算，當(dāng)x→0時，我們可以略去高階無窮小量，從而使函數(shù)關(guān)系變得簡單，易于找到其中的物理規(guī)律。下面我們通過兩道競賽題來看看如何對階數(shù)進(jìn)行取舍。

2 Maclaurin公式一階近似舉例

例1 新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400 km，且由通常的水形成的海洋覆蓋著它的所有表面，海洋的深度為10 Km。學(xué)者們對該行星進(jìn)行探查時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把試驗用的樣品進(jìn)入行星海洋的不同深度時，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變。試求此行星表面處的自由落體加速度。已知萬有引力常數(shù)G=6.67×10-11 N·m2/kg2。

我們知道，質(zhì)量均勻分布的球殼對中間任意一點的萬有引力合力為零，對樣品真正有引力作用的應(yīng)當(dāng)是內(nèi)部水球殼和星球。隨著樣品在水中不斷下降，內(nèi)部水球殼的質(zhì)量顯然在減小，那么樣品受到的萬有引力一定在減弱，嚴(yán)格來說，樣品是不可能以恒定的加速度下落的。題目中也著重強(qiáng)調(diào)，“各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變”，對此的理解應(yīng)當(dāng)是自由落體加速度肯定是變化的，但是精度要求不高的時候，近似保持不變。繼續(xù)翻譯成數(shù)學(xué)語言，重力加速度g應(yīng)當(dāng)是關(guān)于樣品距球體深度的函數(shù)，當(dāng)要求精度不高的時候，應(yīng)當(dāng)略去x的高階小量，而保留x的一階量，又不隨x發(fā)生變化，則x前的系數(shù)應(yīng)當(dāng)為0。

首先，我們將g表示成關(guān)于深度x的函數(shù)，即

g（x）=（其中M為球體質(zhì)量，R為6400 km，ρ為水的密度），對上式化簡，并略去x的二階和三階項得：

g（x）=，又根據(jù)二項式定理（1+α）n≈1+nx（其中0<α<<1），得：

g（x）=（1+）（1-）=

1+（-）x（其中，=<<1，且已略去x的二階項）。

要求在相當(dāng)精確度下，自由落體加速度不隨x變化，則x前的系數(shù)必為0。即

-=0，化簡可得g≈=2πGρR。

依照題意，在相當(dāng)高的精度下，我們并不關(guān)心g（x）函數(shù)的整體面貌，而僅僅關(guān)心x∈（0，10） km這樣一個小范圍內(nèi)g（x）函數(shù)的形態(tài)。所以，我們應(yīng)當(dāng)舍去高階小量，僅保留一次項。本題中應(yīng)當(dāng)注意題目中創(chuàng)設(shè)的情景，針對所要研究的問題，進(jìn)行相關(guān)近似。那么，在研究物理問題，需要用Maclaurin公式做近似的時候，是不是一般都進(jìn)行一階近似呢？我們繼續(xù)看下一個例題。

3 Maclaurin公式的二階近似舉例

例2 一塊厚度為h的勻質(zhì)長方形物塊，靜止地放在半徑為R的半圓柱頂面上，如圖1所示。設(shè)摩擦系數(shù)足夠大，長方形物塊與柱面不發(fā)生滑動。求此靜止位置為穩(wěn)定平衡的條件。當(dāng)θ很小時，有關(guān)系：cosθ≈1-，sinθ≈θ。

（a）

（b）

圖1 例2示意圖

物體平衡位置為穩(wěn)定平衡位置的條件是：當(dāng)此物體稍微偏離平衡位置時，將受到指向平衡位置的合力作用（平衡力），使物體回到平衡位置。換句話說，如果物體向兩側(cè)移動一個微小的距離，物體的重心提高了，即重力勢能增加了，則物體將在重力的作用下回復(fù)到平衡位置，為穩(wěn)定平衡，若重力勢能減小則不是穩(wěn)定平衡。以此為以下計算的依據(jù)可得：

設(shè)長方形物體稍微離開平衡位置，如圖1（b），當(dāng)θ很小，重心位置（離地面）R+，

y=（R+）cosθ+Rθsinθ≈（R+）（1-）+Rθ2=

（R+）-（R+）+Rθ2=（R+）+（R-），穩(wěn)定平衡的條件為y-（R+）>0，即（R-）>0，解得穩(wěn)定平衡條件為R>。

從上邊的解題過程中，我們可以看出，在做小角度近似時，將cosθ≈1-，sinθ≈θ，題目中給出了這個條件，但是為什么cosθ中含有小角度的二階項，而sinθ中僅有小角度的一階項呢？

我們先用Maclaurin公式對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)展開，若用能量觀點去解決穩(wěn)定平衡問題，重力勢能必須表達(dá)成關(guān)于θ2的函數(shù)，這是為什么呢？我們先來看下，在此情境中，重力勢能和回復(fù)力之間的關(guān)系。因為ΔEP=-FΔx，則F=-，即回復(fù)力應(yīng)當(dāng)是勢能相對于其自變量的梯度。我們知道，物體若為穩(wěn)定平衡，則必定受到一個回復(fù)力，即勢能的表達(dá)式對自變量的梯度，必須正比于自變量。在此題中，重心的縱坐標(biāo)正比于ΔEP，而當(dāng)θ很小的時候，ΔEP的自變量就是θ。根據(jù)以上分析可得，∝θ才能滿足回復(fù)力的關(guān)系。觀察表達(dá)式y(tǒng)=（R+）cosθ+Rθsinθ，只有對cosθ展開時保留二階項，對sinθ展開時保留一階項（sinθ前方有θ一階存在），才能保證∝θ，這樣能量的表達(dá)式才能滿足其對自變量的梯度為正比于力這樣的物理意義，形成穩(wěn)定平衡的體系。本題也可以通過力矩的觀點來研究，此時利用Maclaurin公式展開，需要利用sinθ≈θ，cosθ=1的近似，這里不再贅述，請參閱參考文獻(xiàn)。

4 結(jié) 語

本文通過兩個例子，淺談了利用Maclaurin公式進(jìn)行數(shù)值近似時，要根據(jù)題目中特定的物理情景，考慮到實際的物理意義，恰當(dāng)?shù)剡x擇一階或者二階近似。我們在日常教學(xué)中應(yīng)當(dāng)廣泛關(guān)注數(shù)學(xué)與物理結(jié)合的問題，這樣才能幫助學(xué)生們在早期養(yǎng)成良好的數(shù)理素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理教程·力學(xué)篇[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2012.

（欄目編輯 李富強(qiáng)）