王 娟田玲玲趙 旭

（1.陜西師范大學(xué)商學(xué)院, 陜西 西安 710119；2.陜西師范大學(xué)數(shù)科院, 陜西 西安 710119）

創(chuàng)意平板折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)

王 娟1田玲玲2趙 旭2

（1.陜西師范大學(xué)商學(xué)院, 陜西 西安 710119；2.陜西師范大學(xué)數(shù)科院, 陜西 西安 710119）

文章研究了平板折疊桌動態(tài)變化過程的問題.分別利用空間幾何、整合和轉(zhuǎn)化的思想,建立以鋼筋在桌腿開槽中滑動的空間曲線方程模型和以桌腿長度為決策變量,用材最少為目標(biāo)函數(shù),穩(wěn)固性良好及加工方便為約束條件建立單目標(biāo)線性規(guī)劃模型,結(jié)合 MATLAB軟件求解最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，并用LINGO和MATHEMATICS軟件解出當(dāng)桌高為70cm，桌面直徑是80cm時(shí)最優(yōu)加工參數(shù)，推廣了桌面邊緣線為橢圓時(shí)的最優(yōu)加工參數(shù)。

空間的思想；空間曲線方程模型；整合、轉(zhuǎn)化思想；單目標(biāo)線性優(yōu)化模型

1 引言

本文研究的是2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題[1]。隨著人口數(shù)量的逐年增長，有限的空間資源越來越寶貴，因此對于既能滿足生活及審美需要又能節(jié)省空間產(chǎn)品的探究有著深遠(yuǎn)意義。

某公司生產(chǎn)一種折疊桌，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度[2]。問題一，給定長方形平板尺寸為120cm×50cm× 3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。建立數(shù)學(xué)模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，給出此折疊桌的桌腿木條開槽的長度設(shè)計(jì)加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述.問題二，在保證折疊桌穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少的前提下，對于桌高70cm，桌面直徑80 cm的情形，討論長方形平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。問題三，根據(jù)所建模型當(dāng)客戶任意設(shè)定折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，以橢圓為例給出最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

2 模型建立與求解

2.1 折疊桌動態(tài)變化的幾何模型

首先討論折疊桌的動態(tài)變化過程，將其中的一個(gè)三角形抽象出來進(jìn)行分析，分別以第i、i+1根桌腿從桌子邊緣到鋼筋的長度以及第i和i+1根桌腿之差，即ai、ai+1和bi+1為三角形的三條邊。此時(shí)的角度αi+1是指桌子在撐開過程中第i+1根桌腿與桌面的夾角。每根桌腿與桌面之間的夾角 αi+1與鋼筋所在位置的關(guān)系可表示如下：

圖1 三角形示意圖

由此建立平板折疊桌每根桌腿中鋼筋位置距桌面邊緣距離隨著每根桌腿與桌面之間夾角的變化的空間曲線方程模型：

根據(jù)遞推的原理可求得其余的桌腿中鋼筋位置距桌面邊緣的距離隨角度變化的動態(tài)過程。

將平板劃分為四個(gè)對稱的區(qū)域[3]，只需計(jì)算出其中一個(gè)區(qū)域的十條桌腿長度即可。以下為桌子折疊前的示意圖：

圖2 平板折疊邊桌折疊前的示意圖

圖 2中，在Rt△ABC中，AB的長度為圓的半徑r，即AB=AF=r=25cm，CF的長度為桌腿寬的一半，即 CF=1.25cm，由勾股定理有=7.8062cm。

由幾何關(guān)系可得最長桌腿的長度l0為平板長度a的一半與 BC的差值，即= 52.1938cm。

以此類推，可依次求得最長到最短10根桌腿長度為

其中，li為第i根桌腿的長度，d為桌腿的寬。

從而相鄰兩條桌腿之差為

由相似三角形的性質(zhì)得桌子折疊后高度為桌子撐開時(shí)垂直高度的一半，即h/2，又鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上且與桌面形成線面平行，故由勾股定理有

式中，ib∑ 表示該開槽所在桌腳與最長桌腳的長度差值。

通過如上討論和分析得到桌子在完全撐開后該模型可表示如下：

此時(shí)桌腿與桌面之間的夾角是一個(gè)定值，在計(jì)算最長桌腿與水平面的夾角時(shí)可先計(jì)算其與豎直方向的夾角，再加上90°即為所求角度，如下圖：

