貴州省貴陽市觀山湖區(qū)朱昌中學(xué) 劉榮煌

活用等腰三角形的性質(zhì)

貴州省貴陽市觀山湖區(qū)朱昌中學(xué) 劉榮煌

如果能夠在學(xué)習(xí)或生活中活用等腰三角形的性質(zhì)，它不但能為你解決一些實(shí)際問題，同時(shí)欣賞了等腰三角形帶給我們的美和實(shí)際生活賦予其意義。

三線合一 多解性

等腰三角形是三角形中一種特殊的三角形，它具有兩邊相等、兩角相等及軸對(duì)稱等特征。解決和等腰三角形有關(guān)的問題中如能活用其性質(zhì)，對(duì)問題的簡(jiǎn)單化、解答幫助多多。

一、“三線合一”幫你忙

等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是：等腰三角形的頂角平分線底邊上的中線和底邊上的高互相重回，利用這個(gè)性質(zhì)可以解決一些實(shí)際問題，舉例如下。

例1，如下圖，在等腰△ABC中，AB=AC， AD是BC邊上的高， E 、F分別是AB 、AC上的點(diǎn)，EF//BC，求證：△AEF 、△DEF為等腰三角形。

分析：說明一個(gè)三角形是等腰三角形就是要說明這個(gè)三角形中有兩條邊相等，或兩個(gè)角相等，或一個(gè)頂點(diǎn)在它對(duì)邊的垂直平分線上，本題事實(shí)上是一個(gè)軸對(duì)稱圖形。

解：∵EF//BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C。

∵ AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠AEF=∠AFE，AE=A F。

∵△AEF是等腰三角形，∴AD是等腰△ABC底邊上的高，∴AD 平分∠BAC 。

∵△AEF也是等腰三角形，∴AG是底邊EF上的高和中線，∴AD⊥EF，GE =GF，∴AD是線段EF的垂直平分線，∴DE= DF，△DEF是等腰三角形。

例2，有三個(gè)村莊A、B、C分別位于一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，現(xiàn)欲在三個(gè)村莊之間鋪設(shè)水管，公司設(shè)計(jì)了三種方案，如下圖所示：（1）AB+BC， （2） AD+BC （D為BC 中點(diǎn)） ，（3）OA+OB+OC （O為 △ABC的內(nèi)心），若要使鋪設(shè)的水管最短，應(yīng)選擇哪種方案？為什么？

圖（1）

圖（2）

圖（3）

分析：要使鋪設(shè)的水管最短，也就是比較三個(gè)方案中水管的總長(zhǎng)度誰最短，可利用等腰三角形性質(zhì)及點(diǎn)到直線距離，以及通過計(jì)算比較出來。

解：圖（2）中，因?yàn)?D點(diǎn)為等邊△ABC的邊 BC中點(diǎn)，所以，AD⊥BC，由點(diǎn)到直線距離中垂線段最短可知圖（2）中AD長(zhǎng)比圖（1）中AB的長(zhǎng)要短，所以圖（2）中水管總長(zhǎng)度比圖（1）要短?，F(xiàn)在看圖（3）如右圖延長(zhǎng)AO交BC于D點(diǎn)，所以△OBD為直角三角形，因?yàn)?O為 △ABC內(nèi)心 ，所以∠OBD=30°，所以O(shè)D=?OB，BD=?√3OB，所以O(shè)D+BC=?OB+√3BC=（?+√3）OB＞2OB，所以AD+ BC＞AO+BO+CO， 所以圖（3）中水管總長(zhǎng)度比圖（2）短，因此，應(yīng)該選擇圖（3）的方案。

圖（3）

二、等腰三角形多解性問題

遇到等腰三角形多解性的問題時(shí)，要考慮周全而不出現(xiàn)錯(cuò)誤或漏解的情況，由于等腰三角形是在三角形中比較特殊的一類，即是它有兩腰相等，兩底角相等。所以，如果題目中出現(xiàn)腰與底角不能確定的情況，會(huì)存在多解性的問題，當(dāng)出現(xiàn)這一類問題時(shí)，我們可以運(yùn)用分類討論的方法正確解答，現(xiàn)舉例如下：

例1：已知等腰三角形一腰上的中線把周長(zhǎng)分為21㎝和18㎝兩部分，求腰長(zhǎng)。

分析：如下圖，在△ABC中，AB=AC，CD為AB中線，則有可能是AC+AD=21㎝，或AC+AD=18㎝。

解：設(shè)AB=AC=2x，則有2x+x=21

或2x+x=18，故腰長(zhǎng)為14㎝或12㎝。

例2，已知CD是等腰△ABC一腰上的高，且∠DCA=400，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)。

分析：由于本題需作三角形的高，所以應(yīng)先確定三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，之后再做出高的位置，故需分類討論。

圖1

圖2

圖3

解：①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，∠A既可作為頂角，又可作為底角，如果∠A為頂角時(shí)，如圖1，△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別是500，650，650，如果∠A為底角時(shí)，如圖2，△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別是800，500，500。②當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，不符合條件。③當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，∠A只能作為頂角，如圖3，△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為1300，250，250。故△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別是500，650，650或800，500，500或1300，250，250。

總之，如果能夠在學(xué)習(xí)或生活中活用等腰三角形的性質(zhì)，它不但能為你解決一些實(shí)際問題，同時(shí)欣賞了等腰三角形帶給我們的美和實(shí)際生活賦予其意義。

ISSN2095-6711/Z01-2015-10-0133