戴宗妙， 都軍民

（中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七一三研究所，鄭州450015）

0 引言

結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算是根據(jù)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力特性和材料的強(qiáng)度特性求解結(jié)構(gòu)可靠工作的概率。目前結(jié)構(gòu)可靠性計(jì)算的基本方法是采用經(jīng)典的強(qiáng)度-應(yīng)力干涉模型，該模型假設(shè)結(jié)構(gòu)應(yīng)力Y和材料強(qiáng)度S均服從正態(tài)分布，定義極限狀態(tài)函數(shù)Z=S-Y，則結(jié)構(gòu)可靠度為［1］

將式（1）化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可靠度可寫(xiě)為

當(dāng)結(jié)構(gòu)應(yīng)力Y和材料強(qiáng)度S的均值、方差均已知時(shí)，可先求解可靠度系數(shù)β，然后通過(guò)查表的方法得到結(jié)構(gòu)的可靠度。但上式只適用于結(jié)構(gòu)承受靜載時(shí)的可靠性計(jì)算，如果結(jié)構(gòu)承受的是疲勞載荷，其可靠性的分析方法將有很大的不同，主要表現(xiàn)在：

1）結(jié)構(gòu)承受靜載荷時(shí)，其結(jié)構(gòu)應(yīng)力和材料強(qiáng)度為服從一定分布的隨機(jī)變量，且該隨機(jī)變量的特性不隨時(shí)間發(fā)生變化，因此只需計(jì)算強(qiáng)度大于應(yīng)力的可靠性，即可得到結(jié)構(gòu)在整個(gè)壽命周期內(nèi)的可靠度。但如果結(jié)構(gòu)承受的是疲勞載荷，則其疲勞強(qiáng)度S和載荷循環(huán)次數(shù)N是關(guān)聯(lián)的（通常用N-S曲線(xiàn)描述疲勞強(qiáng)度和載荷循環(huán)次數(shù)之間的關(guān)系），對(duì)應(yīng)不同的載荷循環(huán)次數(shù)N，材料具有不同的疲勞強(qiáng)度，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)具有不同的可靠性。例如某結(jié)構(gòu)在壽命期內(nèi)載荷循環(huán)次數(shù)為106，則可根據(jù)結(jié)構(gòu)工作應(yīng)力、對(duì)應(yīng)106的疲勞強(qiáng)度S10-6，計(jì)算得壽命周期內(nèi)的可靠度R10-6；若載荷循環(huán)次數(shù)為105，則應(yīng)根據(jù)疲勞強(qiáng)度S10-5計(jì)算得可靠度R10-5，且有R10-6＜R10-5。因此分析結(jié)構(gòu)在疲勞載荷下的可靠性，必須是在假定結(jié)構(gòu)在壽命期內(nèi)的載荷循環(huán)次數(shù)N為一確定值時(shí)開(kāi)展的計(jì)算。

2）結(jié)構(gòu)在承受靜載荷作用時(shí),其材料強(qiáng)度由單一的屈服強(qiáng)度或拉伸強(qiáng)度來(lái)描述,結(jié)構(gòu)應(yīng)力也用最大幅值直接描述。但結(jié)構(gòu)在承受疲勞載荷作用時(shí),結(jié)構(gòu)疲勞應(yīng)力需要用載荷幅值Ya和載荷平均值Ym兩個(gè)值進(jìn)行描述,不同的幅值和平均值組合具有不同的作用效果；同樣,材料的疲勞強(qiáng)度也是由幅值Sa和平均值Sm兩個(gè)值來(lái)確定的，定義r=（Sm-Sa）/（Sm+Sa）為應(yīng)力比，也可認(rèn)為疲勞強(qiáng)度由幅值和應(yīng)力比確定。

3）計(jì)算結(jié)構(gòu)靜載可靠性時(shí)，通常認(rèn)為材料的強(qiáng)度和結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度是等效的，這是因?yàn)殪o載作用時(shí)材料的強(qiáng)度并不因結(jié)構(gòu)的特性而發(fā)生改變；而疲勞載荷作用時(shí)則有很大不同，由于結(jié)構(gòu)疲勞壽命和尺寸、表面質(zhì)量、局部結(jié)構(gòu)等關(guān)系密切，因此通過(guò)材料試件實(shí)驗(yàn)得出的疲勞強(qiáng)度并不能直接用于計(jì)算，而必須根據(jù)結(jié)構(gòu)的參數(shù)進(jìn)行必要的修正。

