蒙世奎

（廣西民族大學(xué)理學(xué)院，廣西　南寧　530006）

蒙世奎

（廣西民族大學(xué)理學(xué)院，廣西南寧530006）

該證法推導(dǎo)簡(jiǎn)單明了，容易理解.此外，筆者還改進(jìn)了傳統(tǒng)的二項(xiàng)式展開(kāi)法.重要極限；比值法；二項(xiàng)式展開(kāi)法

0　引言

數(shù)列

極限的存在證明，在微積分課程教學(xué)中總難以回避.目前主要流行兩種方法：二項(xiàng)式展開(kāi)法和冪差不等式法.20世紀(jì)五六十年代國(guó)內(nèi)所用《數(shù)學(xué)分析》教材[1－2]多采用“二項(xiàng)式展開(kāi)法”證明.20世紀(jì)70年代有國(guó)外期刊給出“冪差不等式法”后，國(guó)內(nèi)也出現(xiàn)采用這種方法證明的《數(shù)學(xué)分析》教材[3].

當(dāng)b＞a＞0時(shí)，由bn＋1－an＋1＝（b－a）（bn＋bn－1a＋…＋an）容易得到

利用不等式（2）證明數(shù)列（1）極限存在的過(guò)程詳見(jiàn)文[3].證明中通過(guò)給a，b選取適當(dāng)?shù)闹刀@得｛an｝單調(diào)遞增有上界的結(jié)論.推導(dǎo)過(guò)程跳躍性比較大，技巧性也比較強(qiáng)，有一定的先驗(yàn)性，課堂上學(xué)生不易捕捉其相應(yīng)思路.

“二項(xiàng)式展開(kāi)法”是既經(jīng)典又傳統(tǒng)的方法.由于涉及前N項(xiàng)和的計(jì)算，對(duì)于還沒(méi)有級(jí)數(shù)運(yùn)算概念的讀者，理解上存在比較大的障礙.在課程教學(xué)中要解說(shuō)清楚，需做許多附帶說(shuō)明.這恐怕也是尋找其他證明方法的原因.筆者在教學(xué)中為避開(kāi)以上難點(diǎn)，給出“比值法”的證明方法，即利用不等式

對(duì)相關(guān)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的“比值”進(jìn)行討論，從而確定其“單調(diào)性”.利用不等式（3）也可以對(duì)傳統(tǒng)的“二項(xiàng)式展開(kāi)法”做某些改進(jìn).

1　比值法

在初等數(shù)學(xué)中比較兩個(gè)正數(shù)的大小，常用的比較簡(jiǎn)單的方法是：一是通過(guò)這兩個(gè)數(shù)的差大于（或小于）0確定；二是通過(guò)這兩個(gè)正數(shù)的比大于（或小于）1確定.下面給出極限（1）存在的“比值法”證明.

證明：先構(gòu)造一個(gè)與數(shù)列（1）密切相關(guān)的數(shù)列｛bn｝：

作比式并整理可得

以上“比值法”證明，只有寥寥幾行算式，十分簡(jiǎn)捷.相關(guān)運(yùn)算多是“二項(xiàng)式相乘”或簡(jiǎn)單的因式分解.對(duì)具有中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的讀者應(yīng)該沒(méi)有困難.教學(xué)內(nèi)容經(jīng)這樣處理，線索清楚，容易引導(dǎo)學(xué)生同步思考，更便于學(xué)生掌握.利用“比值法”及不等式（3），不難證明數(shù)列｛an｝單調(diào)遞增.類(lèi)似地，

所以數(shù)列｛an｝單調(diào)遞增.但要確認(rèn)｛an｝有上界，則不會(huì)像數(shù)列｛bn｝那樣唾手可得.通過(guò)二項(xiàng)式展開(kāi)進(jìn)行估值涉及n個(gè)項(xiàng)的比較討論，確認(rèn)“上界”還需要一定的分析和計(jì)算.如下改進(jìn)“二項(xiàng)式展開(kāi)法”的討論過(guò)程，比較簡(jiǎn)單明了.

2　“二項(xiàng)式展開(kāi)法”的改進(jìn)

證明：根據(jù)不等式（3），由

因此數(shù)列｛an｝單調(diào)遞增.

注1：由數(shù)列｛an｝單調(diào)遞增，數(shù)列｛bn｝單調(diào)遞減，得bn＞e＞an，所以

[1]辛欽著.數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程[M].許寶祿，譯.北京：人民教育出版社，1951.

[2]菲赫金哥爾茨.數(shù)學(xué)分析原理[M].丁壽田，譯.北京：人民教育出版社，1962.

[3]華東師大數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[責(zé)任編輯 蘇 琴]

[責(zé)任校對(duì) 方麗菁]

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A

1673－8462（2015）01－0066－02

2014-10-10.

蒙世奎（1942-），男，廣西民族大學(xué)理學(xué)院副教授，研究方向：微分方程.