江姍姍 高佳慧 陳世立 李文聰 黃 輝

（廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)，廣東 廣州 510320）

Jiang Shanshan Gao Jiahui Chen Shili Li Wencong Huang Hui

(Guangdong University of Finance and Economics，Guangzhou Guangdong 510320)

隨著社會的發(fā)展，城市化進(jìn)程加快，用地日趨緊張，空間擁擠問題逐漸顯現(xiàn)?？臻g節(jié)約型家具逐漸受到人們的青睞。從家具領(lǐng)導(dǎo)企業(yè)宜家公司（IKEA）提出的“small space living（巧用空間）”的設(shè)計(jì)理念可以看出，節(jié)約空間型的創(chuàng)意家具有著廣闊的市場前景。此外，隨著個(gè)性化的裝修風(fēng)格逐漸受到人們的熱捧，定制型家具也順勢成為一種時(shí)尚潮流。

2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的B題是關(guān)于平板折疊桌的創(chuàng)意設(shè)計(jì)問題［1］。該題的研究原型來源于Robert van Embricqs設(shè)計(jì)的創(chuàng)意組合折疊餐桌［2］。本文就是在此題的基礎(chǔ)上，對折疊桌的加工參數(shù)進(jìn)行進(jìn)一步分析，同時(shí)考慮穩(wěn)固性和加工方便等因素，建立符合實(shí)際生產(chǎn)的定制家具設(shè)計(jì)模型。

1 研究思路

現(xiàn)有一款創(chuàng)意平板折疊桌，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板（圖1）。平板尺寸為120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條的空槽來保證滑動的自由度。

圖1 平板折疊桌動態(tài)變化圖

本文以此平板折疊桌為研究對象，有如下問題需要解決：

①建立模型描述此折疊桌的動態(tài)變化過程，給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述，便于參數(shù)設(shè)計(jì)。

②考慮穩(wěn)固性、加工方便等因素，討論符合折疊桌實(shí)際生產(chǎn)的最優(yōu)加工參數(shù)。

③為打開定制家具的市場，迎合不同客戶需求。根據(jù)客戶要求的折疊桌類型，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

2 創(chuàng)意折疊桌參數(shù)及加工的建模分析

2.1 模型假設(shè)

①假設(shè)折疊時(shí)鋼筋緊貼開槽底端，平鋪時(shí)鋼筋緊貼開槽頂端；

②假設(shè)主要受力的是最外側(cè)的四根桌腿，忽略其他內(nèi)側(cè)桌腿的受力情況；

③假設(shè)木條與圓桌面之間的交接處無間隙；

④假設(shè)不考慮木條之間的摩擦力。

2.2 模型的建立及求解

2.2.1 給定平板尺寸時(shí)的折疊桌參數(shù)計(jì)算

2.2.1.1 模型準(zhǔn)備

Step1.求桌腿長度

圖2 平板簡圖

根據(jù)平板尺寸及木條寬度，該折疊桌由20根木條組成。由于對稱性，以木條KI為例，取圓弧 的中點(diǎn)F到L點(diǎn)的長度為該桌腿的長度。由勾股定理，可以求得組成桌腿的每一段木條的長度。

根據(jù)所得數(shù)據(jù)，利用Excel對木條長度作圖得示意圖（圖3）：

圖3 長板組成圖

Step2.運(yùn)用三角函數(shù)［2］求最外側(cè)桌腿的旋轉(zhuǎn)角度

下面以最外側(cè)桌腿為例，簡圖如圖3所示，

假設(shè)OA為最外側(cè)桌腿，在平板折疊為桌子的過程中，木條從OA運(yùn)動到O，旋轉(zhuǎn)的角度為∠AO。

由Step1.可以知道OA的長度，又因?yàn)樽雷痈?3cm，每根木頭厚3cm，則地面到桌子下沿的高度為50cm，即桌子的實(shí)際高度為50cm，即OH=50cm，由反三角函數(shù)公式：

Step3.求各木條旋轉(zhuǎn)角度

由于鋼筋穿過每一根木條，因此最終狀態(tài)時(shí)所有的木條都必定垂直通過鋼筋所在的平行線。每一根桌角木條的旋轉(zhuǎn)中心已知，因此可以通過旋轉(zhuǎn)中心以及穿過的鋼筋所在平行線的點(diǎn)求出每一根木條的旋轉(zhuǎn)角度。設(shè)xi為第i根桌腿木條的鋼筋穿過點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)原點(diǎn)之間的水平位移，傾斜角為θ，此時(shí)，

據(jù)以上公式，分別求得20根木條運(yùn)動劃過的角度為θ1，θ2，…，θ20

表1 20根木條運(yùn)動的角度

2.2.1.2 模型建立與求解

以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，過A點(diǎn)作垂直于面ABCD的直線作為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖4所示：

