黃利國(guó) 高麗

摘 要 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展線性方程組有了廣泛應(yīng)用，對(duì)于生活中的許多問(wèn)題都可以用線性方程組來(lái)解決。本文結(jié)合在“線性代數(shù)”教學(xué)中對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，通過(guò)對(duì)矩陣相關(guān)知識(shí)的剖析，探討了矩陣與行列式、向量、向量組線性相關(guān)性、線性方程組的解的關(guān)系，以方便講課時(shí)將相關(guān)知識(shí)點(diǎn)對(duì)照，加深學(xué)生對(duì)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的理解。最后，給出了求解“線性代數(shù)”中相關(guān)問(wèn)題的Matlab命令。

關(guān)鍵詞 系數(shù)矩陣 行列式 向量 線性方程組 Matlab

中圖分類(lèi)號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2015.10.060

The Application-oriented Exploration and Reform of Teaching

Mode for the Engineering Students in "Linear Algebra"

HUANG Liguo， GAO Li

（Mathematics Department， Binzhou University， Binzhou， Shandong 256603）

Abstract With the development of science and technology， linear equations have been widely used. It can be used to solve many problem in the life. In the teaching of "Linear Algebra"， we analyze the relevant knowledge of Matrix， and the relationship between Matrix and Determinant， Vector， the linear correlation of Vector Group and the solution of Linear Equations. So that， we can contrast the corresponding knowledge in teaching， which can deepen students' understanding. At last， some matlab command is shown for solving the problems in "Linear Algebra".

Key words Coefficient Matrix; determinant; vector; Linear Equations; Matlab

對(duì)于“線性代數(shù)”的學(xué)習(xí)，貫穿始終的一個(gè)概念就是矩陣，①②學(xué)生對(duì)矩陣的理解和相關(guān)知識(shí)的掌握，直接影響著其對(duì)這門(mén)課的掌握，特別是在工程領(lǐng)域中，借助于Matlab軟件③④對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行講解，更有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，并且對(duì)學(xué)生參加建模比賽和以后的工作也能起到事半功倍的作用。⑤為了使學(xué)生對(duì)線性代數(shù)有一個(gè)系統(tǒng)的掌握，下面對(duì)矩陣與線性方程組的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，并結(jié)合Matlab軟件舉例說(shuō)明其方便和實(shí)用之處。

1 矩陣的相關(guān)概念與記號(hào)

實(shí)數(shù)的全體用表示;實(shí)維向量的全體用表示;實(shí)矩陣的全體用表示。對(duì)于給定的矩陣，我們用，和分別表示矩陣的共軛、轉(zhuǎn)置和伴隨矩陣;用（）表示的秩;用表示中所有秩為的矩陣的全體。如果，則稱(chēng)為階方陣;對(duì)于給定的階方陣，我們用（）和（）分別表示的行列式和跡;如果（）≠0，就稱(chēng)是非奇異的。對(duì)于非奇異矩陣，用表示的逆矩陣。維向量也可以看成矩陣的特殊情形。維行向量就是1拙卣螅邢蛄烤褪莯？矩陣。可用大寫(xiě)的拉丁字母…或者（）（）…來(lái)代表矩陣。為了指明所討論的矩陣的行數(shù)和列數(shù)，可以把拙卣笮闖？…，或者，…

2 矩陣的運(yùn)算

矩陣計(jì)算主要用于：

（1）求線性方程組的解，即給定拙卣蠛臀邢蛄浚笪邢蛄渴溝？= ;最特殊地，為階非奇異方陣，此時(shí)方程組 = 的解是唯一的;

（2）計(jì)算一個(gè)矩陣的特征值和特征向量，即給定一個(gè)方陣，求它的全部或部分特征值，或者相應(yīng)的特征向量。

設(shè)，如果存在和滿足 = ，≠0，則稱(chēng)是的特征值，是屬于的特征向量，的特征值的全體記作（）。容易驗(yàn)證，（）的充分必要條件是（） = 0。因此，多項(xiàng)式（） = （）稱(chēng)作的特征多項(xiàng)式。