正是由于疲勞可靠性與傳統(tǒng)靜載可靠性存在著較大不同，需要對(duì)疲勞可靠性進(jìn)行深入分析。本文以聯(lián)結(jié)螺栓的疲勞可靠性為例開(kāi)展研究。

1 疲勞可靠性設(shè)計(jì)與計(jì)算

1.1 疲勞可靠性計(jì)算的一般方法

針對(duì)結(jié)構(gòu)在疲勞載荷作用下的特性，確定聯(lián)結(jié)螺栓疲勞可靠性的一般計(jì)算方法如下：

1）在r=-1（即平均值Sm=0，對(duì)稱(chēng)恒幅循環(huán)載荷）條件下，開(kāi)展材料的疲勞試驗(yàn)，獲取不同載荷循環(huán)次數(shù)對(duì)應(yīng)的材料疲勞強(qiáng)度Sa，作出材料的S-N曲線(xiàn)；

2）根據(jù)螺栓的尺寸、表面狀態(tài)、應(yīng)力集中等因素對(duì)材料疲勞強(qiáng)度進(jìn)行修正，采用相應(yīng)的隨機(jī)變量綜合計(jì)算方法，得到在r=-1條件下螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強(qiáng)度概率分布；

3）確定螺栓結(jié)構(gòu)的等壽命曲線(xiàn)，得到在特定的應(yīng)力比r（與結(jié)構(gòu)疲勞應(yīng)力比相同）下螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度的概率分布；

4）在應(yīng)力比r條件下，計(jì)算聯(lián)結(jié)螺栓疲勞應(yīng)力的概率分布；

5）采用修正的強(qiáng)度－應(yīng)力干涉模型計(jì)算聯(lián)結(jié)螺栓可靠性。

1.2 螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度確定

假設(shè)材料S-N曲線(xiàn)已通過(guò)材料疲勞實(shí)驗(yàn)得到，在rS=-1的條件下，對(duì)材料疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正從而獲取結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度的經(jīng)驗(yàn)公式為［2］

式中：S-1為材料疲勞強(qiáng)度；ε為結(jié)構(gòu)尺寸系數(shù)；β為表面狀態(tài)系數(shù)；kf為有效應(yīng)力集中系數(shù)；Ka為綜合效應(yīng)系數(shù)；β1為表面加工系數(shù)；β2為表面強(qiáng)化系數(shù)。

由于式（3）將尺寸、表面狀態(tài)、應(yīng)力集中等因素的影響簡(jiǎn)單地疊加在一起，可能導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果過(guò)于保守，考慮各因素之間的相互作用，得綜合效應(yīng)系數(shù)修正公式為

在實(shí)際工況中，材料疲勞強(qiáng)度、各影響因素系數(shù)都不是確定值，而是服從一定分布的隨機(jī)變量，因此螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強(qiáng)度實(shí)際也是一個(gè)由n個(gè)隨機(jī)變量確定的多維函數(shù)。當(dāng)其中任意一個(gè)隨機(jī)變量的變異系數(shù)Cx=σx/μx＜0.1，且這些變量相互獨(dú)立、都不起主要控制作用時(shí),根據(jù)概率論的中心極限定理可知螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強(qiáng)度服從正態(tài)分布,其均值和標(biāo)準(zhǔn)差可采用泰勒級(jí)數(shù)方法近似求解為

1.3 不同應(yīng)力比條件下結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度的轉(zhuǎn)換

1.2 節(jié)得出了在rS=-1條件下螺栓結(jié)構(gòu)的疲勞強(qiáng)度概率分布。但在很多實(shí)際工況中，螺栓載荷產(chǎn)生應(yīng)力并不滿(mǎn)足rY=-1，這種情況下，就無(wú)法實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)應(yīng)力與強(qiáng)度的直接比較，而必須將rS=-1條件下的結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度轉(zhuǎn)換為rS=ry條件下的疲勞強(qiáng)度。在特定的壽命N條件下，對(duì)任意的r，螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度的幅值Sa′和平均值Sm′符合以下關(guān)系［3］：

