李正清+周欣+田麗麗+康丹+徐晶晶

【摘要】本研究通過數(shù)學操作游戲?qū)擅蟀鄶?shù)學學習困難兒童關于“阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)”的掌握以及“數(shù)的部分與整體關系”的理解進行干預。結果表明，干預后被試兒童這兩方面的數(shù)學能力均有不同程度的提高。研究提示我們，完善“數(shù)字系統(tǒng)”——積累“數(shù)的分合”經(jīng)驗——發(fā)現(xiàn)“數(shù)的分合”規(guī)律——運用“數(shù)的分合”知識，可能是一條對早期數(shù)學學習困難兒童進行干預的有效途徑。

【關鍵詞】早期數(shù)學學習困難兒童;游戲干預;個案

【中圖分類號】G610 ? 【文獻標識碼】A ? 【文章編號】1004-4604（2015）10-0024-06

本研究中，早期數(shù)學學習困難（Mathematics learning difficulty）兒童是指智力發(fā)展正常，但數(shù)學發(fā)展水平顯著低于同齡兒童的5～6歲兒童。早期數(shù)學學習困難的診斷并非是早早地給這些兒童貼上一個負面標簽，而是要盡早查找其發(fā)展水平低下的原因，并提供有針對性的早期干預。〔1〕有研究表明，越早發(fā)現(xiàn)并盡早實施干預，就越能有效地幫助這些兒童?！?〕

兒童早期的數(shù)學學習困難常常會出現(xiàn)負面累積效應，即隨著時間的推移，其與同伴的發(fā)展水平差距越來越大，〔3〕到小學后再實施干預則往往為時已晚?！?〕成長模型研究表明，學前班秋季和春季兩個學期中數(shù)學得分均偏低的兒童，隨后4～5年的數(shù)學學習發(fā)展速率和數(shù)學成績也往往很低。數(shù)學學習困難兒童緩慢的成長速度與他們不理解數(shù)字集合、不能進行加法事實提取、不常使用分解策略有關。〔5〕我們前期的干預研究也發(fā)現(xiàn)，數(shù)學學習困難兒童對“數(shù)的部分與整體關系”存在一定的理解障礙，在干預過程中進步緩慢。并且，即使掌握了部分“數(shù)的分解與組合”知識，他們在加減運算中也不會主動運用這類知識，而仍然傾向于使用“數(shù)手指”等方法?！?〕

本研究以數(shù)學操作游戲為手段，嘗試通過完善數(shù)學學習困難兒童的數(shù)字系統(tǒng)及引導其通過自主操作，幫助其逐步建構起對“數(shù)的部分與整體關系”的理解，進而改善其數(shù)學能力。同時，探討和總結對類似兒童進行個別訓練與教育的有效方法。

一、研究設計

（一）被試的選取與鑒定

L，女，開始干預時月齡68個月，身體健康，無重大疾病史。父母均為大專文化水平，重視教育。家庭經(jīng)濟條件良好，與父母、祖父母一起生活。L喜歡參與繪畫美工活動，性格開朗，社會性發(fā)展良好，樂于為集體服務。據(jù)帶班老師描述，在幼兒園集體活動中，L反應速度一般，表現(xiàn)不甚積極，學習能力一般，數(shù)學能力較弱。

Y，女，開始干預時月齡73個月，身體健康，無重大疾病史。父母均為高中文化水平，家庭經(jīng)濟條件一般，家庭教養(yǎng)方式較為溺愛。Y性格開朗，語言發(fā)展較好，運動水平較高，社會交往能力較強，較受同伴歡迎。據(jù)帶班老師描述，在幼兒園集體活動中，Y注意力時常不集中，學習欲望缺乏，數(shù)學能力較差。

