張仕宇，馮 輝，宗志遠(yuǎn)，劉 凱，楊 濤，胡 波，2

（1.復(fù)旦大學(xué) 電子工程系，上海 200433；2.復(fù)旦大學(xué) 電磁波信息科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200433）

波束成形的基本思想是通過(guò)天線陣列對(duì)發(fā)送信號(hào)進(jìn)行預(yù)編碼，形成多個(gè)具有不同指向性的窄帶波束來(lái)動(dòng)態(tài)地跟蹤服務(wù)多個(gè)用戶.多用戶多輸入多輸出（Mutiluser Multiple－Input Multiple－Output，Mu－MIMO）預(yù)編碼波束成形方法使得基站能夠在同一頻譜資源上同時(shí)服務(wù)多個(gè)用戶.下行多用戶傳輸通常建模為一個(gè)MIMO 廣播信道模型，基站端采用多根天線同時(shí)服務(wù)多個(gè)用戶.為了減小用戶間的干擾，通常在基站端對(duì)發(fā)給各個(gè)用戶的信號(hào)進(jìn)行聯(lián)合預(yù)編碼處理.比較經(jīng)典的預(yù)編碼方法包括迫零（ZF）［1］，塊對(duì)角化（BD）［2］，最大信漏噪比（SLNR）［3］等算法.其中，一種基于凸優(yōu)化的預(yù)編碼方法［4－6］能夠在滿足各個(gè)用戶服務(wù)質(zhì)量的要求下，最小化基站的發(fā)射能量.

在傳統(tǒng)的蜂窩移動(dòng)網(wǎng)系統(tǒng)中，基站往往采用的是無(wú)源天線陣列，只能選取固定的下傾角然后根據(jù)水平維度的信道信息來(lái)調(diào)整水平維度的波束方向.然而，實(shí)際的信號(hào)傳播信道是具有三維空間特性的，這就使得2D 的MIMO 預(yù)編碼技術(shù)并不是最優(yōu)的.如果能夠在三維空間上進(jìn)行發(fā)射波束設(shè)計(jì)，必然能夠帶來(lái)更強(qiáng)的干擾控制能力，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)性能的提升.尤其是對(duì)于類(lèi)似現(xiàn)代市區(qū)環(huán)境這樣的應(yīng)用場(chǎng)景，用戶在三維空間上分布得很分散，具有可區(qū)分的俯仰角時(shí)，在水平維度和垂直維度上進(jìn)行聯(lián)合波束成形設(shè)計(jì)將能夠更加充分地利用三維空間自由度，減小用戶間干擾，提升小區(qū)的和速率（sum－rate）.

于是，3D 波束成形的概念越來(lái)越受到主流通信系統(tǒng)的重視.而3D 波束成形能夠得以實(shí)現(xiàn)的一個(gè)核心技術(shù)是有源天線系統(tǒng)（Active Antenna System，AAS）.有源天線將射頻鏈路（功率放大器、收發(fā)機(jī)）與天線陣元集成在一起.通過(guò)這種設(shè)計(jì)使得每個(gè)天線陣元信號(hào)的幅度、相位和時(shí)延都能夠進(jìn)行獨(dú)立的控制［7］，從而使得更加靈活和智能的波束成形設(shè)計(jì)成為可能.而在基站端采用2D（如：面陣、L 形陣）或3D（如：球形陣）天線陣列的有源天線，便能夠在水平維度與垂直維度上同時(shí)動(dòng)態(tài)調(diào)整發(fā)送波束方向，即實(shí)現(xiàn)3D 波束成形設(shè)計(jì).文獻(xiàn)［8］通過(guò)實(shí)地測(cè)試表明基于AAS的自適應(yīng)垂直波束成形技術(shù)能夠顯著提升蜂窩移動(dòng)通信網(wǎng)絡(luò)的性能.文獻(xiàn)［9］研究了動(dòng)態(tài)垂直波束在干擾避讓中的應(yīng)用策略.文獻(xiàn)［10］提出了多基站根據(jù)用戶位置協(xié)作調(diào)整垂直下傾角的方案.文獻(xiàn)［11］研究了單小區(qū)MU－MIMO 場(chǎng)景中采用多個(gè)固定下傾角構(gòu)建多個(gè)虛擬垂直小區(qū)的系統(tǒng)性能.文獻(xiàn)［12］通過(guò)使用垂直預(yù)編碼碼本的方法來(lái)進(jìn)行下傾角的動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié).文獻(xiàn)［13］和［14］推導(dǎo)了3D 信道場(chǎng)景下用戶下傾角分布的概率密度函數(shù)，然后分別對(duì)單用戶和多用戶場(chǎng)景設(shè)計(jì)了統(tǒng)計(jì)最優(yōu)的基站下傾角.上述文獻(xiàn)均表明有效利用垂直維度空間自由度能夠帶來(lái)顯著的容量提升.不過(guò)，它們僅僅只是將垂直下傾角設(shè)計(jì)作為傳統(tǒng)水平2D 波束成形的一種補(bǔ)充，而沒(méi)有將垂直預(yù)編碼與水平預(yù)編碼聯(lián)合起來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，因此，尚未發(fā)揮出3D 波束成形技術(shù)的最大優(yōu)勢(shì).

