周梅++王新

非球面透鏡在國防、航空、光學(xué)儀器及汽車等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，其加工和檢測都離不開精確的三維模型。本文針對某特殊的非球面透鏡，研究了其壓型坐標(biāo)方程，提出了一種新的建模思路，并基于SolidWorks平臺開發(fā)了非球面透鏡曲面自動建模軟件。經(jīng)過驗(yàn)證，新的方法建模精度高，得到的曲面質(zhì)量很好，而且可以容易地推廣到其他類型的非球面透鏡建摸中。

一、引言

非球面光學(xué)元件，是指面形由多項(xiàng)高次方程決定、面形上各點(diǎn)的半徑均不相同的光學(xué)元件。一般應(yīng)用在光學(xué)系統(tǒng)中的透鏡及反射鏡，曲面型式多數(shù)為平面和球面，原因是這些簡單型式的曲面加工、檢驗(yàn)容易，但是用在某些高度精密成像系統(tǒng)有一定的限度。雖然非球面的復(fù)雜曲面制造困難，但在某些光學(xué)系統(tǒng)中依然是需要的。采用非球面技術(shù)設(shè)計(jì)的光學(xué)系統(tǒng)，可消除球差、慧差、像散和場曲，減少光能損失，從而獲得高質(zhì)量的圖像效果和高品質(zhì)的光學(xué)特性。

然而，非球面透鏡的精密加工無論是單點(diǎn)金剛石切削、五軸數(shù)控加工還是模壓成型，都需要通過已知透鏡曲面方程，建立精確的非球面透鏡三維模型（至少需要型面上的空間曲線），這也是很多企業(yè)面臨的難題。

目前常規(guī)的建立非球面透鏡曲面三維模型的思路如下。

（l）通過曲面方程，計(jì)算出大量的散點(diǎn)。

（2）通過散點(diǎn)構(gòu)建特征曲線。

（3）通過曲線構(gòu)建曲面。

也有直接通過散點(diǎn)擬合曲面的方法。但是我們發(fā)現(xiàn)，無論是先生成特征曲線，再生成曲面模型，還是直接通過散點(diǎn)擬合曲面模型，存在的問題都非常明顯。

（l）雖然計(jì)算過程比較簡單，只要代入一系列數(shù)據(jù)，即可計(jì)算出散點(diǎn)。但是通過散點(diǎn)構(gòu)建曲面是一個比較復(fù)雜的過程，一般需要用到一些逆向工程軟件，或者進(jìn)行手工處理。因此，生成的曲面質(zhì)量較難保證。

（2）建模過程需要大量的人工干預(yù)，效率低下，并且很難自動化。

針對一些更為特殊的非球面透鏡方程，上述方法的局限性就更加明顯。如何能夠提高效率，如何實(shí)現(xiàn)自動建模，是擺在整個行業(yè)面前的問題。本文以某車大燈用非球面透鏡為例，首先分析了該非球面曲面方程的特點(diǎn)，提出了新的建模思路，并基于SolidWorks進(jìn)行了二次開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了非球面透鏡曲面的自動建模。實(shí)踐證明，該方法行之有效，建模精度高，完全滿足實(shí)際加工的需要。

二、某車用大燈非球面透鏡曲面方程

此車用大燈非球面透鏡圖樣如圖1所示。

該非球面透鏡壓型坐標(biāo)方程不是常見的非球面方程，具體如下（因頁面所限，方程省略了后續(xù)高次項(xiàng)）。

式中，；方程中的坐標(biāo)方向如圖1所示。

從方程可以看出，該透鏡以y=0分界，上下兩部分方程系數(shù)不同，也就是說透鏡上下兩部分并不對稱，按照常規(guī)的非球面標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行建模的方法無法完成這個案例。因此我們必須尋求新的方法建立此透鏡的精確模型，以便于后續(xù)進(jìn)行壓型模具的設(shè)計(jì)。

三、建模思路的討論

采取代人大量數(shù)值，形成點(diǎn)云，并通過點(diǎn)云構(gòu)建曲面的方法并不可取，首先這個型面坐標(biāo)以y=0分成了上下兩部分，如果采取點(diǎn)云構(gòu)建曲面，必然帶來上下兩個曲面的平滑過渡和拼接問題，這會嚴(yán)重影響模型的質(zhì)量。其次，通過點(diǎn)云生成曲面本身的誤差也很大，我們很難控制點(diǎn)云生成曲面的精度。

