周生寶　王雪標(biāo)　劉書舟

摘 要：本文從波動率角度建立了含水平效應(yīng)和跳躍項的異方差GARCHLJ短期利率模型。研究結(jié)果表明，我國短期利率的異方差主要是由水平效應(yīng)和跳躍成分造成的。GARCHLJ模型能解釋我國短期利率的異方差性、均值回復(fù)、尖峰厚尾性以及波動的連續(xù)和非連續(xù)變動的統(tǒng)計特征，結(jié)果顯示了較好的擬合與預(yù)測效果。

關(guān)鍵詞：短期利率；水平效應(yīng)；跳躍效應(yīng)

中圖分類號：F830.33 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1000-176X（2015）07-0047-05

一、問題提出與研究綜述

作為資金價格的利率受到多種因素影響，反過來其變動亦影響整個宏觀經(jīng)濟(jì)。市場參與者把短期利率作為政策與市場風(fēng)向標(biāo)，而政策制定者把短期利率作為影響經(jīng)濟(jì)的最主要的有效工具。然而由于短期利率不僅表現(xiàn)出具有水平相依性、波動性，以及均值回復(fù)性、尖峰厚尾性，而且有時其波動具有集簇現(xiàn)象，即條件異方差性。這種條件異方差波動有時會有水平效應(yīng)，同時由于諸如貨幣政策調(diào)節(jié)、標(biāo)普評級的改變等較大事件的沖擊，又表現(xiàn)出不同程度的突變特征——跳躍效應(yīng)。因此，如何建立合適的短期利率模型刻畫其動態(tài)行為及統(tǒng)計特征，找出這些動態(tài)特征的影響因素及其隱含信息，受到了央行與學(xué)者的廣泛關(guān)注。

歐美國家市場經(jīng)濟(jì)較為發(fā)達(dá)，利率市場化早，相關(guān)研究比較豐富。Chan等 [1]采用廣義矩法對比了能反映水平效應(yīng)的CKLS模型和MERTON、CIR、BRENNAN-SCHWARTZ等傳統(tǒng)短期利率模型，認(rèn)為沒有參數(shù)限制的CKLS模型在利率數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測上更優(yōu)，同時發(fā)現(xiàn)美國利率水平效應(yīng)值為1.5000。Bali [2]著重研究了美聯(lián)儲短期利率的波動問題，認(rèn)為利率隨機(jī)波動中有跳躍成分，突發(fā)的跳是利率波動的風(fēng)險來源。Johannes [3]分析研究了美國的利率數(shù)據(jù)，認(rèn)為加入跳后的連續(xù)擴(kuò)散模型能提高對數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度，跳躍項反映了宏觀經(jīng)濟(jì)對短期利率的沖擊影響，是形成短期利率尖峰厚尾性的重要原因之一。Dahlquist [4]研究了丹麥、 德國、 瑞典和英國的利率期限結(jié)構(gòu)，認(rèn)為利率水平效應(yīng)和波動率具有正相關(guān)性，波動的水平效應(yīng)都介于0—2之間；同時均值回復(fù)性是利率模型應(yīng)該反映的基本特征，研究亦指出在1985年由于貨幣政策的變化導(dǎo)致了丹麥利率序列中發(fā)生突變行為，但他并沒有用含有跳的利率模型做進(jìn)一步研究。Bali和Wu[5]分別基于線性和非線性擴(kuò)散項的異方差模型綜合分析了美國短期利率的動態(tài)行為，認(rèn)為含有GARCH波動率項和非正態(tài)分布的干擾項將能弱化漂移項的非線性設(shè)定要求，而含非線性漂移項的模型在利率水平較高時才具有一定優(yōu)勢，其表面利率波動中確實有異方差行為。Sanjiv [6]應(yīng)用含有泊松跳的高斯利率模型考察了美國短期利率數(shù)據(jù)，認(rèn)為泊松跳可以刻畫原高斯模型難以刻畫的數(shù)據(jù)特征，在一般高斯模型中加入跳躍項或者ARCH項將增強(qiáng)模型對數(shù)據(jù)的擬合能力，如果模型含有跳躍項同時也含有區(qū)制轉(zhuǎn)換過程，這將有助于提高模型對短期利率的動態(tài)行為預(yù)測。Tugba [7]借助分別含有t分布、正態(tài)分布擾動項的GARCH、EGARCH、GJR-GARCH和APARCH模型研究了美國和土耳其隔夜利率的波動率問題，認(rèn)為在2000年1月至2011年6月的數(shù)據(jù)有尖峰厚尾性，同時存在水平效應(yīng)，波動率具有異方差性，非對稱的GARCH模型能較好刻畫和預(yù)測利率波動率。