本文針對(duì)一個(gè)基站端采用有源天線面陣的MU－MIMO 下行通信系統(tǒng)，將3D 波束成形問(wèn)題建模成一個(gè)對(duì)水平和垂直波束成形預(yù)編碼的聯(lián)合設(shè)計(jì)問(wèn)題，并引入一種最小化基站發(fā)射能量的優(yōu)化模型.由于直接求解水平預(yù)編碼和垂直預(yù)編碼比較困難，于是將原問(wèn)題分解成兩個(gè)半定規(guī)劃（Semi－Definite Programming，SDP）子問(wèn)題，再通過(guò)交替迭代優(yōu)化的方法逐步逼近最優(yōu)的3D 波束成形預(yù)編碼.仿真結(jié)果表明采用本文提出的算法得到的小區(qū)和速率性能顯著優(yōu)于其他對(duì)比方案.

1 系統(tǒng)模型

本文考慮由一個(gè)基站和K 個(gè)用戶構(gòu)成的單小區(qū)MU－MIMO 下行通信系統(tǒng).基站離地面高度為hBS，裝備有面陣天線（水平天線陣元數(shù)目為Nh，陣元間距為dh；垂直天線陣元數(shù)目為Nv，陣元間距為dv）.用戶離基站的最小水平距離為Rmin，小區(qū)半徑為Rmax，用戶均勻分布在小區(qū)范圍內(nèi).假設(shè)每個(gè)用戶的高度均為hUE，并且只配備有單根天線.整個(gè)系統(tǒng)模型如圖1所示，其中Nv＝4，Nh＝8.

1.1 有源天線陣列

圖1 3D－MIMO 通信系統(tǒng)Fig.1 3D－MIMO communication system

傳統(tǒng)基站采用無(wú)源天線，在垂直維度上利用無(wú)源饋電網(wǎng)絡(luò)激勵(lì)各陣元產(chǎn)生振幅相同，但相位沿陣軸方向按等差數(shù)列遞變的信號(hào)，從而形成固定的小區(qū)下傾角，如圖2（a）所示.采用這種無(wú)源天線陣列成本低，配置簡(jiǎn)單，但是每次在垂直維度上只能產(chǎn)生一個(gè)波束方向.為了實(shí)現(xiàn)3D 波束成形，需要在垂直維度上動(dòng)態(tài)調(diào)整下傾角，并能根據(jù)用戶位置對(duì)不同用戶的信號(hào)施加不同的相移，即產(chǎn)生多個(gè)下傾角不同的波束.

圖2 （a）無(wú)源天線陣列和（b）有源天線陣列Fig.2 （a）Passive antenna array and（b）Active antenna array

因此，3D－MIMO 系統(tǒng)更傾向于采用有源天線技術(shù).有源天線系統(tǒng)（AAS）如圖2（b）所示，它將天線陣列與射頻鏈路集成在一起，可以獨(dú)立控制每個(gè)天線陣元信號(hào)的相位、幅度、時(shí)延等，從而可以實(shí)現(xiàn)波束在垂直維度上的動(dòng)態(tài)調(diào)整以及同時(shí)多個(gè)下傾角的波束的形成［7］.