顯然有（） = （），因此，（） = （）。如果有個(gè)互不相同的特征值，，…，，它們作為（）的根的重?cái)?shù)分別是（），（），…，（），即（） = ，≠（≠），（） = ，則稱(chēng)（）為的重?cái)?shù);一般將重?cái)?shù)為1的特征值稱(chēng)作單特征值。

如果滿足 = ，其中是非奇異的階方陣，則稱(chēng)與相似。容易驗(yàn)證，如果與相似，則（） = （）。因此，相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，從而它們有相同的特征值。

3 線性方程組的求解

線性方程組

（1）

是人們熟知的計(jì)算模型，它在科學(xué)與工程計(jì)算中扮演著極其重要的角色。線性方程組有廣泛應(yīng)用，熟知的線性規(guī)劃問(wèn)題即討論解有一定約束條件的線性方程組問(wèn)題。根據(jù)實(shí)際情況可將線性方程組分為三類(lèi)，適定方程組、不定方程組和超定方程組。當(dāng)方程組中實(shí)際的方程數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，這一類(lèi)方程組稱(chēng)為適定方程組;如果其系數(shù)矩陣可逆，適定方程組有唯一的解，求解適定方程組的方法有克萊姆方法、消元法、矩陣分解法、迭代法等;當(dāng)方程組中實(shí)際的方程數(shù)少于未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，這一類(lèi)方程組稱(chēng)為不定方程組;當(dāng)系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩時(shí)，不定方程組有無(wú)窮多組解。根據(jù)線性代數(shù)的理論和方法，可求得方程組的通解。

線性代數(shù)中介紹過(guò)行列式解法的Gramer法則。眾所周知，如果方程組（1）的系數(shù)行列式（）的值異于0，則它有唯一解，運(yùn)用Gramer法則求解線性方程組雖然原則上可行，但因其計(jì)算量過(guò)大幾乎失去使用價(jià)值，但伴隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，該方法得以應(yīng)用。解方程組的方法可歸納為直接解法和迭代解法，在數(shù)值計(jì)算歷史上，直接解法和迭代解法交替生輝。

4 Matlab實(shí)現(xiàn)

判斷向量組的線性相關(guān)性的方法：（1）求該向量組構(gòu)成的矩陣的秩，當(dāng)矩陣的秩小于向量個(gè)數(shù)時(shí)，向量組線性相關(guān);否則，向量組線性無(wú)關(guān);（2）求該向量組構(gòu)成的矩陣的行最簡(jiǎn)形，當(dāng)矩陣的非零行數(shù)小于向量個(gè)數(shù)時(shí)，向量組線性相關(guān);否則，向量組線性無(wú)關(guān);（3）求以該向量組構(gòu)成的矩陣為系數(shù)的齊次線性方程組的解，當(dāng)方程組有非零解時(shí)，向量組線性相關(guān);否則，向量組線性無(wú)關(guān)。當(dāng)線性方程組中方程個(gè)數(shù)少于變量個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有無(wú)窮多個(gè)解，這時(shí)候用Matlab求解得到的是方程組的一個(gè)特定解;如果方程的個(gè)數(shù)多于未知量的個(gè)數(shù)時(shí)，方程組為超定方程組，求得的是一個(gè)最小二乘近似解;對(duì)于奇異方程組，Matlab不能直接求解，需要對(duì)方程組進(jìn)行同解異構(gòu)來(lái)求解。

注釋

① 劉衛(wèi)鋒，周長(zhǎng)芹.線性代數(shù)教學(xué)中的矩陣應(yīng)用實(shí)例[J].中國(guó)科技信息，2009.11.

② 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編.線性代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

③ 王利東，劉婧.從應(yīng)用實(shí)例出發(fā)的線性代數(shù)教學(xué)模式探討[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012.21（3）.

④ 高智中，武潔，王洋軍.Matlab在線性代數(shù)教學(xué)中的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J].衡水學(xué)院學(xué)報(bào)，2010.12（1）.

⑤ 岳曉鵬，孟曉然.在線性代數(shù)教學(xué)改革中融入數(shù)學(xué)建模思想的研究[J].高師理科學(xué)刊，2011.31（4）.