盧遠(yuǎn)宏 鄭瓊林 馬 亮

（1. 北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院 北京 100044 2. 北京京儀綠能電力系統(tǒng)工程有限公司 北京 100009）

1 引言

空間矢量調(diào)制（SVPWM）與正弦脈寬調(diào)制（SPWM）這兩種調(diào)制方法具有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。SVPWM有電壓利用率高、易于數(shù)字化[1-4]、運(yùn)算量小和諧波畸變少等優(yōu)點(diǎn)[5-8]，SPWM具有易于硬件實(shí)現(xiàn)、計(jì)算簡(jiǎn)單和易于建模等優(yōu)點(diǎn)，但其電壓利用率比SVPWM低約15%。通過(guò)分析SVPWM和SPWM方法之間的內(nèi)在關(guān)系，建立了兩者的統(tǒng)一調(diào)制函數(shù)表達(dá)式[9,10]，基于零序空間矢量基本函數(shù)確定的零序分量，建立從載波角度研究SVPWM的新方法，具有計(jì)算簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)[11-14]。但這些研究主要基于abc三相平面坐標(biāo)系[15]、αβ兩相靜止平面坐標(biāo)系[16]和 dq兩相旋轉(zhuǎn)平面坐標(biāo)系，均為二維平面坐標(biāo)系，對(duì)于調(diào)制波本身尤其是其零序分量沒(méi)有直觀的幾何表示。還有一些文章都用到了空間坐標(biāo)系研究電壓[17-19]，但其建立的并不是數(shù)學(xué)上常用的3軸正交的空間直角坐標(biāo)系，而是 4軸耦合空間坐標(biāo)系，研究對(duì)象也為3P4W系統(tǒng)。文獻(xiàn)[15]提出abc坐標(biāo)下對(duì)SVPWM算法實(shí)現(xiàn)方法進(jìn)行了研究，避免了αβ和dq坐標(biāo)變換，計(jì)算簡(jiǎn)單快速，有一定參考價(jià)值。

本文第一部分建立空間直角坐標(biāo)系xyzO，提出三維空間調(diào)制波矢量的概念和研究方法，將三相調(diào)制波分別作為三維矢量的三個(gè)坐標(biāo)，在空間直角坐標(biāo)系中研究其運(yùn)行軌跡和分布范圍，可以直觀得到調(diào)制波零序矢量的物理含義。計(jì)算過(guò)程無(wú)需坐標(biāo)變換，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。

本文的第二部分對(duì)調(diào)制波矢量允許添加的零序范圍做了計(jì)算，添加不同的零序矢量，可以分別得到SPWM和SVPWM的解析表達(dá)式，使調(diào)制方法與控制策略及硬件建模成為一個(gè)解析的整體，便于分析研究。對(duì)于任何調(diào)制波矢量，均有其相對(duì)的零序矢量范圍，可給出判斷過(guò)調(diào)制的條件。

本文的第三部分，討論了添加不同的零序矢量分析對(duì)SVPWM的影響，并利用Matlab仿真和分析。第四部分對(duì)仿真進(jìn)行硬件實(shí)驗(yàn)。

2 三維矢量表示三相物理量

2.1 構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系

構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系xyzO，以三相電網(wǎng)電壓為例，將三相電壓分別作為空間直角坐標(biāo)系中矢量E的三個(gè)坐標(biāo)，設(shè)定E為理想的正弦波形，滿足

以解析幾何角度理解，式（1）表示以t為參變量的空間曲線參數(shù)方程，容易推出以x、y、z為變量的空間曲線方程

定義正負(fù)序平面 ∏pn:x+y+z=0 ，垂直于法向量 (1,1,1)=n。對(duì)任意一個(gè)三維矢量，均可分解為三個(gè)分量即正序、負(fù)序、零序矢量，其中正序與負(fù)序位于∏pn上，零序垂直于∏pn，平行于n。

由空間解析幾何定理易得，矢量分解

正負(fù)序矢量

零序矢量

圓周C、E、Epn、E0、n與∏pn的空間位置如圖1所示。

圖1 三維矢量在空間直角坐標(biāo)系中的表示Fig.1 3D vector in space Cartesian coordinate system

2.2 3P3W逆變器的三維矢量建模

3P3W下逆變器電路如圖2所示。以Sk（k=a,b,c)表示上、下橋臂的狀態(tài)為

圖2 3P3W下逆變器電路Fig.2 Three phases two levels inverter curcuit

則橋臂電壓滿足

設(shè)上橋臂開(kāi)通時(shí)間為T(mén)on，關(guān)斷時(shí)間為T(mén)off，對(duì)