1.2 3D－MIMO信道

由于引入了垂直維度發(fā)射天線，信道系數(shù)矩陣具有三個(gè)維度，即接收天線數(shù)目Nr，基站垂直天線數(shù)目Nv和基站水平天線數(shù)目Nh.為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，本文中主要考慮用戶為單接收天線的場(chǎng)景，因此第k 個(gè)用戶的信道系數(shù)矩陣表示為Hk∈CNv×Nh.

在傳統(tǒng)的2D－MIMO 信道建模中，往往不考慮基站和用戶的高度，認(rèn)為信號(hào)傳播路徑和環(huán)境中的各種散射體都處在同一水平面上［15］，這并不符合實(shí)際的信號(hào)傳播情況.而在本文采用的3D－MIMO 信道模型中，引入了基站到用戶的垂直維度的角度信息.假設(shè)基站的高度遠(yuǎn)高于傳播環(huán)境中的大尺度散射體（例如房屋、樹(shù)木等），而用戶都貼近于地面并且被散射體環(huán)繞，并且這里不考慮散射體頂部的衍射效應(yīng).在這種假設(shè)前提下，隨機(jī)散射主要發(fā)生在水平平面上（街道層級(jí)），因此認(rèn)為垂直維度上的多徑衰落與水平維度相比可以忽略不計(jì).考慮窄帶平坦衰落信道，基站采用Nv×Nh的面陣天線，用戶為單接收天線，則用戶k的信道系數(shù)可以表示為

其中，PL（dk）為路徑損耗因子，采用文獻(xiàn)［16］中的模型PL（dk）＝128.1＋37.6lg（dk），單位為dB.dk表示用戶k 與基站間的距離，單位為km；表征基站到用戶k之間水平維度的小尺度衰落，這里假設(shè)hk的各個(gè)元素滿足獨(dú)立的復(fù)高斯分布CN（0，1）.此外，e（θk）為垂直維度的信號(hào)導(dǎo)向矢量

其中，θk表示從基站到用戶k 的垂直維度信號(hào)離開(kāi)角度（Angle of Departure，AoD）.

1.3 接收信號(hào)模型

通過(guò)這種處理可以有效降低預(yù)編碼設(shè)計(jì)問(wèn)題的復(fù)雜度，許多現(xiàn)有的3D 波束成形方案都可以歸結(jié)到wk與vk的設(shè)計(jì)問(wèn)題上.假設(shè)對(duì)于用戶k，基站的所有天線陣元都進(jìn)行服務(wù)并且只傳輸單層數(shù)據(jù)sk，則基站發(fā)送的信號(hào)為

用戶k接收到的信號(hào)為

其中，vec（A）表示由矩陣A 的各個(gè)列向量依次拼接而成的向量.第三個(gè)等式中第一項(xiàng)為有用信號(hào)，第二項(xiàng)為用戶間干擾信號(hào)，第三項(xiàng)nk為噪聲并假設(shè)nk～CN（0，）.于是，第k 個(gè)用戶的信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR）可以表示為

本文用于表征波束成形預(yù)編碼性能的指標(biāo)是小區(qū)用戶和速率，即各個(gè)用戶的傳輸速率之和，與各個(gè)用戶的SINR 相關(guān)，其表達(dá)式如下：

2 3D 波束成形算法

本文3D 波束成形算法的最終目的是在給定基站發(fā)射功率P0的前提下，盡可能提高小區(qū)用戶的和速率.優(yōu)化問(wèn)題如下所示：

由于優(yōu)化問(wèn)題（8）中wk與vk耦合在一起，且優(yōu)化目標(biāo)形式復(fù)雜，該問(wèn)題非凸，求解十分困難.同時(shí)，文獻(xiàn)［18］也證明了，一般的給定發(fā)射功率的最大和速率波束成形優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)NP難題.下面本文介紹一種將原問(wèn)題分解為分別關(guān)于wk與vk的最小發(fā)射能量?jī)?yōu)化子問(wèn)題，并通過(guò)迭代逼近求解的方法.

2.1 優(yōu)化子問(wèn)題設(shè)計(jì)

在本節(jié)中，原問(wèn)題被轉(zhuǎn)換為最小化功率設(shè)計(jì)問(wèn)題，并分解為分別關(guān)于垂直預(yù)編碼和水平預(yù)編碼的優(yōu)化子問(wèn)題進(jìn)行求解.

