羅智文，趙文祥，焦黎，王西彬，譚方浩，劉志兵，梁志強

（北京理工大學先進加工技術國防重點學科實驗室，北京100081）

平面曲線端銑加工過程銑削力的建模與預測

羅智文，趙文祥，焦黎，王西彬，譚方浩，劉志兵，梁志強

（北京理工大學先進加工技術國防重點學科實驗室，北京100081）

針對平面曲線端銑加工過程，提出一種考慮瞬時進給方向的銑削力預測方法。銑削加工時每齒進給量、切入/切出角以及瞬時切屑厚度等銑削參量隨著曲線曲率的改變而變化，將單個頻齒周期內的曲線加工過程看做是一系列銑削條件恒定的微小穩(wěn)態(tài)加工過程，建立了等效進給量、切入/切出角的矢量計算模型，通過計算每一微小階段的銑削參量，推導了平面曲線端銑中基于傅里葉級數(shù)展開的銑削力模型。以PCrNi3MoVA鋼為工件材料，分別進行圓弧和Bezier曲線端銑加工試驗，試驗結果表明，預測的銑削力在幅值和變化趨勢上與試驗測量結果吻合良好，驗證了該銑削力預測方法的有效性。

機械制造工藝與設備；銑削力；矢量模型；平面曲線端銑；傅里葉級數(shù)展開

0 引言

在航空航天、兵器、汽車船舶等國家重點發(fā)展行業(yè)當中，平面曲線端銑加工有廣泛的應用背景。銑削加工時，刀具與工件的嚙合狀態(tài)不斷發(fā)生變化，銑削力大小與方向的變化不同于直線銑削［1］，而銑削力是一個綜合反映銑削加工過程的重要物理量，諸如刀具顫振、磨損、破損以及工件加工變形、失穩(wěn)等均與其有著直接的關系，因此關于曲線端銑中銑削力的研究具有重要的理論意義和實際價值。

Zhang等根據(jù)圓角銑削過程中圓角幾何變化，將銑削過程分為4個階段，建立了圓角銑削力模型［2］。李忠群等為避免在圓角銑削加工中產生顫振，推導了均勻切寬圓角和非均勻切寬圓角銑削下的銑削力模型［3］。Wu等應用flute-average法消除刀具跳動量影響后，建立了連續(xù)切深變化下的圓弧銑削力模型［4］。Han等［5］和Banerjee等［6］在圓角銑削中，分別基于近似圓弧和真實的刀刃軌跡提出了新的瞬時切屑厚度計算方法，推導了一種改進后的銑削力模型。然而上述基于圓角這一特殊曲線建立的銑削力模型，并不能適用于一般的曲線端銑。

Rao等對比分析了曲線銑削下基于刀刃的圓弧運動軌跡以及真實運動軌跡的兩種銑削力模型的計算精度［7］。Desai等討論了Bezier曲線和渦輪葉片曲線端銑中，加工方向及刀具直徑的改變與每齒進給量、切入角與切出角、最大未變形切屑厚度之間的關系，另外考慮刀具跳動量的影響，分析了刀具跳動量影響的銑削力變化情況［8-9］。Sun等以向量法研究曲線端銑中，刀具跳動量對瞬時未變形切屑厚度、切入角與切出角、切削力系數(shù)等參數(shù)變化的影響，建立了基于向量的銑削力模型［10］。但上述研究方法均未考慮瞬時進給方向變化對銑削力的影響。Yang等提出了一種在直線逼近和圓弧逼近進刀方式下的刀具位置快速定位方法，推導了一種曲線端銑銑削力模型［11］。Wei等在型腔與曲線端銑中，建立了非均勻B樣條逼近與直線逼近兩種進刀方式下的銑削力模型［12-13］。然而上述研究方法均針對曲線的等徑向切深銑削，沒有考慮曲線在變徑向切深銑削下的銑削參量變化及對銑削力的影響。Qi等基于擺線齒輪工藝幾何模型，推導出瞬時切屑厚度、切入角與切出角表達式，采用Newton-Raphson迭代算法，預測出加工擺線齒輪輪廓的銑削力［14-15］。但面向較為復雜的曲線端銑，迭代算法的效率還亟待解決。Lotifi等［16］和Ferry等［17］分別就Pythagorean-hodograph曲線和噴氣式飛機發(fā)動機葉輪銑削建立了基于摩擦角、剪切角、剪切應力等參數(shù)的銑削力模型。Lu等利用有限元法分析對比了溝槽成型中，工件曲率對犁切力的影響［18］。但獲取上述銑削力模型參數(shù)一般需結合仿真實驗［19］，不易廣泛應用。