L和Y是帶班老師認定的“班上數(shù)學學習和發(fā)展最為緩慢”的兒童。研究者對其進行智商和數(shù)學能力測查。使用《韋氏學前兒童智力量表》（Wechsler preschool and primary scale of intelligence，以下簡稱WPPSI）對L和Y進行測查，發(fā)現(xiàn)兩名兒童的智商均屬于正常水平。使用兒童早期數(shù)學能力測驗（Test of early mathematics ability，以下簡稱TEMA）對上海市普陀區(qū)三所幼兒園的大班兒童（N=339）進行數(shù)學能力測試，將數(shù)學能力分數(shù)排名在最后10%以內(nèi)（臨界值為104 分）的兒童確認為數(shù)學學習困難兒童。經(jīng)測查和對比，研究者發(fā)現(xiàn)，L和Y的智力正常，但數(shù)學能力分數(shù)均低于104分，因此可視為數(shù)學學習困難兒童。在我們最終確定的全部數(shù)學學習困難兒童樣本中（N=63;TEMA能力分M=95.97，SD=7.20），L的TEMA得分恰好等于數(shù)學學習困難兒童的篩選臨界分數(shù)，也即高于數(shù)學學習困難組兒童的平均分數(shù)，可以說，其數(shù)學學習困難程度相對較輕;Y的TEMA得分比平均分數(shù)低了一個標準差，可以說，其數(shù)學學習困難程度相對較重。

（二）研究工具

由一位經(jīng)過培訓的學前教育專業(yè)研究生對L和Y進行干預前和干預后的測查。所有測查項目以一對一的形式在安靜的幼兒園活動室里進行。干預前的測查在當年9月實施，干預后的測查在次年6月實施。

1.《早期兒童數(shù)學能力測驗量表》（TEMA）

該量表是Ginsburg和Baroody修訂的版本，是測查3～8歲兒童數(shù)學能力的標準化工具，也可以用來鑒別數(shù)學學習困難兒童。量表共72個項目，每個項目計1分?！?〕課題組對量表進行了漢化，經(jīng)檢驗，中文版量表具有良好的效度和信度?！?〕

2.《中國-韋氏幼兒智力量表》（WPPSI）

該量表分言語和操作測驗兩部分，言語部分測驗包括知識、分類、算數(shù)、詞匯、理解、背數(shù)6個部分;操作部分測驗分為填圖、排列、積木、拼圖、譯碼、迷津6個部分。每項測驗均按照計分手冊要求單獨計分。語言量表、操作量表和全量表均分別求得智商分數(shù)。運用中國常模對測查結果進行分數(shù)轉(zhuǎn)換。根據(jù)規(guī)定，在選取數(shù)學學習困難兒童時，排除智商分數(shù)低于80分的兒童。

（三）干預思路與計劃

1.干預內(nèi)容

有研究表明，數(shù)概念是兒童數(shù)學能力發(fā)展中的一個“中心概念”，它的發(fā)展不僅與兒童今后的數(shù)學學習直接相關，而且與兒童的思維能力發(fā)展有著密切聯(lián)系。〔9〕兒童對數(shù)量集合的理解是其數(shù)概念發(fā)展的一項重要內(nèi)容，要基于其對數(shù)詞系統(tǒng)的掌握和對數(shù)的部分與整體關系的理解。兒童對數(shù)量集合的理解能夠比一般認知學習能力更好地預測其數(shù)學學業(yè)成就，〔10〕因此，可以作為數(shù)學學習困難的篩查工具?！?1〕為此，本研究重點對被試兒童的數(shù)概念，主要包括阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)、數(shù)的部分與整體關系進行干預。

數(shù)字系統(tǒng)是兒童早期數(shù)知識學習的一個最重要工具，對數(shù)字符號的掌握是兒童在表征水平上理解抽象數(shù)字系統(tǒng)要做到的第一步。研究表明，兒童的唱數(shù)水平與其數(shù)數(shù)技能和對數(shù)的理解有直接的關系，兒童掌握的數(shù)字鏈的長短可作為其數(shù)概念發(fā)展水平的重要標志之一。兒童對數(shù)字的掌握與其成熟、經(jīng)驗水平有關，兒童阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)的習得在很大程度上受練習機會的影響。因此，如能在干預過程中提供大量的練習機會，數(shù)學學習困難兒童還是有可能進一步完善其數(shù)字系統(tǒng)的。〔12〕