由于一般的給定功率最大和速率波束成形優(yōu)化問(wèn)題求解十分困難，下面考慮一種在保證每個(gè)用戶的SINR 最低門(mén)限的前提下，最小化基站的總發(fā)射功率的波束成形設(shè)計(jì)思想［4］.針對(duì)本文的3D－MIMO 場(chǎng)景，該優(yōu)化模型可以表述為

其中，γk為用戶k 的SINR 門(mén)限.文獻(xiàn)［5］證明了當(dāng)γk，k＝1，2，…，K 選取合適時(shí)，最小發(fā)射能量問(wèn)題（9）的解同時(shí)也是最大和速率問(wèn)題（8）的解，因此從（8）到（9）的轉(zhuǎn)換是合理的.然而，我們很難預(yù)先知道合適的SINR 門(mén)限值是多少.下一節(jié)將介紹一種通過(guò)迭代求解優(yōu)化問(wèn)題（9）并不斷提升SINR 門(mén)限的方法來(lái)逼近優(yōu)化問(wèn)題（8）的解.本小節(jié)將專(zhuān)注于優(yōu)化問(wèn)題（9）的求解方法.

由于優(yōu)化問(wèn)題（9）中wk與vk耦合在一起，問(wèn)題非凸，求解困難.下面考慮將其分解為關(guān)于垂直預(yù)編碼和水平預(yù)編碼的優(yōu)化子問(wèn)題進(jìn)行求解.首先介紹一條關(guān)于面陣發(fā)射預(yù)編碼總功率的引理.

其中tr（A）表示矩陣A 的跡，第二個(gè)等號(hào)運(yùn)用了跡的性質(zhì)tr（AB）＝tr（BA）.

根據(jù)引理1，發(fā)射總功率優(yōu)化目標(biāo)可以表示為

于是考慮在求解原問(wèn)題（9）時(shí)，采用一種交替迭代的思想（類(lèi)似文獻(xiàn)［19］），即先將vk固定，優(yōu)化求解wk，然后根據(jù)求得的wk再來(lái)優(yōu)化求解vk，如此反復(fù)交替迭代求解vk和wk.下面給出當(dāng)vk和wk分別已知時(shí)的兩個(gè)優(yōu)化子問(wèn)題：

其中，pk＝分別表示第k個(gè)用戶垂直和水平預(yù)編碼的發(fā)送能量，hk，i＝表示基站到用戶k的信道矩陣Hk經(jīng)過(guò)垂直預(yù)編碼vi后得到的等效水平信道系數(shù)；表示基站到用戶k的信道矩陣Hk經(jīng)過(guò)水平預(yù)編碼wi后得到的等效垂直信道系數(shù).

接下來(lái)采用半定松弛（Semi－Definite Relaxation，SDR）［6］方法求解這兩個(gè)優(yōu)化子問(wèn)題.

以求解水平預(yù)編碼為例，當(dāng)vk固定時(shí)，優(yōu)化問(wèn)題（13）可以歸結(jié)為經(jīng)典的加權(quán)能量?jī)?yōu)化波束成形設(shè)計(jì)問(wèn)題［5］.定義矩陣，優(yōu)化問(wèn)題（13）可以轉(zhuǎn)換為

其中，A?0表示矩陣A 是半正定的，rank（A）表示矩陣A 的秩.當(dāng)舍棄限制條件rank（Wk）＝1時(shí)，優(yōu)化問(wèn)題（15）可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)松弛的半定規(guī)劃問(wèn)題［6］，繼而可以利用凸優(yōu)化工具包CVX［20］進(jìn)行快速求解.同理，在wk給定時(shí)，對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題（14），可以采用同樣的方法松弛求解.因此，可以通過(guò)交替迭代優(yōu)化wk和vk來(lái)實(shí)現(xiàn)水平和垂直預(yù)編碼的聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì).