在國內(nèi)，鄭堯天和杜子平 [8]采用GARCH模型族對中國銀行間同業(yè)拆借利率進(jìn)行了研究，認(rèn)為 EGARCH模型有較好的擬合效果，異方差的精確刻畫有助于預(yù)測CHIBOR的走勢。劉鳳琴和戈曉菲 [9]借助含有跳的CIR模型分別刻畫了由利率市場變動導(dǎo)致的利率擴(kuò)散過程和由于宏觀政策變動導(dǎo)致的利率跳躍行為，揭示了利率均值回復(fù)的原因。潘婉彬等[10]用擴(kuò)散模型研究了我國銀行間7天拆借利率，認(rèn)為我國利率的水平效應(yīng)值為1.4213，均值回復(fù)對利率水平較敏感。趙靜嫻和詹原瑞[11]借助連續(xù)短期利率模型估計出我國同業(yè)拆借、銀行間國債回購和交易所國債回購利率的水平效應(yīng)系數(shù)分別為0.4860、0.5800和1.0215，同時認(rèn)為這三個市場中的利率存在極為顯著的均值回復(fù)性。劉薇和范龍振[12] 采用廣義矩法借助只含水平效應(yīng)的CKLS模型研究了銀行間和上交所國債回購利率，表明銀行間市場的回購利率其波動有更加顯著的水平效應(yīng)，且此市場中利率均值回復(fù)速度要明顯小于交易所回購市場，但這種簡單的CKLS模型對兩市場中的利率及其波動的變化預(yù)測能力較差。陳輝和謝赤[13]對比分析了JUMP-ARCH模型、跳擴(kuò)散模型、ARCH擴(kuò)散模型和一般擴(kuò)散模型，認(rèn)為JUMP-ARCH模型在解釋利率波動時占優(yōu)，跳躍是利率波動和均值回復(fù)的主要原因，而且此模型能解釋國債回購市場中的周一、周五效應(yīng)。周生寶等[14]用含泊松跳的CKLS模型研究了我國短期利率的行為特征，認(rèn)為短期利率均值在2.1100%左右，均值回復(fù)速度為0.0800，每年大約有21.3300次跳躍行為。

以上研究得到了一些有意義的結(jié)論，對市場決策具有重要參考價值。不過我國利率市場化改革雖然始于1995年，但直到2013年7月20日，人民幣存款利率仍然處于上限管制狀態(tài)，而當(dāng)前市場化利率改革進(jìn)入了關(guān)鍵時刻，探索市場基準(zhǔn)利率的形成和傳導(dǎo)機(jī)制尤顯迫切，這些都要求深入研究我國短期利率的行為特征。所以本文從波動率建模角度，在GARCH的方差項中加入利率水平以對方差波動的水平效應(yīng)建模，在含水平效應(yīng)的GARCHL模型中加入泊松跳來刻畫利率的跳躍行為，以期較好地刻畫我國短期利率動態(tài)性。

二、數(shù)據(jù)選擇分析

同業(yè)拆借利率是市場的重要參考指標(biāo)，本文選擇近4年IBO007日985個數(shù)據(jù)作為對象。利率及其一階差分序列的圖像如圖1和圖2所示。

從圖1和圖2可以看出，利率的前期波動相對后期波動的要小，較大利率值對應(yīng)著較大的波動，長期有回復(fù)到均值的趨勢；差分序列有波動集簇現(xiàn)象，利率可能具有異方差效應(yīng)和水平效應(yīng)。

可見利率自相關(guān)性較高，一階偏自相關(guān)也顯著且一階滯后偏自相關(guān)較小；一階差分序列有自相關(guān)和偏相關(guān)性。ADF單位根檢驗表明，在5%和1%的顯著水平上序列平穩(wěn)。