本文以平面曲線端銑為研究對象，將單個頻齒周期內的銑削加工過程看做是微小的穩(wěn)態(tài)加工，通過矢量計算某一微小階段的等效進給量、切入/切出角、瞬時切屑厚度等銑削參數(shù)，建立了基于傅里葉級數(shù)展開的曲線銑削力模型。通過與圓弧和Bezier曲線銑削試驗結果的對比，驗證了該模型的有效性。

1 銑削參量的計算

典型的平面曲線端銑過程如圖1所示。OXYZ為建立在銑削平面內任一點的慣性坐標架，OXY平面與銑刀底部重合。O′X′Y′Z′為銑削過程中的活動坐標架，O′位于銑刀底部中心，Z′軸與銑刀軸線重合，軸X′、Y′方向分別與軸X、Y方向相同。f、n分別為銑刀瞬時進給矢量及法向矢量，其原點與O′重合。工件初始曲線和理想的銑刀中心運動軌跡可分別用矢量表示為

圖1 平面曲線端銑示意圖Fig.1 End milling of curved surface

1.1 等效進給矢量的計算

采用基于曲線曲率的等弓高誤差變步長算法，由計算機輔助制造CAM軟件生成刀位節(jié)點，節(jié)點之間以直線進給方式進行銑削加工。

由于曲線幾何形狀的變化，設置在銑刀中心的每齒進給量并非實際進給量［13］。如圖2（a）所示，分別為曲線端銑削時，銑刀進給方向上相鄰的3個刀位節(jié)點。銑刀中心O′n在節(jié)點處的進給矢量為

進給矢量方向角為

圖2 每齒等效進給矢量示意圖Fig.2 Equivalent feed per tooth of curved surface

進給矢量的單位法向向量為

式中:R為刀具半徑；aw為徑向切深。

1.2 切入/切出矢量的計算

圖3所示為平面曲線的逆銑加工，可分為切入（t1）、連續(xù)銑削（t2）以及切出（t3）等3個階段，分別用ren、rex表示切入和切出矢量，其中|ren|=|rex|= R.

在連續(xù)銑削階段，當?shù)毒咧睆竭h遠大于每齒進給量時，可認為切入角θen（t2）等于0°［20］，切出矢量可表示為

特別在等徑向切深銑削中，pt（t2）與pw（t2）之間滿足

解得切出矢量rex（t2）后，則切出角

在切入階段，刀具從工件邊界切入，刀具中心點（xt（t1），yt（t1），0）與工件邊界切入點（0，yen，0）之間滿足

解出yen后即可得切入矢量為

則切入角可表示為

切出角θex（t1）求法與θex（t2）相同。

同理可得在切出階段切入角θen（t3）等于0°，切出角

2 銑削力建模

銑削過程中軸向切深ap＞1 mm時，可忽略端刃上的切削力［21］，僅考慮側刃在切削過程中產生的剪切力和刃口力。如圖1所示，將刀具沿軸向微分，取第j刃上軸向高度z處的一段銑削刃微元Ij，Z為研究對象，則微元上的銑削力可表示為