2.2 迭代逼近算法

根據(jù)上一節(jié)的說(shuō)明可知，只有當(dāng)γk，k＝1，2，…，K 選取合適時(shí)，最小發(fā)射能量問(wèn)題（9）的解才與最大和速率問(wèn)題（8）的解相同.否則在保證初始SINR 門(mén)限在P0功率限制下可達(dá)到的前提下，通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題（9）求解出的預(yù)編碼功率往往小于功率P0，并沒(méi)有充分利用給定的發(fā)射功率，進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)和速率無(wú)法達(dá)到最大.此時(shí)，若對(duì)求解出的預(yù)編碼進(jìn)行等比例放大，使其功率等于P0，則用戶SINR 能夠進(jìn)一步提升.于是，本文希望通過(guò)迭代求解最小發(fā)射能量問(wèn)題，并不斷提升SINR 門(mén)限的方法來(lái)逼近最大和速率問(wèn)題的解.下面給出對(duì)具體的迭代逼近過(guò)程的描述.

同樣以水平預(yù)編碼wk設(shè)計(jì)問(wèn)題為例（假定vk已知，其功率為pk，k＝1，2，…，K），首先給定基站發(fā)射功率P0，并選取合適的初始用戶SINR 門(mén)限γk，k＝1，2，…，K，注意該門(mén)限需要保證在預(yù)編碼功率不大于P0的前提下是能夠達(dá)到的.然后通過(guò)前述的SDR 方法求解最小發(fā)射功率問(wèn)題（13），記最優(yōu)解為，k＝1，2，…，K.容易知道采用時(shí)的發(fā)射總功率將小于設(shè)定的基站發(fā)射功率P0，即.根據(jù)文獻(xiàn)［5］，在最優(yōu)解處，最小發(fā)射功率問(wèn)題（13）的約束條件必然取等號(hào)，即

然后，將各個(gè)用戶的預(yù)編碼等比例放大得到新預(yù)編碼w′k，使得w′k的功率等于P0，即w′k＝μw＊k，其中μ為放大系數(shù)，滿足μ ＝.于是根據(jù)新預(yù)編碼得到的用戶SINR 滿足

雖然在本節(jié)中描述的只是針對(duì)求解wk的迭代逼近方法，但是迭代提升門(mén)限的方法在wk與vk的交替迭代求解過(guò)程中也同樣適用，具體的算法步驟將在下一節(jié)中說(shuō)明.

2.3 交替迭代算法步驟

結(jié)合前述的子問(wèn)題設(shè)計(jì)和迭代逼近方法，表1列出了本文提出的交替迭代優(yōu)化算法的詳細(xì)步驟，其中分別表示第m 次迭代時(shí)的水平預(yù)編碼和垂直預(yù)編碼，分別表示第m 次迭代時(shí)，對(duì)應(yīng)于子優(yōu)化問(wèn)題（13）和（14）的SINR 門(mén)限.

下面對(duì)算法的收斂性進(jìn)行說(shuō)明：在每次算法迭代的第2步和第4步的優(yōu)化目標(biāo)都是基站端的總發(fā)射功率，所以每輪迭代得到的發(fā)射預(yù)編碼功率總小于或等于初始功率P0；而在第3步和第5步中，將預(yù)編碼功率放大至P0，計(jì)算并更新優(yōu)化限制中的SINR 門(mén)限（提高SINR 門(mén)限），使得各個(gè)用戶的SINR 隨著迭代的進(jìn)行不斷提高，在發(fā)射功率有限的前提下最終將收斂.

表1 交替迭代優(yōu)化算法流程Tab.1 Alternating iterative optimization algorithm

3 仿真結(jié)果分析

本節(jié)將通過(guò)蒙特卡洛方法對(duì)本文提出的迭代優(yōu)化算法的性能進(jìn)行仿真驗(yàn)證和分析.

3.1 小區(qū)參數(shù)配置

小區(qū)的基本配置情況：基站天線高度hBS＝25m，用戶天線高度hUE＝1.5m，用戶與基站最小水平距離Rmin＝10m，小區(qū)半徑Rmax＝250m，基站水平天線數(shù)目Nh＝8，基站垂直天線數(shù)目Nv＝1，2，4或8，路徑損耗模型［16］PL（d）＝128.1＋37.6lg（d），其中d 為基站到用戶的距離.每次仿真時(shí)，用戶隨機(jī)均勻地分布在小區(qū)服務(wù)范圍內(nèi)，進(jìn)而根據(jù)用戶的位置按照1.2節(jié)中的方法生成信道.同時(shí)，假設(shè)基站發(fā)射天線采用有源面陣天線，天線陣元間距為dv＝dh＝λ／2，其中λ表示載波波長(zhǎng).