三、構(gòu)建模型

1. GARCH模型分析

擬合ARMR和AR模型表明AR（1）相對較好，但其殘差不服從正態(tài)分布、殘差平方和自相關(guān)顯著，以此為基礎(chǔ)擬合

本文通過檢驗發(fā)現(xiàn)高階的GARCH模型效果不如GARCH（0，1）和GARCH（1，1）。GARCH （0，1）和GARCH （1，1），均值方程和方差方程分別為：

其中，εt為AR（1）的回歸殘差；et 為正態(tài)分布擾動項。估計結(jié)果如表3所示。

兩個模型系數(shù)都通過了顯著性檢驗，方差方程穩(wěn)定。擬合優(yōu)度、殘差平方、標(biāo)準(zhǔn)差、對數(shù)似然值、AIC、BIC準(zhǔn)則表明GARCH （1，1）較優(yōu)。GARCH （0，1）的殘差正態(tài)性檢驗Jarque-β值為1 402.8000，p值為0.0000；GARCH （1，1）的殘差正態(tài)性檢驗Jarque-β值為176.7200，p值為0.0000。雖然后者更接近正態(tài)分布，正態(tài)性檢驗結(jié)果均被拒絕。GARCH （1，1）模型的異方差檢驗F統(tǒng)計量值為1.7975，p值為0.1662，LM統(tǒng)計量為3.5930，p值為0.1658，這表明模型能夠部分消除異方差，但兩模型擬合優(yōu)度和對數(shù)似然值都不大。

本文認(rèn)為，模型GARCH （0，1）的效果不如GARCH （1，1）的原因可能是利率波動集簇除受新息影響外，還受波動的記憶性影響。GARCH （0，1）只能刻畫新息沖擊的影響，而GARCH （1，1）卻能同時刻畫新息與前期波動影響。

2.含水平效應(yīng)的GARCH模型

沖擊具有持續(xù)性致使利率波動有水平效應(yīng)，方差方程中加入利率水平是較好選擇，簡稱GARCHL?，F(xiàn)有研究表明水平效應(yīng)系數(shù)在0—2之間是合理的。因此，在GARCHL中，令0≤γ≤3采用迭代算法逐步以步長0.1000增加γ的值來擬合模型異方差項ht=c+dε2t-1+krγt-1+et和ht=c+dε2t-1+eht-1+krγt-1+et。

結(jié)果表明當(dāng)γ=1.1000時模型擬合較好，且此時GARCHL （1，1）的AIC、BIC、擬合殘差平方和標(biāo)準(zhǔn)差明顯低于GARCHL （0，1）模型；而其擬合優(yōu)度R2和調(diào)整的R2及對數(shù)似然函數(shù)值都顯著較高。GARCHL （1，1）估計結(jié)果為：

rt=0.1652+0.9220rt-1+εt（4）

ht=-0.0064+0.2721ε2t-1+0.6210ht-1+0.0047r1.1t-1+et（5）

由0.2721+0.6210+0.0047<1可知，協(xié)方差平穩(wěn)。R2=0.8553、殘差平方和為113.3400、對數(shù)似然值76.4300、AIC值為0.0134、BIC值為0.0374，這也優(yōu)于單純的GARCH模型，表明含有水平效應(yīng)的異方差模型是可行的。對殘差平方做相關(guān)性檢驗，所有系數(shù)顯著為0；異方差檢驗時F統(tǒng)計量值為1.2223，p值為0.2691，LM統(tǒng)計量值為1.2233，相應(yīng)p值為0.2687，模型消除了異方差。按此模型利率均值為2.3744，回復(fù)速度為0.0780。從新息εt和方差ht的系數(shù)看，加入水平效應(yīng)后前期新息與方差對回歸方差的影響降低了，從而佐證了水平效應(yīng)對異方差有顯著影響，利率水平是異方差的來源之一。但是GARCHL類模型只能刻畫利率的連續(xù)性變化，對突發(fā)的跳躍特征是無法捕捉的。

3.含跳躍效應(yīng)的GARCHL模型

在GARCHL（1，1）模型中加入跳，簡稱GARCHLJ模型，具體為：

rt=a+brt-1+JdP+εt（6）

ht=c+dε2t-1+eht-1+krγt-1+et（7）

其中，J為跳躍幅度，服從N（μ，σ2）；λ為利率在某段時間內(nèi)平均跳躍次數(shù)；P表示強(qiáng)度為λ的泊松分布， J與εt、et、P相獨立。估計結(jié)果如表4所示。