式中:θj，Z表示微元Ij，z在銑削過程中的切削角，j=0，1，2，…，N-1，N為刀具刃數(shù)；dFt、dFr、dFa分別表示微元Ij，z上的切向力、徑向力和軸向力；Ktc、Krc、Kac分別表示切向、徑向和軸向剪切力系數(shù)；Kte、Kre、Kae分別表示切向、徑向和軸向刃口力系數(shù)；h（θj，Z）表示微元Ij，Z在θj，Z處的瞬時切屑厚度［20］，

圖3 逆銑加工過程不同階段的切入角與切出角Fig.3 Entry/exit angles at different stages in up milling

dz、dl分別表示微元刃高度和長度，

其中β為銑刀螺旋角；g（θj，Z）為單位階躍函數(shù)，

圖4為逆銑過程中微元銑削力示意圖。將微元Ij，z上銑削力分解到瞬時進給方向f及其法向n后，通過矩陣旋轉可得微元銑削力在慣性坐標架OXYZ中表達式:

圖4 逆銑加工過程中微元銑削力示意圖Fig.4 Differential forces modeling in up milling

將（15）式代入（19）式后展開有

微元Ij，Z處的切削角可表示為

k為進給矢量方向角。

單位階躍函數(shù)g（θj，Z）用傅里葉級數(shù)展開后有

式中:

（22）式、（24）式代入（20）式后，將其沿軸向積分并對每個刀齒求和，可得到作用在整個刀具上的銑削力:

式中:

式中:ap為軸向切深。

將（26）式展開后積分并整理，得銑削力計算公式:

式中:

3 試驗驗證與分析

為驗證所建立的銑削力預測模型的有效性，分別設計了圓弧及Bezier曲線端銑試驗。圓弧端銑試驗中，設計的銑刀中心運動軌跡參數(shù)方程為

Bezier曲線端銑試驗中，設計的銑刀中心運動軌跡方程為

圖5分別展示了圓弧與Bezier曲線端銑試驗中模擬的銑刀中心以及刀刃運動軌跡。

圖5 銑削加工時刀刃及刀具中心運動軌跡Fig.5 The tooth and tool center trajectory in the end milling of curved surfaces

3.1 試驗條件

銑削試驗在5軸加工中心DMG-mono80進行，利用Kisler9257B測力平臺采集銑削力數(shù)據(jù)，采樣頻率1 kHz.工件為PCrNi3MoVA鋼，采用以下兩種刀具:1）三刃方肩銑刀，其中刀柄牌號為SECO E9304-5820-1060，刀頭牌號為SECOR217. 69-1020.RE-09.3AN，刀片牌號為SECO XOMX-090308TR-M08-MP1500，刀具直徑20 mm，螺旋角9°；2）四刃平頭銑刀，牌號為株洲硬質合金PM-4ELD10，刀具直徑10 mm，螺旋角45°.工件、刀具及試驗裝置如圖6所示。

圖6 試驗裝置及工件Fig.6 Experimental setup and workpieces

共設計兩組銑削試驗:試驗1為圓弧等徑向切深端銑，試驗2為Bezier曲線變徑向切深端銑。徑向切深變化見圖7，具體銑削試驗參數(shù)見表1.文中所需的銑削力系數(shù)采用文獻［22］中的方法，進行直線槽銑試驗標定得到，表2為試驗測得的兩種刀具下銑削力模型系數(shù)。

表1 銑削試驗參數(shù)Tab.1 Parameters of milling experiments

圖7 Bezier曲線端銑中徑向切深變化示意圖Fig.7 Variable radial depth in end milling of Bezier surface

3.2 試驗結果及討論

圖8為圓弧曲線端銑的銑削力試驗值與預測值對比圖，分為切入、連續(xù)切削以及切出3個階段。Bezier曲線端銑試驗中，刀具銑至曲線終點時上提脫離工件，退刀產生的力不在研究范圍內，如圖9，銑削力僅展示切入和連續(xù)切削兩個階段。