式中，Su為材料在靜載下的破壞強(qiáng)度（屈服或拉伸強(qiáng)度）。

上式稱(chēng)為Goodman曲線(xiàn)，結(jié)合應(yīng)力比r的定義，Goodman曲線(xiàn)又可表示為

式（8）給出了不同應(yīng)力比條件下，螺栓結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度幅值同材料破壞強(qiáng)度之間的關(guān)系，也就間接給出了不同應(yīng)力比條件下的疲勞強(qiáng)度幅值和平均值的轉(zhuǎn)換方法。

其中 Su、S′a（R=-1）的概率分布均為已知，設(shè) r為常數(shù)，則可根據(jù)式（8），采用泰勒級(jí)數(shù)方法得到對(duì)應(yīng)r的Sa′概率分布，同時(shí)由應(yīng)力比r的定義可得Sm′的概率分布。

1.4 螺栓結(jié)構(gòu)疲勞應(yīng)力確定

設(shè)聯(lián)結(jié)螺栓預(yù)緊力為Fy，作用螺栓上循環(huán)工作載荷的最大值為Fmax，最小值為Fmin，則聯(lián)結(jié)螺栓上實(shí)際最大和最小載荷分別是［4］：

式中：Cb螺栓剛度；Cm連接件剛度；Cb/（Cb+Cm）稱(chēng)為聯(lián)結(jié)相對(duì)剛度。

根據(jù)（9）式得螺栓實(shí)際載荷的幅值和均值分別為：

設(shè) Cb、Cm、Fy、Fmax、Fmin均為服從一定分布的隨機(jī)變量，rY為常數(shù)?？紤]螺栓結(jié)構(gòu)參數(shù)的分布特性，采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)方法，可以得到在應(yīng)力比rY條件下螺栓結(jié)構(gòu)應(yīng)力Ya、Ym的概率分布。

1.5 螺栓疲勞可靠性的計(jì)算

由于結(jié)構(gòu)壽命是疲勞強(qiáng)度幅值、平均值綜合作用的結(jié)果，因此定義結(jié)構(gòu)在疲勞載荷作用下的復(fù)合疲勞強(qiáng)度為，其均值，其標(biāo)準(zhǔn)差為 σS′f=。同樣定義復(fù)合疲勞應(yīng)力為Yf=，可得其均值Yf和標(biāo)準(zhǔn)差σYf。

2 疲勞可靠性分析

2.1 聯(lián)結(jié)螺栓疲勞可靠性隨時(shí)間變化規(guī)律

靜強(qiáng)度的可靠性在整個(gè)壽命周期內(nèi)是一定的，并不隨結(jié)構(gòu)的工作時(shí)間而發(fā)生改變。但聯(lián)結(jié)螺栓在疲勞應(yīng)力作用下，會(huì)產(chǎn)生累計(jì)損傷效應(yīng)，其可靠性會(huì)隨著使用次數(shù)的增多而逐漸減小。

假設(shè)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)壽命為N1，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度為Sa（N1），則在實(shí)際工作應(yīng)力為Y1時(shí)，可計(jì)算出結(jié)構(gòu)的疲勞可靠度。該可靠度是指結(jié)構(gòu)承受了N1循環(huán)載荷作用后的可靠性，也就是結(jié)構(gòu)在整個(gè)壽命期中的最低可靠度。但如果結(jié)構(gòu)僅僅承受了N2（N2＜N1）次循環(huán)載荷的作用時(shí)，其可靠度應(yīng)按照與N2對(duì)應(yīng)的疲勞強(qiáng)度Sa（N2）和工作應(yīng)力Y1進(jìn)行計(jì)算，由于 Sa（N2）＞Sa（N1），因此當(dāng)螺栓使用次數(shù)越少，計(jì)算得到的可靠度就越大，如圖2所示。

圖1 等壽命曲線(xiàn)及給定r時(shí)的應(yīng)力-強(qiáng)度干涉關(guān)系

圖2 疲勞強(qiáng)度與可靠性同循環(huán)載荷次數(shù)關(guān)系

在傳統(tǒng)的方法中，疲勞載荷對(duì)螺栓產(chǎn)生的損傷往往用循環(huán)載荷次數(shù)和設(shè)計(jì)壽命的比值D=n/N進(jìn)行描述，該方法是將螺栓的壽命看作是一個(gè)線(xiàn)性變化的過(guò)程。然而，當(dāng)采用隨循環(huán)載荷次數(shù)變化的可靠度方法進(jìn)行描述時(shí)，可充分考慮材料的S-N曲線(xiàn)形態(tài)以及各隨機(jī)變量的影響，更具直觀性和科學(xué)性。

