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        含多參量無窮積分的一致收斂性及其判別法*

        2015-11-20 02:07:10唐國吉陳向陽
        關(guān)鍵詞:參變量正數(shù)微積分

        唐國吉,陳向陽,裴 楷

        (廣西民族大學(xué)理學(xué)院,廣西 南寧 530006)

        含多參量無窮積分的一致收斂性及其判別法*

        唐國吉,陳向陽,裴 楷

        (廣西民族大學(xué)理學(xué)院,廣西南寧530006)

        引入了含雙參變量的無窮積分一致收斂的概念,并探討了一些判別方法,包括柯西準(zhǔn)則,維爾斯特拉斯M判別法,狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.文章的主要結(jié)果是含單參量無窮積分一致收斂的相應(yīng)結(jié)果的推廣.

        含多參量無窮積分;一致收斂;柯西準(zhǔn)則

        0 引言

        含參量積分是多元積分學(xué)中的重要內(nèi)容.現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析教材[1-3]都討論了此項內(nèi)容.含參量正常積分實質(zhì)上是通過定積分來定義的一個函數(shù),上述數(shù)學(xué)分析教材研究了此類函數(shù)的連續(xù)性、可微性和可積性,這些性質(zhì)保證了積分與取極限,積分與求導(dǎo),積分與積分運算的可交換性.因此,他們在求極限、求導(dǎo)和求積分的一些計算中扮演著重要的作用.近來,文獻(xiàn)[4-5]把含單個參變量的正常積分推廣到含雙參變量的正常Riemann積分和Riemann-Stieltjes積分的情形,獲得了相應(yīng)的結(jié)果.

        含參量非正常積分的討論比正常積分要復(fù)雜得多.現(xiàn)行的處理方法都是通過引入含參量非正常積分的一致收斂的概念,進(jìn)而討論其分析性質(zhì).我們注意到Beta函數(shù):

        是一個含雙參量p和q的非正常積分.遺憾的是,目前的數(shù)學(xué)分析教材卻沒有提到雙參量非正常積分的相關(guān)理論.

        正如郇中丹教授[6]指出的那樣,目前的數(shù)學(xué)分析教材對一元微積分的討論不厭其煩,而多元微積分則顯得相當(dāng)薄弱,這一方面是由于以往認(rèn)為多元微積分是一元的平行推廣,這大概與菲赫金格爾茲的數(shù)學(xué)分析教材的影響有關(guān).然而,無論從數(shù)學(xué)的發(fā)展,還是從實際應(yīng)用以及計算機的使用都要求學(xué)生有較好的多元微積分基礎(chǔ).與一元微積分相比,多元微積分的有關(guān)內(nèi)容的處理還有待深入的研究.與含單參量的積分相類似,含多參量的非正常積分比相應(yīng)的正常積分的討論要更復(fù)雜.探索含多參量的非正常積分的分析性質(zhì)僅僅要求含多參量的非正常積分收斂是不夠的,需要更強的一致收斂的條件.這正是筆者研究的主要動機.

        受以上文獻(xiàn)的啟發(fā),筆者引入了含多參量無窮積分一致收斂的概念,并探討了一致收斂的一些判別法(包含Cauchy準(zhǔn)則、維爾斯特拉斯M判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法).筆者的主要結(jié)果可以看作是含單參量無窮積分一致收斂的相關(guān)結(jié)果的推廣,也為下一步研究含多參量無窮積分的分析性質(zhì)奠定基礎(chǔ).

        1 定義和引理

        為了敘述方便,僅以含雙參量的無窮積分為例展開,對于含3個參量或更一般地,n個參量的無窮積分的相關(guān)結(jié)果,讀者可以毫不費力地得到相關(guān)結(jié)果.

        定義1 設(shè)函數(shù)f(χ,y,z)定義在無界區(qū)域R={(χ,y,z)|a≤χ≤b,c≤y≤d,e≤z<+∞}上,若對每一個固定的(χ,y)∈[a,b]×[c,d],無窮積分

        稱(1)式為定義在[a,b]×[c,d]上的含兩個參量χ和y的無窮積分.

        定義2 若含參變量無窮積分(1)與函數(shù)I(χ,y)對任給的正數(shù)ε,總存在某一實數(shù)N>e,使得當(dāng)M>N時,對一切(χ,y)∈[a,b]×[c,d],都有

        都收斂,則它的值是(χ,y)在[a,b]×[c,d]上取值的函數(shù),當(dāng)記這個函數(shù)為I(χ,y)時,則有

        則稱含參量無窮積分(1)在[a,b]×[c,d]上一致收斂于I(χ,y),或簡單地說含參量積分(1)在[a,b]× [c,d]上一致收斂.