3.2 對(duì)比方案設(shè)計(jì)

在進(jìn)行3D 波束成形設(shè)計(jì)時(shí)，現(xiàn)有的許多研究［9－14］常常把水平維度與垂直維度的預(yù)編碼設(shè)計(jì)完全獨(dú)立開(kāi)來(lái).水平維度預(yù)編碼設(shè)計(jì)與基于等效水平MIMO 信道的傳統(tǒng)波束成形設(shè)計(jì)問(wèn)題一樣，采用包括迫零（ZF）［1］、塊對(duì)角化（BD）［2］、最小發(fā)射能量［4－6］等算法.而在垂直維度上，可以考慮以下兩種簡(jiǎn)單的垂直預(yù)編碼策略.

1）固定下傾角（Cell－Fixed）

傳統(tǒng)蜂窩移動(dòng)網(wǎng)絡(luò)中基站端通常采用圖2（a）所示的無(wú)源天線陣列作為一個(gè)水平的天線端口（Antenna Port），使得發(fā)送信號(hào)具有一個(gè)固定的下傾角.通常該下傾角需要根據(jù)小區(qū)實(shí)際情況進(jìn)行確定，使得某些小區(qū)統(tǒng)計(jì)性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu).不失一般性，這里讓發(fā)射波束在垂直維度上指向小區(qū)中心，即取發(fā)射下傾角為

則此時(shí)各個(gè)用戶的垂直預(yù)編碼固定為

2）指向用戶（User－Specific）［21］

根據(jù)有源天線的特性，對(duì)于每個(gè)用戶可以采用不同的垂直預(yù)編碼，產(chǎn)生多個(gè)波束分別指向各個(gè)用戶，使得每個(gè)用戶的接收信號(hào)功率達(dá)到最大，此時(shí)用戶的垂直預(yù)編碼為

這種方法試圖最大化用戶接收到的有用信號(hào)的功率，卻沒(méi)有考慮用戶之間干擾的影響.下面將各種垂直預(yù)編碼策略與水平預(yù)編碼算法進(jìn)行組合，提出4種簡(jiǎn)單的3D 波束成形方案，如表2所示.本文將以它們作為基準(zhǔn)，在仿真過(guò)程中與前面提出的迭代優(yōu)化算法進(jìn)行性能對(duì)比.

其中，方案1和方案3對(duì)應(yīng)于傳統(tǒng)的無(wú)源天線陣列基站，垂直維度上采用固定下傾角，只在水平維度上進(jìn)行波束成形設(shè)計(jì)；方案2和方案4對(duì)應(yīng)于有源天線陣列基站，但是在垂直維度上只是簡(jiǎn)單地將波束方向指向用戶，最大用戶接收有用信號(hào)功率.

表2 3D波束成形對(duì)比方案Tab.2 The comparison scheme for 3Dbeamforming

3.3 仿真結(jié)果及分析

下面比較了不同3D 波束成形方案在8用戶下行場(chǎng)景下的小區(qū)和速率性能，基站天線采用4×8面陣，用戶端均為單接收天線，設(shè)定迭代交替算法的收斂判決因子為τ＝10－3.這里，定義邊緣信噪比（Edge SNR）為不考慮信道小尺度衰落影響時(shí)的小區(qū)邊緣處信噪比，即SNREdge＝

圖3顯示了不同3D 波束成形方案下小區(qū)和速率與邊緣SNR 之間的關(guān)系，從圖中可以看出，在垂直維度上指向用戶的預(yù)編碼方案較之固定下傾角方案具有5%～6%的和速率提升，說(shuō)明利用垂直空間的自由度確實(shí)能夠有效提升系統(tǒng)性能.同時(shí)，本文提出的迭代優(yōu)化算法在2dB 邊緣信噪比條件下，較之傳統(tǒng)塊對(duì)角化方案（Scheme 1、Scheme 2）分別有39%和31%的性能提升，較之最小發(fā)射能量?jī)?yōu)化方案（Scheme 3、Scheme 4）也分別有10%和5%的性能提升.