式（8）在一個(gè)開(kāi)關(guān)周期內(nèi)積分得

式（9）等號(hào)兩邊同時(shí)除以Ts得

考慮開(kāi)關(guān)頻率較高情況下，高頻分量很小，本文僅分析低于開(kāi)關(guān)頻率次的分量，所以忽略高次諧波得

定義瞬時(shí)調(diào)制波Dk(k=a ,b,c)如下

則易得

從式（15）看出，當(dāng)Dk超出區(qū)間[-1,1]范圍時(shí)，Vsk波形出現(xiàn)畸變，不再和Dk保持線性關(guān)系，無(wú)法有效利用直流電壓，發(fā)生過(guò)調(diào)制。所以Dk∈[- 1 ,1]為不發(fā)生過(guò)調(diào)制的條件。

與式（1）類(lèi)似，定義D為調(diào)制波矢量。

對(duì)圖2逆變器進(jìn)行三維矢量數(shù)學(xué)建模，將橋臂相電壓Vsk，阻抗兩端電壓VZk，電網(wǎng)相電壓Ek，負(fù)載電流Ik這些三相物理量均用三維矢量表示，令交流中性點(diǎn)電壓VN為參考電壓零點(diǎn)，則交流側(cè)存在

對(duì)于3P3W系統(tǒng)，存在約束條件

式（19）與式（6）聯(lián)立得

直流側(cè)存在以下等式

構(gòu)造零序矢量

不發(fā)生過(guò)調(diào)制情況下，對(duì)式（15）進(jìn)行矢量化

將式（5）和式（6）代入式（24）得

由式（17）和式（18）可得

式（6）分別代入式（27）等號(hào)兩邊得

將式（20）代入式（28）得

特殊地，E=零或者平衡情況下

將式（29）、式（30）代入式（24）得

綜上，三個(gè)坐標(biāo)獨(dú)立的三維矢量有E和D，而只含有正、負(fù)序矢量的有Vs和I。式（31）表明，Vs本身不含有零序矢量，與正、負(fù)序矢量有關(guān)而與D的零序矢量無(wú)關(guān)。所以可以通過(guò)控制Dpn來(lái)控制Vs。

2.3 調(diào)制波矢量的空間幾何分布特點(diǎn)

在不發(fā)生過(guò)調(diào)制的情況下，調(diào)制波矢量的三個(gè)坐標(biāo)均屬于[-1,1]區(qū)間，所以調(diào)制波矢量分布在圖3中 ABCDEFGH 8個(gè)頂點(diǎn)所確定的空間正方體內(nèi)，將正方體按A-O-G方向投影到正負(fù)序平面∏pn的投影圖，如圖4所示。

圖3 調(diào)制波矢量的空間幾何分布Fig.3 Distribution of modulation wave vector space rectangular coordinate system

圖4 正方體在正負(fù)序平面的投影Fig.4 The projection of the cube in the plane of positive and negative sequence

所述正方體具有如下特點(diǎn)：

（1）正方體六個(gè)面的方程分別是x=±1 ,y=± 1 ,z=±1，正方體的中心位于原點(diǎn)，并關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)軸中心對(duì)稱(chēng)。

（2）正方體的8個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)見(jiàn)表1。

（3）正方體與正負(fù)序平面相交的截面是正六邊形，稱(chēng)之為“截面正六邊形”，如圖4所示，此六邊形的頂點(diǎn)為S1、S2、…、S6，依次平分線段FB、BC、CD、DH、HE、EF，各點(diǎn)坐標(biāo)見(jiàn)表。

表 空間正方體中各點(diǎn)的坐標(biāo)Tab. The vertex coordinates of the cube

（4）將正方體向正負(fù)序平面投影，投影圖形的外輪廓線也是正六邊形，稱(chēng)之為“投影正六邊形”，如圖4所示。六邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)見(jiàn)上表。

（5）截面正六邊形外接圓與投影正六邊形內(nèi)切圓相同；投影正六邊形內(nèi)切圓半徑為，截面正六邊形內(nèi)切圓半徑為/2，兩圓半徑比值為2/=1.154 7。

