趙繼廣，閆　梁，李　轅，白國玉（.裝備學(xué)院科研部，北京046；.裝備學(xué)院研究生管理大隊，北京046）

順/逆軌攔截高速目標(biāo)制導(dǎo)律性能對比研究

趙繼廣1，閆梁2，李轅2，白國玉2
（1.裝備學(xué)院科研部，北京101416；2.裝備學(xué)院研究生管理大隊，北京101416）

負比例制導(dǎo)（Retro-proportional Navigation，RPN）是一種新的制導(dǎo)律研究成果。使用負比例系數(shù)，順軌攔截目標(biāo)加速度方向與傳統(tǒng)的比例制導(dǎo)（Proportional Navigation，PN）相反。推導(dǎo)了PN/RPN的線性形式及逆/順軌攔截時的物理量差異，給出了比例系數(shù)的范圍，以及所能攔截目標(biāo)的速度范圍；用伴隨法分析了航向角誤差、目標(biāo)加速度對脫靶量的影響；最后通過仿真分析了PN/RPN的捕獲區(qū)域及彈道特性。

制導(dǎo)律；比例制導(dǎo)；負比例制導(dǎo)；脫靶量；高速目標(biāo)

攔截高速目標(biāo)（目標(biāo)速度高于攔截彈速度）的制導(dǎo)律設(shè)計是一項富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。針對此問題，以往的制導(dǎo)律大多基于比例制導(dǎo)（PN）［1］75，并且可按照攔截模式劃分為逆軌攔截和順軌攔截2種類型。對于逆軌攔截模式，研究成果較多。Takeshi［2］等設(shè)計了改進的比例制導(dǎo)律并推導(dǎo)了碰撞區(qū)域。Lin［3］和Tyan［4］等設(shè)計了三維純比例制導(dǎo)律并推導(dǎo)了捕獲區(qū)域。Taur［5］推導(dǎo)了改進的擴展增廣比例制導(dǎo)（Augmented Proportional Navigation，APN），在末段攔截高超聲速目標(biāo)。順軌攔截的優(yōu)勢在于彈目接近速度低，所需過載小，但相應(yīng)的研究成果較少。2012年，Prasanna［6］377提出了負比例制導(dǎo)律（RPN）。RPN與PN相比，RPN使用負比例系數(shù)，加速度方向與比例制導(dǎo)律相反，順軌攔截模式攔截目標(biāo)；PN使用正比例系數(shù)，逆軌攔截模式攔截目標(biāo)。Prasanna突破了傳統(tǒng)學(xué)者認為比例制導(dǎo)律的比例系數(shù)只能取正的觀念，分析了非線性RPN制導(dǎo)律的特性，但未從理論上證明比例系數(shù)為負的原因。

線性制導(dǎo)律［7］是在一定的幾何關(guān)系下，將角度近似為“小角度”，從而消除三角函數(shù)得到的線性制導(dǎo)指令。雖然線性制導(dǎo)律是基于三角函數(shù)的“小角度”近似得到的，同樣可適用于“大角度”的情況。線性制導(dǎo)律較非線性制導(dǎo)律可進一步分析制導(dǎo)律的特性，例如，使用伴隨法可分析初始航向角誤差、目標(biāo)加速度對脫靶量的影響［8］。為此，本文給出了RPN/PN的線性形式，分析了比例系數(shù)的范圍，對比研究了RPN/PN的脫靶量、捕獲區(qū)域等制導(dǎo)性能，進一步明確了順/逆軌攔截高速目標(biāo)的優(yōu)缺點。

1　PN/RPN制導(dǎo)方程

1.1幾何關(guān)系及基礎(chǔ)理論

若目標(biāo)為高速目標(biāo)，攔截彈能成功攔截的必要條件是攔截彈須位于目標(biāo)銳角視線方向。攔截彈與目標(biāo)的幾何關(guān)系如圖1所示，攔截器與目標(biāo)被考慮為質(zhì)點，速度恒定，目標(biāo)水平飛行，忽略重力影響［6］378。R為彈目距離，λ為視線角（LOS），θ為攔截彈框架角（航向角誤差），γ為攔截彈的航跡角，vm為攔截彈速度，vt為目標(biāo)速度，aPN，aR P N為攔截彈加速度。若視線角λ較小，根據(jù)圖1中的三角關(guān)系將視線角近似為

式中：y為攔截彈與目標(biāo)的鉛垂距離。式（1）對t微分，得到視線角速率˙λ

圖1　順/逆攔截模式的平面幾何關(guān)系

式中：tgo為剩余攔截時間；˙y為y方向相對速度；R=vctgo，vc為接近速度。

1.2PN/RPN制導(dǎo)指令

根據(jù)PN的定義［1］77，

式中：N為比例系數(shù)；am為攔截彈的加速度。將式（2）代入式（3），得到P N制導(dǎo)指令

根據(jù)RPN的定義［6］378

可得RPN的制導(dǎo)方程為

1.3逆/順軌攔截模式物理量的區(qū)別

因線性條件下無三角函數(shù)，接近速度vc、相對速度、相對加速度¨y由于三角函數(shù)的近似而不同。由圖1的幾何關(guān)系可得，vc，，在非線性條件下計算為