所有參數(shù)估計值顯著不為零，用對數(shù)似然值、AIC值、BIC值與GARCHL的相應(yīng)值進(jìn)行比較表明GARCHLJ模型更優(yōu)。GARCHL可作為GARCHLJ中J=0而得到，能視做包含關(guān)系，這樣可用似然比LR=2[lnL（θ）-lnL（θ-）]檢驗他們之間是否有顯著性差異。LR=168.4765，而0.5%顯著水平、自由度為1的卡方分布臨界值為5.0239，即模型有顯著區(qū)別。對殘差平方做相關(guān)性檢驗，系數(shù)顯著為0；異方差檢驗F統(tǒng)計量值為1.3521，p值為0.3152，LM統(tǒng)計量值為1.2832，p值為0.2972，顯著消除了異方差。具體GARCHLJ模型為：

drt=0.0823×（2.2105-rt）×Δt+J×（0.1850，0.2048）dP（0.0284）（8）

ht=-0.0543+0.1185ε2t-1+0.7648ht-1+0.0029r0.5783t-1+et（9）

前期rt-1對方差ht的影響顯著從GARCHL模型的0.0047降到0.0290，水平效應(yīng)從1.1000減小到0.5783，這表明突變的跳是異方差的來源，加入跳躍變量能解釋短期利率的突變行為。

因此，GARCHLJ既能捕獲利率的連續(xù)變化又能刻畫其非連續(xù)的變化，是此類中最優(yōu)的。這樣利率理論均值為2.2105，回復(fù)速度0.0823，每年大約發(fā)生9.0500次突變行為。

4.蒙特卡羅模擬及樣本外預(yù)測

一個模型是否有廣泛的適應(yīng)性，要看它能否刻畫數(shù)據(jù)的典型特征，下面用蒙特卡羅模擬方法考察模型對數(shù)據(jù)尖峰、厚尾特征的刻畫能力，同時考察模型的樣本外預(yù)測能力。

利率初始值從原始利率的前20個中隨機(jī)抽取，以減少對初始值的依賴。由擬合的GARCHLJ模型重復(fù)模擬5 000次生成利率路徑。采用均勻核函數(shù)的核密度估計出峰度和偏度的分布密度，模擬結(jié)果如圖3和圖4所示（陰影是一個標(biāo)準(zhǔn)差范圍，其間實線是利率數(shù)據(jù)的峰度和偏度值）。

峰度值的模擬結(jié)果集中在均值周圍，峰度的方差較大，標(biāo)準(zhǔn)差10.8884，均值15.7488，實際峰度值為17.3048，位于模擬結(jié)果的一個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。偏度分布較分散，標(biāo)準(zhǔn)差1.3821，均值為2.6344，利率實際偏度3.0343，同樣位于模擬值的一個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。表明模型對數(shù)據(jù)峰度和偏度刻畫能力較強(qiáng)。

模型一步預(yù)測采用如下方法：對容量為 985的整體來說，先用前970個估計模型，然后用估計的模型對第971個數(shù)據(jù)預(yù)測，用同樣的方法分別對其余數(shù)據(jù)估計新模型并預(yù)測，結(jié)果表明，預(yù)測值的標(biāo)準(zhǔn)差

0.6595，均值為3.2673，真實值標(biāo)準(zhǔn)差為0.6124，均值為3.3555。預(yù)測值有60%在一個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，表明模型有較強(qiáng)的預(yù)測能力。

四、結(jié) 論

我國貨幣政策基本已經(jīng)從直接調(diào)控轉(zhuǎn)變?yōu)殚g接調(diào)控，面對日益復(fù)雜的國內(nèi)外經(jīng)濟(jì)形勢，非常規(guī)的貨幣政策對利率的形成和傳導(dǎo)產(chǎn)生著重大影響。特別是股市的崩盤、金融危機(jī)爆發(fā)、貨幣政策的實施引發(fā)了利率市場中出現(xiàn)非連續(xù)的跳躍行為，同時我國利率數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的波動集簇現(xiàn)象，這又說明其波動可能含有水平效應(yīng)。常規(guī)異方差模型可以有效地刻畫金融市場中連續(xù)性波動的時變特征，但難以捕獲時間序列中間斷的跳躍性波動和波動的水平效應(yīng)。因此，本文以具有代表性的同業(yè)拆借利率為研究對象，從波動率建模的角度構(gòu)建了含有水平效應(yīng)、泊松跳躍項的GARCHLJ異方差短期利率模型。