2.4 SPWM與SVPWM的空間幾何表示

下面討論調(diào)制波矢量的正負(fù)零序與調(diào)制方法的關(guān)系。如圖5，取調(diào)制波空間正方體縱截面AGB：

圖5 調(diào)制波空間正方體的縱截面AGBFig.5 Longitudinal section of the cube

圖5中，S12是S1和S2連線的中點(diǎn)，也是S1和S2在縱截面的投影，OS12所在直線是正負(fù)序平面在縱截面的投影。線段AB=2，AG=2，OS12=/2，OB'=。

對(duì)于SPWM調(diào)制方式來(lái)說(shuō)，在正常情況下，三相電網(wǎng)電壓平衡且不發(fā)生過(guò)調(diào)制，其調(diào)制波矢量本身不含零序矢量，也就是調(diào)制波矢量與自身正負(fù)序矢量相等，即

滿足式（32）的幾何圖形正是前文所述的截面正六邊形S1～S6。當(dāng)D位于圖5所示的縱截面AGB時(shí)，D的分布范圍僅限于OS12線段。根據(jù)式（31），當(dāng)Dpn的模取最大值即OS12時(shí)，在相同的Vdc下可以得到最大幅值的Vs。即

當(dāng)D位于所述縱截面之外的正方體內(nèi)時(shí)，可以得到結(jié)論即D取得截面正六邊形邊上的點(diǎn)時(shí)，得到最大的Dpn和最高的電壓利用率。由于O點(diǎn)到截面正六邊形邊上的所有點(diǎn)的距離不相等，到六邊形頂點(diǎn)S1、S2、…、S6最長(zhǎng)，到兩相鄰頂點(diǎn)中點(diǎn)如S12的距離最短，也就是瞬時(shí)的電壓利用率是按六倍工頻周期波動(dòng)的。為了滿足對(duì)不同相角的普適性，取最短距離OS12也就是截面正六邊形內(nèi)切圓半徑作為計(jì)算恒定直流電壓利用率的標(biāo)準(zhǔn)，則計(jì)算出直流電壓利用率為

如果在 SPWM 的調(diào)制波矢量基礎(chǔ)上允許添加零序矢量，同時(shí)保證調(diào)制波矢量位于空間正方體內(nèi)，那么可以適當(dāng)?shù)牧阈蚴噶磕苁笵pn突破SPWM的限制，表達(dá)式為

如圖5b所示，同樣考慮D落在縱截面上，由于不再受D0=0的限制，D可以分布在AGB內(nèi)任何一點(diǎn)（例如D1、D2、D3、D4均可）。過(guò)D作垂直于OS12、并與BA、BG相交所得的線段D0maxD0min，表示D0的允許范圍?？紤]D按D1、D2、D3、D4的順序依次移動(dòng)，D1的零序允許范圍最大且符號(hào)包含正負(fù)；D2的零序允許范圍減小，但是符號(hào)為非負(fù)；D3的零序允許范圍進(jìn)一步減小，但是Dpn已經(jīng)突破了SPWM最大值的限制；最后D4的零序允許范圍僅余一個(gè)點(diǎn)B，但是正負(fù)序矢量達(dá)到了最大值。所以，調(diào)制波矢量的零序矢量的適當(dāng)添加，可以明顯增大正負(fù)序矢量，從而提高電壓利用率。

將D位于縱截面的結(jié)論推廣到整個(gè)正方體內(nèi)，則易得相應(yīng)Dpn的取值范圍擴(kuò)展到了投影正六邊形。與截面正六邊形類(lèi)似，投影正六邊形的內(nèi)切圓表示恒定直流電壓情況下的Dpn的取值范圍，則存在

對(duì)比式（34）和式（36）滿足

式（37）表明，η2比η1的電壓利用率高15.47%，反映了SVPWM電壓利用率相對(duì)高的優(yōu)點(diǎn)，也映證了本文的討論。

綜上，從幾何角度解釋?zhuān)琒PWM下的D被局限于正負(fù)序平面內(nèi)，Dpn=D，所以Dpn被限制在最大半徑為/2的圓內(nèi)，從而限制了Vs的幅值及電壓利用率；而SVPWM的D不局限在正負(fù)序平面，而是在正方體空間內(nèi)，投影后得到的了Dpn的覆蓋范圍相對(duì) SPWM 有明顯擴(kuò)大，從而達(dá)到了最大半徑為的圓內(nèi)，最大限度地提高了Vs的幅值。因此，調(diào)制波矢量的分布方式不同產(chǎn)生了所述兩種調(diào)制方法。