數(shù)的部分與整體關系是指數(shù)的相加性組成原理，即任何自然數(shù)可以分成更小的數(shù)，也可以與其他的數(shù)組合成更大的數(shù)，在心理學中被稱為部分-整體圖式（Part-whole scheme）。它是兒童早期數(shù)學發(fā)展中一個極為重要的認知發(fā)展內(nèi)容，也是兒童掌握數(shù)概念的一個重要內(nèi)容，在加減運算中具有重要作用。這種對數(shù)的理解能夠幫助兒童識別運算所涉及的數(shù)之間的部分與整體的關系，并運用這些關系去選擇正確的運算方法，尤其是使兒童在不能直接用實物演示題目的情境中也有可能解題?！?3〕研究表明，兒童6歲時已基本理解這一關系，6歲半時則能夠完全掌握?！?4〕因此，通過干預完全有可能讓數(shù)學學習困難兒童理解這一關系。

2.干預策略

建構主義強調(diào)學與教過程中學習者的主動參與、自主學習和意義建構，認為情境、協(xié)作、會話和意義建構是學習環(huán)境的四大要素。因此，本研究通過數(shù)學操作游戲，為被試兒童創(chuàng)設有意義的問題情境，并通過與同伴、研究者的相互溝通、平等交流，構建一個學習共同體，以引導被試兒童進行相關探索、自我調(diào)節(jié)和意義建構。

3.干預計劃

正確及熟練地數(shù)數(shù)是理解數(shù)的部分與整體關系的前提。因此，本研究先對被試兒童進行數(shù)數(shù)的干預，隨后進行數(shù)的部分與整體關系的干預。研究從大班秋季學期（上學期）開始，每周干預兩次（周一和周四上午），每次干預時長40分鐘左右。上學期主要進行數(shù)數(shù)的干預，下學期主要進行數(shù)的部分與整體關系的干預。當被試兒童因故沒來幼兒園時，當次干預計劃向后順延一次。上學期實施干預11次，下學期實施干預18次，共計29次，總時長約1160分鐘。具體的干預計劃見表1。

二、干預過程

（一）阿拉伯數(shù)字系統(tǒng)

兒童數(shù)字系統(tǒng)的學習和發(fā)展會經(jīng)歷兩個階段：初步認識數(shù)字階段和完整掌握數(shù)字系統(tǒng)階段。第二個階段中，從不完整到完整掌握數(shù)字系統(tǒng)的水平又可分為五個層次：（1）“連串”水平，即是對一連串數(shù)字的單向整體記憶或背誦，與數(shù)數(shù)動作無關。（2）“不可斷數(shù)鏈”水平，即已能分化辨認出單個數(shù)字但無法從一個任意數(shù)數(shù)起，數(shù)物體已成為可能。（3）“可斷數(shù)鏈”水平，即已能視數(shù)字為既可分割又可相聯(lián)的元素，可從任何一個數(shù)向前或向后數(shù)，說出相鄰數(shù)。（4）“數(shù)鏈”水平，即數(shù)字已被視為可數(shù)單位，可用于計數(shù)運算或與某個特定數(shù)量的集合匹配。（5）“雙向數(shù)鏈”水平，即可以熟練地從一個任意數(shù)順數(shù)或倒數(shù)?！?8〕

研究發(fā)現(xiàn)，兒童所掌握的數(shù)字系統(tǒng)往往由三部分組成：（1）正確的數(shù)字鏈部分，如1～5。（2）固定的不正確部分，即兒童在多次數(shù)數(shù)中都重復相同但不正確的數(shù)字鏈，尤其是在13～17這一段，有些兒童可能會持續(xù)較長時間。（3）不固定也不正確的部分，即每次數(shù)到某段數(shù)字時都會產(chǎn)生既不同也不正確的數(shù)字鏈。〔19〕根據(jù)前期觀察診斷，L和Y的數(shù)字系統(tǒng)掌握水平詳見表2。