圖3 桌腿與桌面之間夾角示意圖

由以上模型結(jié)合MATLAB軟件[4]求解出相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

表1 十根桌腿的相關(guān)結(jié)果

以鋼筋與桌子邊緣交點(diǎn)O為原點(diǎn)，鋼筋所在豎直面為xOy面，平行于平板寬的方向?yàn)閤軸，平板長的方向?yàn)閥軸，垂直于平板的方向?yàn)閦軸，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖：

圖4 折疊桌動態(tài)變化的坐標(biāo)系

將每個(gè)桌腿開槽相對于鋼筋的運(yùn)動分解為兩個(gè)方向的運(yùn)動，一個(gè)方向是在xOy平面上的上下移動，如圖中點(diǎn)a、b、c、d、e、f、g、h、i、j平移到點(diǎn)a*、b*、c*、d*、e*、f*、g*、h*、i*、j*所在位置的過程，上下移動的距離即為每個(gè)木板上開槽的長度; 另一方向是桌腳在yOz平面上以a*、b*、c*、d*、e*、f*、g*、h*、i*、j*位置的點(diǎn)為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度就是桌子完全立起來時(shí)每個(gè)桌腿與豎直方向的夾角.可得桌腳邊緣線是由鋼筋的運(yùn)動曲線在y軸方向上平移最長桌腿長度的一半得到的.最終形成的曲線在xOy平面上的投影曲線中各點(diǎn)的橫坐標(biāo)即每個(gè)桌腿寬度的中點(diǎn)距桌子邊緣的距離，即

豎坐標(biāo)為桌子撐開時(shí)鋼筋所在位置到桌子邊緣的距離在豎直方向上的投影，即 z=aisinθ，其中，θ指桌子撐開時(shí)桌腿與水平面的夾角.代入在上述幾何模型中求得的數(shù)值運(yùn)用MATLAB軟件進(jìn)行曲線擬合可得參數(shù)方程：

其中，t為離散變量，取值1,2,3,…,10。

用 MATLAB軟件對三個(gè)參數(shù)方程分別進(jìn)行曲線擬合如下[5]：

圖5 x的擬合曲線

圖6 y的擬合曲線

圖7 z的擬合曲線

三次擬合的可決系數(shù)分別為1、0.9986和0.9998，說明擬合度很好。由此可得，從長到短十根桌腳的桌腳邊緣線的方程為：

用 MATLAB 軟件畫出桌子撐開時(shí)其中從長到短十根桌腿的桌角邊緣線在空間中的圖像如下：

圖8 桌子撐開后桌腳邊緣線在空間中的分布圖

圖8中，曲線上的點(diǎn)距離xOy平面越來越遠(yuǎn)，說明隨著桌腿從長到短，開槽長度越來越長，鋼筋在該開槽里的運(yùn)動軌跡越長。

2.2 對于給定的設(shè)計(jì)要求確定最優(yōu)加工參數(shù)

根據(jù)物理知識分析可得當(dāng)桌面與桌子的四條腿連線正方形相切時(shí)為桌子的穩(wěn)固性臨界態(tài)，且由幾何知識得，此時(shí)桌子在給定高度和半徑的前提下所用材料最少。

通過以上分析和討論可建立以桌腿長度為決策變量，使用材料最少為目標(biāo)函數(shù)的單目標(biāo)線性規(guī)劃模型[6]，其中，約束條件有兩類：一類是穩(wěn)固性的約束；另一類是開槽長度的約束[7]，所建模型如下：

目標(biāo)函數(shù)： min z =80× 2 (l0+n)×3.