3 利用調(diào)制波矢量構(gòu)造SVPWM

3.1 調(diào)制波矢量的幾何分布范圍

其中滿足

式（38）中γ(t)為t時(shí)刻的零序矢量的一個(gè)分量。Dpn取投影正六邊形內(nèi)切圓周，將圓周在垂直于∏pn的方向上下移動(dòng)，形成軌跡的為圓柱面。正方體的與圓柱面相交的曲面與即為D的允許分布范圍。對(duì)于每一個(gè)Dpn，以其矢量終點(diǎn)，垂直于∏pn作垂線，垂線與正方體的交線段便是允許零序的取值范圍，超過(guò)了這個(gè)范圍，就會(huì)出現(xiàn)過(guò)調(diào)制現(xiàn)象。如圖 5b所示，與Dpn=D1，則零序分量的范圍為[D0min,D0max]。

下面空間解析幾何的角度分析各個(gè)區(qū)域內(nèi)調(diào)制波矢量的特點(diǎn)。以圖4的角F′OS1對(duì)應(yīng)的扇形區(qū)域1為例，區(qū)域1內(nèi)滿足，圓柱面與x=1平面及z=-1平面相交。

根據(jù)幾何定理，在所述區(qū)域內(nèi)圓柱面與平面相交的軌跡曲線是空間橢圓。

平面x=1和圓柱面的聯(lián)立方程為

所以滿足

平面z=-1和圓柱面的聯(lián)立方程為

所以滿足

對(duì)比式（43）和式（47）可得

所以，在區(qū)域1內(nèi)，調(diào)制波矢量零序矢量的坐標(biāo)取值為γx+(t)和γz-(t)組成的包絡(luò)線區(qū)域內(nèi)，并且所有取值均為負(fù)。

同理，可以得到圓柱面與正方體六個(gè)平面交線方程的零序矢量表達(dá)式。零序矢量在各個(gè)區(qū)域的分布范圍如圖6a所示，取零序上、下限的平均值繪制成空間曲面如圖6b所示。

圖6 調(diào)制波矢量的零序分量分布Fig.6 Zero sequence component of modulation wave vector

以上討論了調(diào)制波矢量位于投影正六邊形內(nèi)切圓上的情況，調(diào)制波矢量位于內(nèi)切圓內(nèi)部時(shí)，分析方法類(lèi)似，在此不作詳細(xì)推導(dǎo)。圖6a顯示，零序矢量主體部分的分布呈3倍基波頻率，因此可求得上、下限表達(dá)式。設(shè)定

零序上限表達(dá)式

零序下限表達(dá)式

3.2 利用三維調(diào)制波矢量構(gòu)造SVPWM

為了驗(yàn)證本文提出SVPWM構(gòu)造法是否正確，以及超限是否為過(guò)調(diào)制，下面將以仿真和實(shí)驗(yàn)的形式分析，在含有不同零序矢量的SVPWM下的電壓波形。本文采用零序上、下限加權(quán)疊加的方式來(lái)產(chǎn)生零序矢量：

將權(quán)值m和n不同組合產(chǎn)生的零序矢量注入三相平衡正弦波形來(lái)構(gòu)造SVPWM。

4 仿真結(jié)果與分析

采用Matlab/Simulink進(jìn)行仿真，仿真電路結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖2，設(shè)定交流電壓為零，直流電壓為534V，負(fù)載Z為串聯(lián)RC，其中R=10kΩ，C=2μF，載波頻率為 3kHz。原始調(diào)制波為三相平衡正弦波，幅值為2/，根據(jù)m和n不同，添加零序矢量不同，分為以下5種情況：①m=0，n=0，SPWM過(guò)調(diào)制情況；②m=0，n=1。允許范圍下限；③m=0.5，n=0.5，允許范圍上下限中間值；④m=1，n=0，允許范圍上限；⑤m=3，n=0，SVPWM過(guò)調(diào)制情況。

下面就這五種情況分別討論，采樣電壓為RC端電壓，仿真結(jié)果如圖7所示。

圖 7a～圖 7e的 3個(gè)通道分別為三相調(diào)制波、調(diào)制波零序矢量、三相RC負(fù)載端電壓。圖7a～圖7e為不同加權(quán)配置的對(duì)比，圖7f是調(diào)制波A相與零序矢量的統(tǒng)一比較。下面對(duì)這五種情況分別分析。