若λ較小，對逆軌攔截模式，γ較小；對于順軌攔截模式π-γ較小，則vc，，可近似如表1所示。

表1　逆/順軌攔截模式物理量的區(qū)別

2　相關(guān)引理及定義

引理1如果攔截彈采用比例制導(dǎo)律，其導(dǎo)航比N可以為正也可以為負，范圍滿足

證明：由圖1的幾何關(guān)系，視線的轉(zhuǎn)動速率乘以彈目距離表示為

沿視線的速度分量為

攔截彈的航跡角變化率為

對式（11）求導(dǎo)得

將式（12）、式（13）代入式（14）中得

由式（12）、式（13）及式（15）組成了非線性條件下的比例制導(dǎo)方程。通常比例系數(shù)N為正數(shù)，即傳統(tǒng)的逆軌攔截方式。

令γ-λ=θ，解不等式（17）

當(dāng)cosθ＞0時，

當(dāng)cosθ＜0時，

當(dāng)導(dǎo)航比N為正值時，需滿足式（18），攔截模式為逆軌攔截，路徑如圖1a）中DPPN所示；當(dāng)導(dǎo)航比N取值為負時，即為RPN制導(dǎo)律，N需滿足式（19），攔截模式為順軌攔截，路徑如圖1b）中DRRPN所示。證畢。

因本文所研究的攔截對象為高速目標(biāo)，有必要給出攔截彈與目標(biāo)的速度比范圍。

引理2為確保攔截成功，必須保證攔截彈與目標(biāo)的速度比

證明：由于目標(biāo)速度高于攔截彈速度，所以β＞1。當(dāng)彈目距離R→0時，通過式（11）可推得

3　仿真研究

3.1脫靶量對比

制導(dǎo)律的脫靶量一般使用伴隨方法分析。該方法將脈沖信號作用于制導(dǎo)的伴隨系統(tǒng)中，得到系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)，即為脫靶量。其優(yōu)勢在于僅通過一次仿真便可得到影響因素（攔截彈航向角誤差、目標(biāo)加速度）對脫靶量的影響。

將導(dǎo)引頭近似為一階微分環(huán)節(jié)s，且不考慮噪聲影響。將飛控系統(tǒng)近似為一階慣性環(huán)節(jié)G（s）=1/（sT+1），時間常數(shù)T=0.5s。根據(jù)第1節(jié)的線性化方程，得到伴隨系統(tǒng)框圖如圖2所示。

圖2　PN/RPN制導(dǎo)系統(tǒng)伴隨結(jié)構(gòu)圖

仿真參數(shù)：vm=600m/s；vt=1100m/s；逆軌攔截的接近速度vc=1700m/s；順軌攔截的接近速度vc=500m/s；初始視線角λi=0°；攔截時間tf=14s；仿真步長p=0.0001s。

3.1.1航向角誤差對脫靶量的影響

由圖3可知，對于PN、RPN，隨著航向角誤差的增大，脫靶量增大。隨著比例系數(shù)的增大，脫靶量減小。RPN選取較小的比例系數(shù)即可在一定的時間內(nèi)保證脫靶量為0，PN在比例系數(shù)較小時，脫靶量呈發(fā)散趨勢。

圖　3航向角誤差對脫靶量的影響

由式（3），式（5）可知，較大的比例系數(shù)在相同的視線角速率的情況下，攔截彈的加速度較大。這保證在相同的攔截時間內(nèi)能較快的調(diào)整攔截彈的航向角，以達到較小的脫靶量。由表1可知，逆軌攔截較順軌攔截的接近速度大，在相同的彈目距離攔截時間較小，這就說明逆軌攔截較順軌攔截需要更大的加速度調(diào)整航跡角。

3.1.2目標(biāo)加速度對脫靶量的影響

由圖4可知：

1）隨著目標(biāo)加速度的增加，PN/RPN脫靶量隨之增大，但是RPN能在較短的時間內(nèi)收斂到0。

2）比例系數(shù)的增大減小PN、RPN的脫靶量。因此，比例系數(shù)的增大能有效減小脫靶量，增加脫靶量的收斂程度和速度。同時，比例系數(shù)的增大也會增加制導(dǎo)系統(tǒng)對噪聲的敏感性，導(dǎo)致制導(dǎo)系統(tǒng)抗干擾性能變低，進而增大脫靶量，同時給控制系統(tǒng)增加了負擔(dān)。

在設(shè)計制導(dǎo)系統(tǒng)時需考慮比例系數(shù)、制導(dǎo)性能、制導(dǎo)系統(tǒng)等因素，選擇適宜的比例系數(shù)。