反復(fù)思考，我們認(rèn)為根據(jù)方程首先生成一系列曲線，然后根據(jù)曲線放樣得到曲面，應(yīng)該是很好的思路。放樣操作獲得的曲面精度很高，連續(xù)性也能夠滿足要求，如果精度不夠，還可以通過增加曲線數(shù)量的方法來提高曲面的精度。這里的關(guān)鍵問題是如何獲得合適的曲線，手工拼接曲線是不可取的，這些曲線必須光滑連續(xù)，還要能夠滿足壓型坐標(biāo)方程。

該透鏡的曲面方程，實(shí)際上是對標(biāo)準(zhǔn)非球面透鏡方程的一種變形。變量p，實(shí)際上就是透鏡的孔徑r，并且有：。因此，我們可以將笛卡爾坐標(biāo)系下的壓型坐標(biāo)方程變換到柱坐標(biāo)系下。

對于給定的r，可以根據(jù)上面的方程得到唯一的一條曲線。該曲線，實(shí)際上就是垂直于XOY平面，半徑為r的圓柱面與非球面透鏡表面的交線。該交線在XOY平面上投影為一個圓，但Z向高度卻是周期性波動的，波動幅度由壓型坐標(biāo)方程系數(shù)所決定。因此整個非球面透鏡不是一個回轉(zhuǎn)體，用旋轉(zhuǎn)方法無法得到其精確模型。

根據(jù)上述討論，我們確定了建模的思路：只要根據(jù)透鏡的直徑尺寸，從小到大，給出若干個r，就可以獲得若干條曲線，然后進(jìn)一步使用這些曲線進(jìn)行放樣，即可獲得透鏡曲面了。

四、自動建模程序開發(fā)

本文基于SolidWorks開發(fā)了這類非球面透鏡的自動建模程序，可以方便的輸入曲面方程的各個參數(shù)，自動插入所需的曲線。插入曲線的數(shù)量和每條曲線的插值點(diǎn)數(shù)都可以用戶輸入，以控制結(jié)果的精度。程序運(yùn)行界面如圖2所示。

根據(jù)用戶輸入的分段數(shù)量，程序?qū)⒆詣哟_定將要插入的曲線數(shù)量以及每條曲線對應(yīng)的半徑r，然后，軟件根據(jù)用戶輸入的方程系數(shù)，計(jì)算每條曲線的散點(diǎn)坐標(biāo)，并調(diào)用SolidWorks API中的InsertC urve方法，自動在SolidWorks創(chuàng)建相對應(yīng)的曲線。

最終，使用自動插入的曲線進(jìn)行放樣，獲得曲面。程序?qū)崿F(xiàn)的效果如圖3所示。

從圖3可以看出，該方法建立的曲面光順性非常好，曲面質(zhì)量也能夠滿足要求。而插入的曲線，還可以直接作為將來進(jìn)行數(shù)控加工的刀路，加工精度也比較容易保證。程序自動生成的曲面曲率連續(xù)性也能夠滿足要求。其檢查圖解如圖4所示。

從曲率檢查圖中可以看到，整個曲面的曲率連續(xù)性是非常不錯的。

對于圖樣上給出的非球面透鏡上的特殊突棱，則可以首先生成完整的曲面，然后將需要調(diào)整的區(qū)域切開，依據(jù)圖樣建立突棱結(jié)構(gòu)，以獲得完整的模型。如圖5所示。

后續(xù)的加工和實(shí)物測試表明：本文所述的方法，完全能夠滿足該非球面透鏡的生產(chǎn)要求，透鏡成品在重量、光學(xué)特性等方面，均達(dá)到要求。

事實(shí)上，本文提出的思路還能夠進(jìn)一步擴(kuò)展到其他類型的非球面透鏡建模中，因?yàn)楸疚乃龅倪@個透鏡，實(shí)際上是一種特殊形式的非球面透鏡。對于一般的非球面形式，稍微變化一下輸入的系數(shù)，就可以滿足不同類型的非球面曲面建模需要了。

五、結(jié)語

本文通過對某汽車大燈非球面透鏡壓型坐標(biāo)公式的研究，提出了新的建模思路，并基于SolidWorks開發(fā)了配套的自動建模程序。經(jīng)過實(shí)際檢驗(yàn)，證明該建模思路及方法完全能夠滿足這類特殊非球面透鏡的加工要求。通過這一方法，大大縮短了非球面透鏡的建模時間，并且提高了模型的精度，為后續(xù)開展透鏡的溫度場及熱變形分析，透鏡數(shù)控加工等提供了精確的模型基礎(chǔ)。

未來，該方法還可用于其他類型的非球面透鏡建模中，在現(xiàn)有程序的基礎(chǔ)上，添加幾個頁面，能夠輸入不同類型的非球面方程系數(shù)，即可成為適應(yīng)性更廣的非球面透鏡自動建模插件，從而大大提高建模效率和模型精度。