黃穎坤，羅繼亮

（華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，福建 廈門361021）

梯形圖具有形象、直觀、實用等特點(diǎn)，是目前使用最多的一種可編程邏輯控制器（programmable logic controller，PLC）的編程語言［1］.但是，梯形圖容易產(chǎn)生競態(tài)，而競態(tài)很難用傳統(tǒng)的方法檢測出來［2］，且驗證程序的正確性需要極大的代價，動輒就是上百萬美元.由于驗證需要耗費(fèi)大量時間，使得工廠、企業(yè)長時間停工.目前的研究成果大多是基于形式化方法［3－4］，包括模型檢測和定理證明.模型檢測是用一種形式化語言描述系統(tǒng)，生成系統(tǒng)行為的形式化描述，遍歷系統(tǒng)模型的狀態(tài)空間檢驗系統(tǒng)行為是否與需求相一致.國內(nèi)外學(xué)者［5－11］普遍使用Petri網(wǎng)或自動機(jī)為系統(tǒng)建模，將系統(tǒng)行為用另一種形式化語言描述，再用模型檢測工具進(jìn)行競態(tài)檢測.雖然模型檢測可以實現(xiàn)檢驗過程的自動化，但是要遍歷系統(tǒng)模型的狀態(tài)空間，面臨著“狀態(tài)空間爆炸”的問題.定理證明可以處理無限的狀態(tài)空間，它使用類似于結(jié)構(gòu)化的推導(dǎo)過程來證明具有無限狀態(tài)的系統(tǒng).Kramer等［12］提出了Higher Order Logic分析PLC 程序的方法.陳鋼等［13］用COQ 定理證明器輔助PLC 程序驗證和分析.但是，定理證明大多數(shù)是交互的，需要人的參與，所以不僅提高了出錯的概率，也降低了自動驗證的可行性.盡管目前出現(xiàn)了用依賴圖［14－15］描述程序之間關(guān)系的研究，但是它將一個梯級看成結(jié)點(diǎn)，忽略了很多細(xì)節(jié)，無法清楚地表達(dá)梯形圖各元素的邏輯關(guān)系.因此，本文提出了關(guān)系圖的概念，通過梯形圖轉(zhuǎn)化為關(guān)系圖；然后，從關(guān)系圖的結(jié)構(gòu)檢驗梯形圖不存在競態(tài)；最后，通過實例探討該方法在競態(tài)檢驗上的應(yīng)用.

圖1 簡單的梯形圖Fig.1 Simple ladder diagram

1 梯形圖和競態(tài)

梯形圖是在原繼電器－接觸器控制系統(tǒng)的繼電器梯形圖基礎(chǔ)上演變而來的一種圖形語言.由于梯形圖直觀易懂，成為目前使用最廣泛的一種PLC 編程語言.梯形圖的一個執(zhí)行周期可以看成能量流從左垂直線經(jīng)過A，B到達(dá)C，然后從下一梯級的左母線經(jīng)過C到達(dá)B的過程，如圖1所示.

梯形圖的競態(tài)是指在輸入和功能模塊狀態(tài)不變的情況下，輸出發(fā)生變化.如圖1的梯形圖存在競態(tài)，假設(shè)線圈C是輸出線圈，觸點(diǎn)A 是輸入觸點(diǎn).保持觸點(diǎn)A 是導(dǎo)通的，由于觸點(diǎn)B是常閉觸點(diǎn)，所以第一PLC 掃描周期線圈C 為高電平，當(dāng)?shù)诙菁増?zhí)行完后，觸點(diǎn)B為高電平；第二PLC 掃描周期，由于觸點(diǎn)B 是常閉觸點(diǎn)，此時為高電平，所以C變?yōu)榈碗娖?因為輸出狀態(tài)的變化不是功能模塊引起的，所以梯形圖存在競態(tài).