圖4 三維坐標(biāo)系

以每一根木條的折點(diǎn)作為圓心，在坐標(biāo)系上作每一根木條末端點(diǎn)的運(yùn)動軌跡方程如下：

運(yùn)用MATLAB軟件對以上方程進(jìn)行擬合，得木條的運(yùn)動軌跡曲面，如圖5所示。

圖5 木條運(yùn)動軌跡圖

由于開槽是為使得折疊桌靈活展開而設(shè)計(jì)的［3］，桌面未打開時(shí)鋼筋處于開槽的（最接近桌面中心）最上端；桌面完全打開后，鋼筋處于開槽的最下端。

圖6 創(chuàng)意折疊桌圖

由于鋼筋MM′的位置是固定不變的，因而，每根木條的鋼筋點(diǎn)位置到折點(diǎn)（圓心）的垂直距離都是相等的。圖中B點(diǎn)為鋼筋運(yùn)動的終態(tài)位置，假設(shè)鋼筋運(yùn)動的始態(tài)位置在G點(diǎn)，則由以下算式：

開槽長度=終態(tài)鋼筋所處位置-始態(tài)鋼筋所處位置

表2 木條的開槽長度

以桌面左上角為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸正方向，AD方向?yàn)閥軸正方向，垂直地面向上為z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。然后進(jìn)行三維空間中的桌角邊緣線曲線擬合，用MATLAB加以實(shí)現(xiàn)，得到該擬合曲線所在曲面（圖7）。對該曲面進(jìn)行XOZ平面上的投影。

圖7 桌腳邊緣線擬合曲面1

圖8 桌腳邊緣線擬合曲面2

此時(shí)決定系數(shù)R2=1，說明所有的點(diǎn)都在該曲面上。對XOZ平面上的投影進(jìn)行曲線擬合得到圖8，此時(shí)決定系數(shù)為0.999，擬合效果良好。

因此，該桌腳邊緣線的表達(dá)式為：

2.2.2 最優(yōu)參數(shù)設(shè)計(jì)模型的建模及求解

根據(jù)與家具生產(chǎn)商的交流溝通以及物理的相關(guān)知識，只要桌子重心不超過桌角所圍成的矩形區(qū)域，桌子就不會翻倒。本文以桌子四腳與地面圍成的矩形面積大于桌子的面積為約束條件：

為避免開槽的長度長于桌腳長度，設(shè)置約束條件為：

建立最終的線性規(guī)劃模型：

目標(biāo)函數(shù)：minF（θ）=Rmax×2

當(dāng)R=40，h=70時(shí)，求該線性規(guī)劃的最優(yōu)解為θ=29.8°，，則有

①桌子長度L=80.67×2=161.3

②鋼筋位置為最外側(cè)桌腿的中點(diǎn)；

2.2.3 定制型模型展示

2.2.3.1 菱形折疊桌

假設(shè)該菱形折疊桌要求的桌高為70cm，對角線的長度為80cm。根據(jù)原來的模型求得，需要153.8×80×3cm的長板來進(jìn)行設(shè)計(jì)。

圖9 菱形折疊桌簡圖

圖10 菱形折疊桌動態(tài)圖

根據(jù)給定尺寸以及幾何分析可以得到每根桌腿的長度以及運(yùn)動軌跡方程，根據(jù)相似三角形的原理可以求得菱形的桌腿長度。為了更好地展示該折疊桌的運(yùn)動過程，本文運(yùn)用MATLAB軟件對此加以實(shí)現(xiàn)，得到相應(yīng)的動態(tài)圖如圖10所示：

2.2.3.2 心形折疊桌

假設(shè)客戶要求定制的心形的桌子高度為50cm，木板的尺寸保持原尺寸不變，計(jì)算原理同上，假設(shè)心形折疊桌的桌面簡圖如圖11所示：

圖11 心形折疊桌的桌面簡圖

根據(jù)規(guī)劃模型進(jìn)行求解，并運(yùn)用MATLAB軟件對此過程加以實(shí)現(xiàn)，得到相應(yīng)的動態(tài)圖如圖12所示：

3 模型改進(jìn)

在初步的制造過程中我們發(fā)現(xiàn)該設(shè)計(jì)存在不小的缺陷。當(dāng)桌子承受的壓力過大時(shí)，桌腳與地面的摩擦力會小于水平方向上的分力，導(dǎo)致桌子有展開的趨勢。

為了解決此問題，我們在原設(shè)計(jì)上進(jìn)行了改進(jìn)，在連接處加了四根可動的鋼條固定，經(jīng)實(shí)際測試著實(shí)能大大提高最大承受壓力。

目前，本文所研究的創(chuàng)意平板折疊桌投入生產(chǎn)，生產(chǎn)制造出的桌子如圖13所示。

圖12 心形折疊桌動態(tài)圖

圖13 實(shí)物展示圖

［1］2014高教杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題http：//www.mcm.edu.cn/htm l_cn/node/93b5f5d9986693c2ebd67962cdc7d9df.htm l

［2］中國設(shè)計(jì)之窗 http：//www.333cn.com/industrial/sjxs/133003.html

［3］劉錫良.現(xiàn)代空間結(jié)構(gòu)［M］.天津：天津大學(xué)出版社，2003.