數(shù)數(shù)的干預主要通過“數(shù)字連線”和“數(shù)字卡片”游戲進行。L和Y在游戲初期只能從1唱數(shù)到20，從10倒數(shù)到1。隨著干預次數(shù)的增加，L和Y逐漸能夠正確地從1唱數(shù)到50，從20倒數(shù)到1的正確率也明顯提高。L與Y在“數(shù)字連線”游戲中的表現(xiàn)詳見表3。

（二）關于數(shù)的部分與整體關系

本研究在開始“數(shù)的組成和分解”干預之前，采用林嘉綏設計的“數(shù)的部分與整體關系”和“數(shù)的組成和分解”測查方案〔20〕考察被試兒童對數(shù)的部分與整體概念的理解水平。“數(shù)的部分與整體關系”測查主要考察兒童是否理解以下三方面內(nèi)容：（1）一個總數(shù)分為兩個部分數(shù)，其總數(shù)不變，即B=A+A'。（2）兩個部分數(shù)之間存在著互補的關系，即B=（A-n）+（A'+n）。（3）兩個部分數(shù)之間存在互換關系，即B=A+A'=A'+A。每項測驗可分為三個操作水平：完全不理解、通過直覺或嘗試錯誤后作出正確判斷、完全掌握?！皵?shù)的組成和分解”測查分“口頭”和“實物”兩個水平，也可分為三個操作水平：完全不會組成或分解、只會部分組成或分解、完全會組成或分解。L和Y的各項測驗前測水平見表4。

由表4可知，在“數(shù)的部分與整體關系”方面，L已能夠完全掌握并說出原因;Y的理解水平較低，后兩項雖然判斷正確，但仍需要借助實物和數(shù)字進行推理。在“數(shù)的組成和分解”方面，無論是L還是Y，“口頭”水平的正確數(shù)量都少于“實物”水平，且在回答過程中隨機性較明顯。

“數(shù)的組成和分解”干預分成四個階段：（1）開始時，先進行3次“藏珠子”游戲。把游戲的主動權完全交給兒童，讓他們在游戲中自由探索各種問題解決的方法。（2）隨后，進行3次“小熊捉迷藏”游戲，讓兒童體會“數(shù)的分合”，研究者還通過逐一增加“躲進山洞”的小熊數(shù)量，讓兒童感受“數(shù)的分合”規(guī)律。（3）接下來進行5次“小熊請客”游戲，逐步提高難度（從小熊數(shù)量和是否允許動手操作兩個方面），引導兒童利用書面符號記錄發(fā)現(xiàn)“數(shù)的分合”規(guī)律（包含關系、互補關系、互換關系），并嘗試運用規(guī)律有順序、不遺漏地窮盡某個數(shù)字所有的分解與組合方法。（4）最后進行6次“數(shù)數(shù)棒”游戲，讓兒童通過目測估算，理解并運用“數(shù)的分合”知識（如以8號棒為參照，判斷6號棒需要加上幾號棒的長度，才能和8號棒等長）。整個干預過程中，研究者著重引導被試兒童自我建構與體驗，不直接告訴兒童也不急于要求兒童給出答案。具體過程舉例如下。

研究者：今天小熊想邀請5位朋友來家里做客，但家里空間小，一次不能請?zhí)嘈⌒軄砑依锿?，最好分兩次邀請小熊。你能幫我想想有什么好辦法嗎？（研究者通過講故事創(chuàng)設問題情境，同時也以參與者的身份加入到游戲過程中，與L建立起學習共同體。）

L：讓我來想想辦法……可以先邀請3只小熊，再邀請2只小熊（L一邊說一邊把小熊分成相應數(shù)量的兩隊）。

研究者：你的方法很棒！幫主人解決了一個大問題。我們把這個好辦法記錄下來吧（引導L在記錄紙上進行記錄）。

（如此循環(huán)進行，直至窮盡5的所有分解方法。）

研究者：今天我們幫了小熊一個大忙，想出了很多好辦法。請你看一看記錄紙，自己分析分析，有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（通過啟發(fā)提問，引發(fā)認知沖突，引導L結合已有記錄進行思考。）