在銑削條件不變的情況下，等曲率曲線端銑中的等效進給量、切入角與切出角、最大未變形切屑厚度等參量保持恒定，而軸向力FZ不受瞬時進給方向變化的影響。因此在圓弧端銑中，連續(xù)切削階段的軸向力FZ值域保持恒定，在Bezier曲線端銑中，連續(xù)切削階段的軸向力FZ值域則發(fā)生連續(xù)變化。

圖7所示Bezier曲線端銑中，當?shù)毒咧行脑趹T性坐標架OXYZ中位于坐標（40 mm，20 mm）時，有最小徑向切深aw=0.33 mm.對比圖9中試驗及預測的銑削力，F(xiàn)X、FY、FZ等在沿刀具軌跡移動距離38.35 mm附近出現(xiàn)極小值，對應刀具中心坐標（39.12 mm，15.56 mm），顯然銑削力極小值并未出現(xiàn)在徑向切深最小處，相對刀具中心橫坐標有0.88 mm的偏移，其產生偏移量的大小與曲線曲率和刀具直徑大小有關，偏移方向則與進給方向有關［9］。

測量的銑削力存在一些小幅的干擾信號，這些干擾信號存在的原因包括:1）銑削力測量系統(tǒng)中存在零點漂移。2）銑削過程中的刀具跳動量和撓曲變形對銑削力的影響。3）銑削過程中產生的振動。另外銑削力計算模型中傅里葉級數(shù)階數(shù)的取值，會產生截斷誤差，在計算時間允許的范圍內，可以適當增大階數(shù)取值，以減小截斷誤差影響。

忽略上述干擾因素的影響，從圓弧與Bezier曲線銑削力試驗對比結果可以看出，預測的銑削力和試驗值在幅值和變化趨勢上吻合良好。可見，本文提出的銑削力模型能夠很好地預測平面曲線端銑中的銑削力，從而驗證了該模型的可靠性。

4 結論

1）建立了平面曲線端銑中等效進給量、切入角與切出角的矢量計算模型。

2）采用微分方法，基于傅里葉級數(shù)展開推導了一種銑削力預測模型。

3）銑削試驗結果表明，本文提出的銑削力模型能夠很好地預測平面曲線端銑中銑削力幅值及其變化趨勢。

圖8 圓弧曲線端銑試驗中銑削力試驗值與預測值對比圖Fig.8 Comparison of measured and predicted cutting forces in end milling of circular curved surface

圖9 Bezier曲線端銑試驗中銑削力試驗值與預測值對比圖Fig.9 Comparison of measured and predicted cutting forces for the end milling of Bezier curved surface

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Modeling and Prediction of Cutting Forces in End Milling of Curved Surfaces

LUO Zhi-wen，ZHAO Wen-xiang，JIAO Li，WANG Xi-bin，TAN Fang-hao，LIU Zhi-bing，LIANG Zhi-qiang
（Key laboratory of Fundamental Science for Advanced Machining，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

A novel mechanistic cutting force model is presented for end milling of curved surfaces，including the effect of instantaneous feed direction.In machining of curved geometries where the curvature varies continuously along tool path，the cutting parameters，such as feed per tooth，entry/exit angle，and instantaneous undeformed chip thickness，vary along tool path.The cutting process of curved surface is discretized into a series of steady-state cutting processes at intervals of feed per tooth，and a vector model for these parameters of each segmented cutting process is presented.The Fourier series expansion is used for deriving the cutting force model.Combined with the milling force coefficients fitted by a series of slot milling tests，the predicted cutting forces in machining PCrNi3MoVA workpiece with circular and Bezier curve geometries are achieved，respectively.The prediction accuracy of the model is validated experimentally and the predicted and measured results correspond well with each other.

manufaturing technolgy and equipment；cutting force；vector model；end milling of curved surfaces；Fourier series expansion

TG506

A

1000-1093（2015）09-1727-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.09.018

2015-01-09

國家自然科學基金項目（51103035、51375055）

羅智文（1983—），男，博士研究生。E-mail:lzw81225@gmail.com；焦黎（1975—），女，副教授。E-mail:jiaoli@bit.edu.cn