2 關(guān)系圖的定義

從形式化的角度，一個關(guān)系圖D由非空有限集V（D），V′（D），A（D）和c構(gòu)成，可以被定義為一個四元組，記為D＝（V，V′，A，c）.其中：V＝｛v1，v2，…，vn｝表示有限非空實結(jié)點(diǎn)的集合；V′＝｛v′1，v′2，…，v′m｝表示有限非空虛結(jié)點(diǎn)的集合，V∩V′＝?，V∪V′≠?；A?（V×V′）∪（V′×V）是實結(jié)點(diǎn)和虛結(jié)點(diǎn)組成的二元組的集合，表示從實結(jié)點(diǎn)到虛結(jié)點(diǎn)或虛結(jié)點(diǎn)到實結(jié)點(diǎn)的有向弧集合；c∶A→Z＋表示關(guān)系圖中每一條弧上的權(quán)值，Z＋表示正整數(shù)集合.

用關(guān)系圖描述梯形圖的邏輯關(guān)系.關(guān)系圖的實結(jié)點(diǎn)用“□”表示，對應(yīng)為梯形圖的圖符單元，如觸點(diǎn)、線圈、功能模塊等；虛結(jié)點(diǎn)表示邏輯關(guān)系“與”，用“|”來表示，沒有具體的意義；弧上權(quán)值大小為對應(yīng)梯形圖的梯級，如權(quán)值為“1”表示第一個梯級，“2”表示第二個梯級，以此類推.圖1梯形圖對應(yīng)的關(guān)系圖，如圖2所示.圖2表示的邏輯關(guān)系為實結(jié)點(diǎn)Vc受實結(jié)點(diǎn)Va，Vb同時控制的，對應(yīng)到梯形圖表示為線圈C的狀態(tài)受觸點(diǎn)A，B的狀態(tài)共同控制，符合圖1梯形圖的描述.同理，實結(jié)點(diǎn)Vb受實結(jié)點(diǎn)Vc控制，對應(yīng)到梯形圖表示為觸點(diǎn)B受線圈C 控制，也符合梯形圖的描述.因此，可以用關(guān)系圖等價的描述梯形圖的邏輯關(guān)系.

為了更好地認(rèn)識關(guān)系圖，引入幾個概念.如果一個實結(jié)點(diǎn)只有輸入有向弧沒有輸出有向弧，稱該實結(jié)點(diǎn)為根結(jié)點(diǎn)；實結(jié)點(diǎn)到虛結(jié)點(diǎn)的有向弧或虛結(jié)點(diǎn)到實結(jié)點(diǎn)的有向弧，稱為關(guān)系圖的線路，簡稱線路；如果一個實結(jié)點(diǎn)，存在一條線路，使之沿著這條線路能回到原點(diǎn)，稱該線路是一個關(guān)系圖的環(huán).

圖2 圖1梯形圖的關(guān)系圖模型Fig.2 Relation graphs model of ladder diagram shown in figure 1

3 梯形圖轉(zhuǎn)化為關(guān)系圖方法

梯形圖間的邏輯關(guān)系較復(fù)雜，從梯形圖的結(jié)構(gòu)無法直觀地表示變量之間的邏輯關(guān)系.因此，提出將梯形圖的邏輯關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)系圖來表示，使梯形圖內(nèi)各元素之間的邏輯關(guān)系清晰化，便于競態(tài)的檢測.

定義1在梯形圖中，由觸點(diǎn)、功能模塊以及連接它們之間的導(dǎo)線組成的線路稱為梯形圖的路徑.

定義2可使能量流從左母線到線圈（右母線）的路徑，稱為梯級路徑.從圖1的梯形圖實例可以看出：梯形圖有2條梯級路徑.梯級路徑的個數(shù)等于梯形圖的梯級數(shù).

定義3由梯級路徑中的觸點(diǎn)、功能模塊組成的集合，并且刪除該集合內(nèi)的任意元素，都會使梯級路徑斷開，則稱該集合為梯級路徑的割集，簡稱割集.

定義4從左母線到功能模塊所有端口的路徑，由這些路徑上的觸點(diǎn)組成的集合，并且刪除該集合內(nèi)的任意元素，都會使功能模塊不能正常工作，稱該集合為模塊割集.