L搖頭表示沒有發(fā)現(xiàn)。（此時，研究者并沒有急于告訴L正確答案，而是耐心等待L的頓悟。終于，在幾次游戲之后，L自己報告說：第一次請的小熊多的話，第二次請的小熊就少了，因為沒有那么多小熊了。）

在全部干預結束之后，再次考察被試兒童對“數(shù)的部分與整體關系”的理解水平。L和Y各項測驗后測水平見表5，與前測相比進步明顯。

三、干預結果

干預結束時，L與Y已經(jīng)能夠較為熟練地從1唱數(shù)到50、從20倒數(shù)到1，“雙向數(shù)鏈”水平的數(shù)字范圍擴展到1～20;能夠完全理解“數(shù)的部分與整體關系”，基本掌握10以內(nèi)“數(shù)的組成與分解”。

在TEMA后測中，L原始分為42分，能力分為115（進步了11分）;Y原始分為42分，能力分為105（進步了16分）。其中，L在干預結束時已接近正常組均分，與正常組均分的差距由21分縮小到5分;Y在干預結束時已接近數(shù)困組均分，與正常組均分的差距也由3個標準差縮小到近1個標準差。

四、討論

已有研究總結出兒童對“數(shù)的分合”的學習路徑：積累“量的分合”經(jīng)驗——從“量的分合”到“數(shù)的分合”——領會數(shù)的分合規(guī)律——掌握數(shù)的分合關系——用推理的方法學習分合?！?1〕本研究也基本按照這樣的學習路徑開展干預，并證實了干預的有效性。

然而，這樣的學習路徑并不完全適用于數(shù)學學習困難兒童。數(shù)學學習困難兒童因?qū)Α鞍⒗當?shù)字系統(tǒng)”的掌握沒有正常兒童熟練，因此必須在進行“數(shù)的分解與組合”干預之前幫助他們掌握“數(shù)字系統(tǒng)”。研究結果提示，完善“數(shù)字系統(tǒng)”——積累“數(shù)的分合”經(jīng)驗——發(fā)現(xiàn)“數(shù)的分合”規(guī)律——運用“數(shù)的分合”知識，這樣的干預路徑可能對不同程度數(shù)學學習困難兒童均是有效的。

研究發(fā)現(xiàn)，兒童理解并記住個位數(shù)的加減組合規(guī)律，需有一個較長的時間過程。兒童是在理解的基礎上記住這些組合的答案的，一味強調(diào)速度、機械背誦會產(chǎn)生不良后果。為兒童創(chuàng)設有目的的練習情境，有利于促進兒童對數(shù)的組合知識的掌握?！?2〕本研究在干預過程中，通過游戲創(chuàng)設了真實的問題情境，并且遵循了兒童對“數(shù)的部分與整體關系”的理解和掌握規(guī)律，耐心等待兒童通過游戲和操作進行自我意義建構，這可能是本研究干預效果較為理想的原因之一。

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A Case Study of Mathematical Game Intervention for 5-6 year-old Children with Mathematical Learning Difficulty

Li Zhengqing1， Zhou Xin2， Tian Lili2， Kang Dan3， Xu Jingjing4

（1University of Denver， Denver， 80208）

（2Faculty of ?Education， East China Normal University， Shanghai， 200062）

（3College of Educational Science， Hunan Normal University， Changsha， 410006）

（4Shanghai Punan Kindergarten， Shanghai， 200120）

【Abstract】This research engaged two 5-6 year-old children with mathematical learning difficulties to explore the effects of mathematical game intervention on number skills of “number words” and “part-whole relationship”. After the intervention， childrens number skills were enhanced more or less. It suggests that the intervention trajectory including perfecting number words， accumulating number experience of separation and reunion， discovering number rule of separation and reunion， applying number knowledge of separation and reunion， might be effective to help MLD childrens understanding of “part-whole relationship”.

【Keywords】children with early mathematical learning difficulties; game intervention; individual case