3.2捕獲區(qū)域?qū)Ρ?/p>

捕獲區(qū)域是制導(dǎo)律的主要評判指標(biāo)，其定義為［6］383：在有效打擊目標(biāo)并滿足一定的約束條件的攔截彈航跡角的集合。

圖中顯示，①在一定的初始視線角情況下，隨著比例系數(shù)絕對值的增大，PN/RPN的捕獲區(qū)域隨之增大。②在相同的初始條件下，RPN較PN捕獲區(qū)域大。栛當(dāng)N=3時，PN的捕獲區(qū)域為空。

圖4　目標(biāo)加速度對脫靶量的影響

圖5　PN/RPN捕獲區(qū)域

3.3彈道特性對比

表2　攔截高速目標(biāo)方案參數(shù)

圖6　PN/RPN彈道特性仿真

因此，對于攔截高速目標(biāo)，順軌攔截的優(yōu)勢在于脫靶量稍小于PN，控制力優(yōu)勢較為明顯，遭遇點的需求過載較小。缺點是攔截時間較長，且不能將導(dǎo)引頭始終對準(zhǔn)目標(biāo)。這就需要導(dǎo)引頭有較大的視角或者采用指令導(dǎo)引的方式，提供目標(biāo)的位置、速度等信息。

4　結(jié)　論

以高速目標(biāo)為例，對比分析了RPN/PN的脫靶量，捕獲區(qū)域及彈道特性，得出：

1）RPN的脫靶量較PN受航向角誤差及目標(biāo)加速度影響小，且收斂速度快。在比例系數(shù)絕對值較小的情況，RPN仍能保證脫靶量為0m。

2）RPN較PN的捕獲區(qū)域大。

3）RPN較PN控制力小，遭遇點的需求過載較小。

4）RPN較PN攔截時間長，且不能將導(dǎo)引頭始終對準(zhǔn)目標(biāo)。這就需要導(dǎo)引頭有較大的視角或者采用指令導(dǎo)引的方式，提供目標(biāo)狀態(tài)信息。

（References）

［1］MURTAUGH A S，CRIEL H E.Fundamentals of proportional navigation［J］.IEEE Spectrum，1966，3（12）：75-85.

［2］TAKESHI K，F(xiàn)UMIAKI I.Advanced missile guidance system against a very high speed maneuvering target［M］.California：American Institute of Aeronautics and Astronautics，1989：123-125.

［3］LIN Y P，LIN C L，LI Y H.Development of 3-D modified proportional navigation guidance law against high-speed targets［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2013，49（1）：677-687.

［4］TYAN F，SHEN J F.Capture region of a three dimensional PPN guidance law against a high speed-nonmaneuvering target［C］//American Control Conference.IEEE Explore.Seattle，WA：Institute of Electrical and Electronics Engineers Inc，2008：3488-3493.

［5］TAUR D R.Composite guidance and navigation strategy for a SAM against high-speed target［M］.California：American Institute of Aeronautics and Astronautics，2003：179-181.

［6］PRASANNA H M，GHOSE D.Retro-proportional-navigation：a new guidance law for interception of high-speed targets［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2012，35（2）：377-386.

［7］閆梁，李轅，趙繼廣，等.基于變節(jié)點虛擬域動態(tài)逆的軌跡實時優(yōu)化［J］.航空學(xué)報，2013，34（12）：2794-2803.

［8］閆梁，趙繼廣，李轅，等.帶約束碰撞角的順/逆軌制導(dǎo)律設(shè)計［J/OL］.北航學(xué)報，http://www.cnki.net/KCMS/detail/10.13700/j.bh.1001-5065.2014.0369.html.

（編輯：李江濤）

A Comparative Study on Head-pursuit or Head-on Engagement Guidance Law Against with High-speed Target

ZHAO Jiguang1，YAN Liang2，LI Yuan2，BAI Guoyu2
（1.Scientific Research Department，Equipment Academy，Beijing 101416，China；
2.Department of Graduate Management，Equipment Academy，Beijing 101416，China）

Retro-proportional navigation（RPN）is an innovation achievement of guidance law research，which intercepts target with negative navigation ratio in head-pursuit engagement.Its acceleration direction is opposite with conventional proportional navigation（PN）.This paper deduces the linear form of PN/RPN and difference of physical quantity and derives the range of navigation ratio and speed range of target.The paper also analyzes miss distances due to heading error and target acceleration with adjoint method.At the end，the paper concludes the capture region and trajectories by simulation analysis.

guidance law；proportional navigation（PN）；retro-proportional navigation（RPN）；miss distance；high-speed targets

V412.1

2095-3828（2015）02-0068-06

ADOI 10.3783/j.issn.2095-3828.2012.02.016

2014-06-20

部委級資助項目

趙繼廣（1967-），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為航天任務(wù)分析與設(shè)計。