約束條件：

其中，z表示長方形平板的體積，n為桌面半徑與第 1根桌腿的插值長度，λ為鋼筋距底端占整條卓腿長的比例，是穩(wěn)固性臨界狀態(tài)下支撐腿的長度。

運(yùn)用LINGO軟件解得：長方形平板尺寸為169.8457cm× 80cm×3cm，z=82005.94cm3，＝72.43285cm。

而臨界狀態(tài)下不是最優(yōu)解，最優(yōu)解為

假設(shè)鋼筋的位置在從底端起占整條桌腿長比例為λ處，分別以支撐腿、相鄰桌腿從桌子邊緣到鋼筋的長度和這兩根桌腿之差，即hλ、l0λ和b1為三角形的三條邊作出下圖：

圖9 支撐腿與其相鄰桌腿之間的關(guān)系圖

根據(jù)余弦定理，得

運(yùn)用 MATHEMATICS 軟件求解得：λ＝0.7748。求得開槽長度xi，結(jié)果見下表：

表2 十根桌腿的數(shù)據(jù)結(jié)果

2.3 對于任意的設(shè)計(jì)要求確定最優(yōu)加工參數(shù)

在桌子未撐開時(shí)，以矩形材料的中心為原點(diǎn)、水平面為xOy面、豎直方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系。從yOz平面的方向看，對于最長的桌腿l0而言，有.

桌子完全展開后鋼筋在開槽中的位置與桌面邊緣線的距離可分解為橫軸、縱軸和豎軸三個(gè)方向上的距離可表示為空間曲線方程模型如下：

在用戶給定桌子的高度、厚度及桌面邊緣線的形狀的情況下，將這些參數(shù)代入模型即可求得桌子撐開時(shí)鋼筋與桌面邊緣線的距離ai，即

根據(jù)空間曲線方程模型，設(shè)計(jì)桌面邊緣線的形狀為橢圓，其中橢圓的長短軸分別120cm和90cm，桌子高度為100cm。運(yùn)用 MATLAB軟件作出桌面邊緣線為橢圓時(shí)桌子撐開的動態(tài)變化圖如下[8]：

圖10 橢圓第一階段圖

圖11 橢圓第二階段圖

圖12 橢圓第三階段圖

圖13 橢圓第四階段圖

運(yùn)用 MATLAB 軟件計(jì)算桌腿上的開槽長度分別為：(單位：cm)0.0107、0.0451、0.1115、0.2290、0.4399、0.8381、1.5948、2.8701、4.6657、6.9128、9.5781、12.6694、16.2243、20.3083、25.0235、30.5308、37.1024、45.2677和56.3817。

3 評價(jià)與推廣

參數(shù)計(jì)算通過計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，減少了計(jì)算的復(fù)雜度，提高了結(jié)果的科學(xué)性。根據(jù)杠桿原理并結(jié)合生活常識分析折疊桌的穩(wěn)固性，并將其量化成最長桌腿的桌腳間距離與桌面半徑之間的等量關(guān)系，使穩(wěn)固性這一抽象概念更加具體。但該模型在對折疊桌的穩(wěn)固性進(jìn)行分析時(shí)，只考慮最外側(cè)四條桌腿對穩(wěn)固性的影響，并未考慮其它桌腿對穩(wěn)固性的影響，結(jié)果不具有普遍性。

該模型可推廣至平面設(shè)計(jì)、城市規(guī)劃等領(lǐng)域中，相關(guān)圓形、橢圓桌面各參數(shù)的討論也可以應(yīng)用于分析桌面為正多邊形或不規(guī)則多邊形時(shí)各參數(shù)的變化情況。

[1] 中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會.2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽[EB/OL].http://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/93b5f5d 9986693c2ebd67962cdc7d9df.html,2014-9-12/2010-09-12.

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[4] 馬明書,孟燕玲,朱霖霖.三維拋物型方程的一個(gè)高精度恒穩(wěn)定的 PC格式[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,25(3): 459-463.

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The optimum design of creative flat folding table

This paper studies the question about the dynamic change process of the flat folding table. By using the space geometry, integration and transformation, respectively, establish a space curve equation of the model that the steel slides in the table leg slot, and single objective linear programming model with table leg length as decision variables, material minimum as objective function, good stability and easy processing as constraints,combining with the MATLAB software to solve design processing parameters and LINGO、MATHEMATICS soft wares to work out the optimal processing parameters when the high table is for 70 centimeters and the desktop is a diameter of 80 centimeters. Promote the optimal processing parameters when the desktop edge line is ellipse.

The idea of space;space curve equation model; integration、transformation of ideas; single objective linear optimization model

O29

A

1008-1151(2015)02-0118-04

2015-01-13

王娟（1993－），女，內(nèi)蒙古呼和浩特人，陜西師范大學(xué)2012級本科生，研究方向?yàn)樨?cái)務(wù)管理。