圖7 不同加權(quán)零序矢量情況下對(duì)比Fig.7 Comparison among different zero sequence component

圖7a中，加權(quán)因子m=0，n=0，調(diào)制波矢量未添加零序矢量，調(diào)制波由于正弦峰值超過(guò)了1，處于SPWM過(guò)調(diào)制。從表中看出此時(shí)橋臂線電壓THD達(dá)到5.53%，有效值有較小損失。

圖7b、圖7c和圖7d中，加權(quán)因子m、n的作用使得零序矢量由本文給出的下限逐漸過(guò)渡到上限。全過(guò)程中，電壓波形基本為正弦；橋臂電壓THD較?。挥行е祹缀鯚o(wú)損失。

圖7e中，加權(quán)因子m=3，n=0，添加的零序矢量達(dá)到允許上限的3倍，處于SVPWM過(guò)調(diào)制。看到調(diào)制波在原正弦波峰谷處明顯下陷，橋臂電壓波形明顯畸變，THD達(dá)到23.29%，有效值有較大損失。

從圖7f可以看到圖7a～圖7e詳細(xì)的漸變過(guò)程。

綜上，Matlab仿真證明了利用調(diào)制波矢量構(gòu)造SVPWM 方法是正確和有效的，能有效提高電壓利用率，且給出的允許零序范圍是正確的。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

利用500kW逆變器并網(wǎng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，設(shè)定直流電壓為 534V，經(jīng)過(guò)串聯(lián) RC負(fù)載，其中C=2μF，R=10kΩ，載波頻率為3kHz。原始調(diào)制波與仿真相同，幅值為2/。保持與仿真步驟一致，添加 5種的零序矢量，由加權(quán)因子m和n決定。圖8表示三相RC負(fù)載端電壓波形。

圖8 不同零序矢量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較Fig.8 Comparison among different zero sequence component in expriments

圖8a表示m=0,n=0情況下B相負(fù)載端電壓實(shí)際波形，波形含有開(kāi)關(guān)頻率次諧波。為了觀察和分析低于開(kāi)關(guān)頻率的電壓波形，用示波器自帶的低通濾波（截止頻率500Hz）進(jìn)行濾波后得到圖8b，其他情況下均進(jìn)行相同濾波得到圖8c～圖8f。

圖 8b、圖 8f表明調(diào)制波矢量添加的零序超出允許范圍即發(fā)生過(guò)調(diào)制時(shí)，橋臂電壓有明顯畸變，圖8c、圖8d、圖8e表明調(diào)制波矢量添加零序在允許范圍內(nèi)時(shí)，橋臂電壓波形正確，且波形幾乎完全一致。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真一致，表明調(diào)制波矢量的研究與SVPWM的構(gòu)造方法是正確有效的。

6 結(jié)論

本文基于空間直角坐標(biāo)系，提出了三維空間調(diào)制波矢量的概念和研究方法。新方法將三相物理量進(jìn)行三維矢量化，得到了簡(jiǎn)潔有效的表達(dá)式，并在空間中以圖形化的方式表達(dá)了矢量，具有明確的幾何含義，分析和計(jì)算非常直觀，可以方便地使用空間解析幾何理論以及矢量理論作為數(shù)學(xué)工具進(jìn)行分析研究。

從調(diào)制波矢量的角度得到了SPWM和SVPWM解析表達(dá)式，使調(diào)制方法與控制策略及主電路成為一個(gè)整體，便于統(tǒng)一建模。

給出調(diào)制波矢量允許零序矢量的范圍。對(duì)零序矢量范圍上、下限進(jìn)行加權(quán)疊加產(chǎn)生合適的調(diào)制波零序矢量，從而構(gòu)造 SVPWM，實(shí)現(xiàn)過(guò)程簡(jiǎn)單，且不會(huì)發(fā)生過(guò)調(diào)制。若發(fā)生了過(guò)調(diào)制，利用本文給出的調(diào)制波矢量零序范圍，可以精確計(jì)算出過(guò)調(diào)制的程度，研究過(guò)調(diào)制的抑制或補(bǔ)償。

關(guān)于過(guò)調(diào)制的抑制或補(bǔ)償控制，以及如何基于矢量化的控制策略、調(diào)制方法和主電路的建模提出更優(yōu)的方法，以后將有進(jìn)一步的研究。

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