2.2 疲勞可靠度影響因素分析

聯(lián)結(jié)螺栓疲勞可靠度可以看作是一個(gè)多因素決定的隨機(jī)變量

將影響可靠度的因素可分為以下部分：與材料疲勞強(qiáng)度相關(guān)的數(shù)據(jù)，如S-1、Su等；與結(jié)構(gòu)尺寸、表面狀態(tài)、應(yīng)力集中等有關(guān)的數(shù)據(jù)，如ε、kf、β等；與作用在螺栓上載荷有關(guān)的數(shù)據(jù)，如Fy、Fmin、Fmax等；與聯(lián)結(jié)螺栓結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)據(jù)，如 Cb、Cm等。

在上述因素中，S-1、Su由材料的特性決定；ε、kf、β、Cb、Cm由螺栓結(jié)構(gòu)、表面狀態(tài)決定，故嚴(yán)格控制螺栓加工質(zhì)量、提高其質(zhì)量一致性，會(huì)減小隨機(jī)變量方差，從而提高螺栓疲勞可靠性；Fmin、Fmax作為外加載荷，一般不具備控制能力，工程中應(yīng)統(tǒng)計(jì)分析其概率分布，識(shí)別其對(duì)可靠性的影響。預(yù)緊力Fy是唯一由操作者決定的因素，在設(shè)計(jì)或施工過(guò)程中，往往缺乏對(duì)預(yù)緊力的定量化控制［5］，因此應(yīng)對(duì)預(yù)緊力的影響進(jìn)行深入分析。由式（10）、式（11）得聯(lián)結(jié)螺栓復(fù)合應(yīng)力的均值為

可以看出，螺栓復(fù)合應(yīng)力的幅值和工作載荷最大、最小值、聯(lián)結(jié)相對(duì)剛度直接相關(guān)，當(dāng)聯(lián)結(jié)相對(duì)剛度降低時(shí)，螺栓復(fù)合應(yīng)力幅值隨之減小。由于聯(lián)結(jié)相對(duì)剛度小于1，因此聯(lián)結(jié)相對(duì)剛度實(shí)際上對(duì)工作載荷幅值起到了“縮小”的作用；同理，螺栓復(fù)合應(yīng)力的方差也被相應(yīng)“縮小”。因此，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中，適當(dāng)提高被連接件剛度、降低螺栓剛度有利于提高螺栓疲勞可靠性。在式（13）中雖然沒(méi)有直接體現(xiàn)螺栓預(yù)緊力的作用，但式（9）成立的前提是螺栓預(yù)緊力大于最大工作載荷。反之，一旦當(dāng)最大工作載荷大于螺栓預(yù)緊力時(shí)，聯(lián)結(jié)相對(duì)剛度的“縮小”作用將不存在，從而導(dǎo)致螺栓復(fù)合應(yīng)力幅值增大，對(duì)其可靠性產(chǎn)生非常不利的影響。

3 結(jié)論

通過(guò)以上研究，得出以下結(jié)論：

1）疲勞可靠性與靜載可靠性相比更加復(fù)雜，不僅需要考慮可靠性隨載荷循環(huán)次數(shù)的變化，而且需要考慮強(qiáng)度（應(yīng)力）幅值和均值的綜合影響以及材料疲勞強(qiáng)度同結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度之間的關(guān)系；

2）需要通過(guò)對(duì)材料疲勞強(qiáng)度修正以及利用Goodman曲線(xiàn)轉(zhuǎn)換，才能得到在一定壽命條件下，對(duì)應(yīng)不同應(yīng)力比的結(jié)構(gòu)疲勞強(qiáng)度；

3）聯(lián)結(jié)螺栓的疲勞可靠性隨時(shí)間而不斷降低，變化的趨勢(shì)與S-N形態(tài)和各隨機(jī)變量的影響相關(guān)，在壽命期內(nèi)的最低可靠度是是結(jié)構(gòu)承受了N循環(huán)載荷作用后的可靠性；

4）在實(shí)際工況中，對(duì)聯(lián)結(jié)螺栓的可靠性進(jìn)行控制的有效手段是確保螺栓預(yù)緊力大于最大工作載荷，且盡量降低聯(lián)結(jié)相對(duì)剛度。

［1］ 都軍民，蔡民，戴宗妙.基于可靠性安全系數(shù)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法研究［J］.艦船科學(xué)技術(shù)，2007，29（3）：134-136.

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