        引理2([1]的定理9.11的推論)設(shè)函數(shù)f在[a,b]上可積,若g為單調(diào)函數(shù),則存在ξ∈[a,b],使得

        2 主要結(jié)果

        定理1(Cauchy準(zhǔn)則)含雙參量的無窮積分(1)在D={(χ,y)∈R2|χ∈[a,b],y∈[c,d]}上一致收斂的充要條件:對任給的正數(shù)ε,總存在某一實數(shù)M>e,使得當(dāng)A1,A2>M時對一切(χ,y)∈D,都有

        證明:(必要性)對任給的正數(shù)ε,由含雙參量無窮積分(1)在D上一致收斂可知存在某一實數(shù)M>e,當(dāng)A1,A2>M時,對于一切(χ,y)∈D,都有

        (充分性)若條件(5)成立,由無窮積分收斂的Cauchy準(zhǔn)則(引理1)可知,對每一個(χ,y)∈D,

        定理2(維爾斯特拉斯M判別法)設(shè)有函數(shù)g(z),使得

        由(7),(8)和定積分的絕對值性質(zhì)可得

        定理3(狄利克雷判別法)設(shè)

        i)對于一切實數(shù)N>e,含參量正常積分

        對于參量χ和y在D={(χ,y)|a≤χ≤b,c≤y≤d}上一致有界,即存在正數(shù)M,對于N>e及一切(χ,y)∈D,都有

        ii)對每一對(χ,y)∈D,函數(shù)g(χ,y,z)關(guān)于z是單調(diào)遞減且當(dāng)z→+∞時,對于參量χ和y,g(χ,y,z)一致收斂于0,即?ε>0,?A>0,?z>A,?(χ,y)∈D有|g(χ,y,z)|<ε,

        證明:任給ε>0,由于g(χ,y,z)當(dāng)z→+∞時關(guān)于參量χ和y一致收斂于0可知存在A>0,對于一切z>A和一切(χ,y)∈D,有

        其中M為條件i)所定義.又因為對每一對(χ,y)∈D,函數(shù)g(χ,y,z)關(guān)于z單調(diào)遞減,利用引理2,對于任何的u1,u2>A,存在ξ∈[u1,u2],使得

        定理4(阿貝爾判別法)設(shè)f(χ,y,z),g(χ,y,z)滿足如下條件:

        ii)對于每一對D={(χ,y)|a≤χ≤b,c≤y≤d},函數(shù)g(χ,y,z)為z的單調(diào)函數(shù),對參量χ和y,g(χ,y,z)在[a,b]×[c,d]上一致有界,

        證明:任給ε>0,由條件i)利用定理1的必要性可知,存在A>e,任何u2>u1>A,使得

        [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上、下冊)[M].北京:高等教育出版社,2001.

        [2]徐森林,金亞東,薛春華.數(shù)學(xué)分析(第三冊)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2007.

        [3]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義(上、下冊)[M].北京:高等教育出版社,2007.

        [4]顧先明.二元含參量正常積分函數(shù)的分析性質(zhì)[J].唐山師范學(xué)院學(xué)報,2010,32(2):41-44.

        [5]顧先明.二元含參量黎曼_斯蒂爾切斯積分函數(shù)的分析性質(zhì)[J].哈爾濱師范大學(xué):自然科學(xué)學(xué)報,2010,26(5):36-40.

        [6]郇中丹.對師范大學(xué)本科數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程改革的幾點意見[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2000,9(2):17-19.

        [責(zé)任編輯 蘇 琴]

        [責(zé)任校對 方麗菁]

        Uniform Convergence and Discriminant Method for Infinite Integral Involving Multiple Variables

        TANG Guo-ji,CHEN Xiang-yang,PEI Kai
        (College of Science,Guangχi University for Nationalities,Nanning530006,China)

        In this paper,a notion of uniform convergence for infinite integral involving two variables is introduced.Some discriminant methods,including Cauchy criterion,Weistrass-discriminant method,Dirichlet-discriminant method and Abel-discriminant method are obtained.The main results presented in this paper are generalization of corresponding results of uniform convergence for infinite integral involving singlevariable.

        infinite integral involving multiple variables;uniform convergence;Cauchycriterion

        O172.2

        A

        1673-8462(2015)01-0062-04

        2014-09-10.

        廣西高等教育教學(xué)改革工程項目(一般A類)(2014JGA131).

        唐國吉(1979-),男,廣西防城港人,博士,廣西民族大學(xué)理學(xué)院副教授,研究方向:優(yōu)化理論及應(yīng)用.

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