研究認(rèn)為，只用ARMA模型完全不能消除異方差，GARCH模型能夠部分消除異方差，但不能刻畫利率波動的水平效應(yīng)。GARCHL模型兼顧了GARCH的特點并刻畫了波動的水平效應(yīng)，但是擬合效果不如GARCHLJ模型好，原因在于最優(yōu)GARCHLJ中跳變量捕獲了利率的不連續(xù)行為，而這種不連續(xù)性恰恰是異方差的來源之一。GARCHLJ模型對我國短期利率數(shù)據(jù)擬合較好、能夠反映利率數(shù)據(jù)的尖峰后尾性，有較強(qiáng)的預(yù)測能力。本文構(gòu)建的GARCHLJ模型能較好地刻畫我國短期利率的動態(tài)行為、捕獲其演化特征，這不僅有助于更好地把握我國利率變化的規(guī)律，為風(fēng)險管理和利率市場化的深度改革提供參考，而且模型能直接應(yīng)用于衍生產(chǎn)品的定價中，得到更加精確的資產(chǎn)價格，從而為金融衍生品創(chuàng)新與資產(chǎn)定價提供新依據(jù)。

參考文獻(xiàn)：

[1] Chan， K C.， Karoli，G A.， Longstaff，F(xiàn).A.，Saunders，A.B. An Empirical Comparison of Alternative Models of the Short Term Interest Rate[J].The Journal of Finance， 1992，47（3）：1209-1227.

[2] Bali，T.G. Modeling the Stochastic Behavior of Short-Term Interest Rate： Pricing Implications for Discount Bonds[J]. Journal of Banking and Finance， 2003，27（2）：201-228.

[3] Johannes，M.The Statistical and Economic Role of Jumps in Time Interest Rate Models[J].The Journal of Finance， 2004，59（1）：227-260.

[4] Dahlquist，M.On Alternative Interest Rate Processes[J] . Journal of Banking and Finance， 1996，20（6）：1093-1119.

[5] Bali， T.G.，Wu，L.R.A Comprehensive Analysis of the Short-Term Interest-Rate Dynamics[J]. Journal of Banking and Finance，2006，30（1）：1269-1290.

[6] Sanjiv， R.D.The Surprise Element： Jumps in Interest Rates [J].Journal of Econometrics， 2002，106（1）：27-65.

[7] Tugba，D.Forecasting Overnight Interest Rates Volatility with Asymmetric GARCH Models[J]. Journal of Applied Finance and Banking， 2012， 6（2）：151-162.

[8] 鄭堯天，杜子平.EGARCH模型在同業(yè)拆借利率預(yù)測中的應(yīng)用[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報 （自然科學(xué)版），2007，（2）：31-36.

[9] 劉鳳琴，戈曉菲.利率跳躍擴(kuò)散模型的理論估計與蒙特卡羅模擬檢驗[J].管理工程學(xué)報，2009，（4）：91-95.

[10] 潘婉彬，陶利斌，繆柏其. 中國銀行間拆借利率擴(kuò)散模型的極大似然估計[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理，2007，（1）：158-163.

[11] 趙靜嫻，詹原瑞.CKLS 框架下短期利率模型的比較分析[J]. 山西財經(jīng)大學(xué)學(xué)報，2007，（4）：33-37.

[12] 劉薇，范龍振.基于CKLS模型的銀行間與上交所債券市場國債回購利率行為的比較分析[J].預(yù)測，2006，（2）：54-58.

[13] 陳輝，謝赤.包含Jump-Arch過程的利率模型及其應(yīng)用[J].管理科學(xué)學(xué)報，2008，（2）：80-90.

[14] 周生寶，王雪標(biāo)，郭俊芳. 基于含異方差的CKLS模型的利率特征研究[J].科技管理研究，2013，（2）：218-223.

（責(zé)任編輯：孟 耀）