提出梯形圖到關(guān)系圖的轉(zhuǎn)化方法，給定一個梯形圖，假設(shè)其第一個梯級為1，以此類推.轉(zhuǎn)化方法為以下7個步驟.

步驟1將梯形圖的觸點(diǎn)、線圈、功能模塊模擬為實結(jié)點(diǎn).

步驟2任選梯形圖的一個線圈，假設(shè)該線圈為Cx，對應(yīng)的實結(jié)點(diǎn)為Vx.

步驟3確定Cx的割集的個數(shù)m，創(chuàng)建m個虛結(jié)點(diǎn).

步驟4遍歷1個割集內(nèi)的元素，連接元素對應(yīng)實結(jié)點(diǎn)到該割集對應(yīng)的虛結(jié)點(diǎn)的有向?。贿B接虛結(jié)點(diǎn)到Vx的有向?。粸閺膶嵔Y(jié)點(diǎn)到實結(jié)點(diǎn)的有向弧賦予權(quán)值.重復(fù)上述步驟，直到遍歷完所有的割集.

步驟5取Cx梯級路徑上的一個觸點(diǎn)，判斷梯形圖是否存在以該觸點(diǎn)為輸出線圈的路徑，如果有，重復(fù)步驟3，4；如果沒有，取另一個觸點(diǎn)進(jìn)行判斷，直到遍歷完所有觸點(diǎn).

步驟6若還存在其他沒有遍歷的線圈，重復(fù)步驟2～5，直到遍歷完所有線圈.

步驟7取梯形圖的1個功能模塊，假設(shè)對應(yīng)的實結(jié)點(diǎn)為Vy.確定模塊割集的數(shù)目n，創(chuàng)建n個虛結(jié)點(diǎn).遍歷一個模塊割集內(nèi)的元素，連接元素對應(yīng)的實結(jié)點(diǎn)到該模塊割集對應(yīng)的虛結(jié)點(diǎn)的有向?。贿B接虛結(jié)點(diǎn)到Vy的有向?。粸榛≠x予權(quán)值.重復(fù)上述步驟，直到遍歷完所有的模塊割集.

4 梯形圖不存在競態(tài)的充分條件

通過分析關(guān)系圖的結(jié)構(gòu)，可得出梯形圖不存在競態(tài)的充分條件.

定理1給定一個梯形圖，如果它的關(guān)系圖中不存在環(huán)，那么該梯形圖中一定不存在競態(tài).

證明 反證法.假設(shè)一個無環(huán)的關(guān)系圖對應(yīng)的梯形圖存在競態(tài).對于無環(huán)的關(guān)系圖，取任意非根結(jié)點(diǎn)，假設(shè)為V1，可以找到控制其狀態(tài)的實結(jié)點(diǎn)，假設(shè)為V2；同樣，V2如果不為根結(jié)點(diǎn)，可以找到控制其狀態(tài)的實結(jié)點(diǎn)，以此類推，直到遍歷到根節(jié)點(diǎn).非根結(jié)點(diǎn)V1最后總可以看成控制了一個根結(jié)點(diǎn)的狀態(tài).由于根結(jié)點(diǎn)的狀態(tài)在PLC的掃描周期內(nèi)是不變的，所以V1不變.如果V1對應(yīng)梯形圖的輸出線圈，說明輸出線圈在程序執(zhí)行的過程中狀態(tài)不變，結(jié)論與假設(shè)矛盾，所以該充分條件成立.

根據(jù)競態(tài)的定義和上述的充分條件可得：如果關(guān)系圖存在環(huán)，且環(huán)內(nèi)包含有實結(jié)點(diǎn)對應(yīng)為梯形圖的功能模塊，對應(yīng)的梯形圖不存在競態(tài).