圖4給出了基站采用不同數(shù)目的垂直維度天線情況下，8用戶小區(qū)下行和速率情況（對(duì)應(yīng)2 dB邊緣信噪比條件）.隨著垂直維度天線數(shù)目的增加，基站在垂直維度上的空間分辨率增大，指向用戶的垂直預(yù)編碼方案相對(duì)于傳統(tǒng)固定下傾角系統(tǒng)性能提升越發(fā)顯著，并且逐漸逼近交替迭代優(yōu)化算法性能.當(dāng)天線數(shù)目趨向無(wú)窮大時(shí)，垂直維度波束將能夠完全區(qū)分用戶，不存在用戶間干擾，指向用戶的垂直預(yù)編碼算法性能將達(dá)到最優(yōu).然而實(shí)際應(yīng)用中，天線數(shù)目有限，且很難準(zhǔn)確得到用戶下傾角.相較而言，本文提出的交替迭代算法不需要知道用戶下傾角，根據(jù)信道狀態(tài)信息能夠自適應(yīng)地將波束對(duì)準(zhǔn)用戶，收斂到一個(gè)較優(yōu)的解.

圖3 不同3D 波束成形方案性能Fig.3 The performance of different 3D beamforming schemes

圖4 不同垂直天線數(shù)目下的系統(tǒng)性能Fig.4 The system performance with different vertical antenna numbers

本文提出的3D 波束成形算法通過(guò)交替迭代逐步逼近一個(gè)較優(yōu)的波束預(yù)編碼的解.在迭代過(guò)程中，基站發(fā)射功率保持不變，用戶SINR 門(mén)限不斷提升，保證最終算法能夠收斂.圖5展示了算法的收斂過(guò)程，可以看到在2～3次迭代后算法即可收斂，但隨著天線數(shù)目的增多收斂速度會(huì)減慢.

圖5 交替迭代優(yōu)化算法收斂速度Fig.5 The convergence rate of the alternating iterative optimization algorithm

圖6給出了基站垂直維度天線分別為4天線和8天線條件下，采用交替迭代算法得到的收斂后的垂直維度波束圖.仿真場(chǎng)景為兩用戶，用戶下傾角分別為20°和30°，迭代初始時(shí)給定各個(gè)用戶的垂直預(yù)編碼能量相同且波束方向均指向小區(qū)中心.可以看到，在迭代優(yōu)化過(guò)程中，算法在垂直維度上進(jìn)行了兩步操作：（1）調(diào)整波束方向自適應(yīng)地指向用戶；（2）在用戶間進(jìn)行功率分配，離基站越遠(yuǎn)，路徑損耗越大，分配的能量越多.

圖6 （a）垂直維度4天線波束方向圖，（b）垂直維度8天線波束方向圖Fig.6 The beam pattern in vertical plane with（a）4vertical antennas and（b）8vertical antennas

4 總結(jié)

本文針對(duì)3D－MIMO 場(chǎng)景，對(duì)有源面陣天線的3D 波束成形問(wèn)題進(jìn)行建模，將其抽象為對(duì)天線陣列水平預(yù)編碼和垂直預(yù)編碼的聯(lián)合設(shè)計(jì)問(wèn)題.該問(wèn)題可以進(jìn)一步分解為兩個(gè)分別設(shè)計(jì)水平和垂直預(yù)編碼的優(yōu)化子問(wèn)題，并通過(guò)半定松弛（SDR）和交替迭代的方法進(jìn)行求解.仿真結(jié)果證明該算法能夠很快收斂，而采用該算法得到的小區(qū)和速率明顯高于固定下傾角方案和直接將波束指向用戶的方案.本算法無(wú)需事先知道用戶的下傾角，而是能夠依據(jù)信道狀態(tài)信息自適應(yīng)地調(diào)整波束指向用戶并進(jìn)行用戶間功率分配.基于本文的研究，未來(lái)可以進(jìn)一步研究非完全信道狀態(tài)信息反饋時(shí)的3D 波束成形算法，并將其擴(kuò)展到多小區(qū)協(xié)作的場(chǎng)景中.

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