5 實例分析

梯形圖存在計數(shù)器C0，計數(shù)器的預(yù)設(shè)值為“2”，如圖3所示.當(dāng)計數(shù)器的脈沖輸入端CU 為上升沿時，計數(shù)器加“1”；當(dāng)計數(shù)器達(dá)到預(yù)設(shè)值時，C0輸出高電平；如果R 端為高電平時，計數(shù)器清零，輸出為低電平.根據(jù)前面提出的方法，將該梯形圖中的觸點(diǎn)、線圈、功能模塊模擬為實結(jié)點(diǎn)，得到的實結(jié)點(diǎn)集合V＝｛vm0.0，vm0.1，vm0.2，vq0.0，vq0.1，vi0.0，vC0｝；選取線圈Q0.1，其對應(yīng)的實結(jié)點(diǎn)為vq0.1.遍歷線圈Q0.1可以得到Q0.1的割集為｛M0.1，M0.2｝，｛M0.2，M0.3｝，所以創(chuàng)建2個虛結(jié)點(diǎn)v′1，v′2；遍歷2個割集內(nèi)的元素，連接對應(yīng)結(jié)點(diǎn)之間的有向弧，然后給弧賦上相應(yīng)的權(quán)值.

通過遍歷線圈Q0.1梯級路徑上的觸點(diǎn)可知：不存在以梯級路徑上的觸點(diǎn)為輸出線圈的路徑，所以取另一個線圈M0.0進(jìn)行遍歷.步驟同上，可知M0.0的割集只有1個｛M0.1｝，所以創(chuàng)建1個虛結(jié)點(diǎn)v′3，連接對應(yīng)結(jié)點(diǎn)之間的有向弧，最后給弧賦上相應(yīng)的權(quán)值.

遍歷所有線圈直到?jīng)]有可遍歷的線圈.由于該梯形圖存在功能模塊，所以遍歷功能模塊，確定其模塊割集｛I0.0，M0.0，Q0.0｝；創(chuàng)建1個虛結(jié)點(diǎn)v′5；連接模塊割集內(nèi)的元素對應(yīng)的結(jié)點(diǎn)之間的有向弧，即連接vi0.0，vm0.0，vq0.0到v′5的有向?。贿B接v′5到vC0的有向?。粸榛≠x予權(quán)值.得到的關(guān)系圖，如圖4所示.圖4的關(guān)系圖存在環(huán)結(jié)構(gòu)，但是環(huán)內(nèi)有代表功能模塊的結(jié)點(diǎn)，根據(jù)提出的競態(tài)判據(jù)，該梯形圖不存在競態(tài).

從時序圖的角度觀察，如圖5所示.從圖5中可以看出：輸出Q0.0的變化是由計數(shù)器C0到達(dá)預(yù)設(shè)值引發(fā)的，當(dāng)計數(shù)器C0為低電平時，輸出Q0.0為低電平，根據(jù)競態(tài)的定義可知，梯形圖不存在競態(tài).

圖3 不存在競態(tài)的梯形圖Fig.3 A ladder diagram free of race

圖4 圖3梯形圖的關(guān)系圖模型Fig.4 Relation graphs model of ladder diagram shown in figure 3

圖5 圖3梯形圖的時序圖Fig.5 Timing chart of ladder diagram shown in figure 3

6 結(jié)束語

競態(tài)本質(zhì)上是由梯形圖內(nèi)部觸點(diǎn)以及梯級的排列順序產(chǎn)生的，即梯形圖的結(jié)構(gòu)影響到競態(tài)的產(chǎn)生.所以從梯形圖的結(jié)構(gòu)入手，提出了用關(guān)系圖來描述梯形圖的邏輯關(guān)系，從而快速的判斷出梯形圖不存在競態(tài).當(dāng)需要檢測一個大型梯形圖程序是否存在競態(tài)，傳統(tǒng)的模型檢測會耗費(fèi)大量的時間，文中為競態(tài)的檢測提出了一個新的思想.通過將梯形圖轉(zhuǎn)化為關(guān)系圖，根據(jù)所提出的充分條件，可以較快的判斷梯形圖不存在競態(tài).為了實現(xiàn)構(gòu)建過程的自動化及完善關(guān)系圖的判斷方法，未來的工作主要是基于提出的方法給出轉(zhuǎn)化算法，并給出梯形圖存在競態(tài)在關(guān)系圖中的充分條件.

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