武洪恩， 王宜寧， 程玉玲， 徐雯斐

（山東科技大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院，山東青島266590）

0 引言

蝸桿傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)中應(yīng)用廣泛的一種運(yùn)動(dòng)，在空間交錯(cuò)的兩軸間傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力。蝸桿傳動(dòng)具有傳動(dòng)比大、工作平穩(wěn)、噪聲小、結(jié)構(gòu)緊湊、可實(shí)現(xiàn)自鎖的優(yōu)點(diǎn)。但一般的蝸桿傳動(dòng)效率較低，摩擦損失較大，為了與蝸桿配對(duì)組成減摩性良好的滑動(dòng)摩擦副，蝸輪常用貴重的有色金屬制造。為了節(jié)省有色金屬，降低成本，在蝸桿傳動(dòng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，應(yīng)該以蝸輪的有色金屬圈體積最小作為設(shè)計(jì)目標(biāo)。賈毅朝和鄧曉紅［3-4］利用MATLAB優(yōu)化函數(shù)對(duì)蝸桿頭數(shù)、模數(shù)、直徑系數(shù)等參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，得出了不同參數(shù)對(duì)蝸輪齒圈體積的影響，但未給出滿足條件的最優(yōu)解。本文采用遺傳算法對(duì)蝸桿齒輪體積進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，利用遺傳算法與其他優(yōu)化算法相比具有更強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力、隱并行性、高魯棒性等智能特性，避免常用優(yōu)化算法中出現(xiàn)的局部最優(yōu)解，大幅度降低陷入局部最優(yōu)解的概率。

1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型建立

1.1 建立目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)，取蝸輪齒圈的體積最小作為目標(biāo)函數(shù)，由圖1得到

式中：b是齒寬；de是外徑；da是齒頂圓直徑；df是齒根圓直徑；d0是內(nèi)徑，q是蝸桿的直徑系數(shù)；m是蝸輪模數(shù)；i是傳動(dòng)比；z1是蝸桿頭數(shù)；ψe和ψb分別是蝸輪齒圈外徑系數(shù)和齒寬系數(shù)，在本函數(shù)中取ψe=1.5，ψb=0.75。

1.2 確立設(shè)計(jì)變量

由式（1）可知，蝸輪齒圈的體積與蝸桿頭數(shù)z1、模數(shù)m、直徑系數(shù)q和傳動(dòng)比i有關(guān)。由于傳動(dòng)比i一般是已知量，所以取蝸桿頭數(shù)z1、模數(shù)m、直徑系數(shù)q作為本次設(shè)計(jì)的變量，即 x=（x1，x2，x3）T=（z1，m，q）T，因此可將目標(biāo)函數(shù)寫成

圖1 蝸輪齒圈的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

1.3 約束條件建立

1.3.1 性能約束條件1）蝸輪齒面接觸強(qiáng)度的限制：

式中：K為載荷系數(shù)；蝸輪傳遞的轉(zhuǎn)矩T2=9550iηP1/n1；P1為輸入功率；n1為轉(zhuǎn)速；蝸桿傳動(dòng)效率［σH］是蝸輪齒圈材料的許用接觸應(yīng)力。因此得到

2）蝸輪齒根彎曲強(qiáng)度的限制：由于蝸輪輪齒的齒根是圓弧形，抗彎能力較強(qiáng)，很少發(fā)生蝸輪輪齒折斷。所以，不再進(jìn)行蝸輪齒根彎曲強(qiáng)度的計(jì)算。

3）蝸桿剛度的限制。此次設(shè)計(jì)的蝸桿工作時(shí)最大撓度不大于0.001d1=0.001mq，即y=。其中：蝸桿支承跨度L≈0.9miz1；慣性距J=πm4（q-2.4）4/64；蝸桿圓周力Ft1=2T1/（mq）；徑向力Fr1=2T2tan20°/（iz1m）；彈性模量 E=2.1×105MPa。

因此得到

1.3.2 設(shè)計(jì)變量邊界條件

1）蝸桿頭數(shù)的限制。要求2≤z1≤3，因此有：

2）模數(shù)的限制。對(duì)于中小功率的蝸桿動(dòng)力傳動(dòng)，3≤m≤5就可滿足需要，因此有：

3）蝸桿直徑系數(shù)的限制。取5≤q≤16，因此有：

2 遺傳算法

2.1 遺傳算法的基本原理

遺傳算法（GA）是一種通過(guò)模擬自然界適者生存的生物進(jìn)化過(guò)程搜索最優(yōu)解的方法。它把問(wèn)題看成一個(gè)群體，根據(jù)適者生存的規(guī)則，在潛在的解決方案種群中逐次產(chǎn)生一個(gè)近似最優(yōu)解的方案。遺傳算法的主要運(yùn)算過(guò)程如下：1）初始種群的產(chǎn)生；2）編碼；3）適應(yīng)度評(píng)價(jià)；4）選擇；5）交叉；6）變異；7）終止條件判斷。

2.2 適應(yīng)度函數(shù)

在GA中，用適應(yīng)度函數(shù)來(lái)度量群體中各個(gè)個(gè)體的優(yōu)良程度。適應(yīng)度較高的個(gè)體遺傳到下一代的概率較大，適應(yīng)度較低的個(gè)體遺傳到下一代的概率較小。適應(yīng)度函數(shù)的構(gòu)造如下：

其中：x是染色體；f（x）是目標(biāo)函數(shù)；p（x）是懲罰項(xiàng)。利用外點(diǎn)懲罰函數(shù)構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)，對(duì)于最小值問(wèn)題：

p（x）=0，x 可行；

式中，r0和r1是不等式約束函數(shù)的懲罰因子。

3 基于MATLAB遺傳優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)

根據(jù)式（2），設(shè)定初始工作條件為：?jiǎn)渭?jí)普通圓柱蝸桿齒輪減速器的輸入功率P1=6 kW，轉(zhuǎn)速n1=1 450 r/min，傳動(dòng)比i=20，單向傳動(dòng)，載荷平穩(wěn)，k=1.1。蝸桿選用低碳合金鋼20CrMnTi，芯部調(diào)質(zhì)，齒部滲碳淬火，硬度＞45HRC；蝸輪選用錫青銅ZCuSn10Pb1，金屬膜鑄造。蝸輪齒圈的許用接觸應(yīng)力［σH］=220 MPa。通過(guò)利用MATLAB對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化求解，驗(yàn)證了遺傳算法在齒輪優(yōu)化過(guò)程中的實(shí)用性和有效性。

3.1MATLAB解決工程中的實(shí)際問(wèn)題的一般步驟

1）針對(duì)具體工程建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。2）分析數(shù)學(xué)模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件，并建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)文件。3）選用合適的優(yōu)化工具函數(shù)，建立調(diào)用優(yōu)化工具函數(shù)的命令文件。4）完成優(yōu)化設(shè)計(jì)，分析優(yōu)化結(jié)果。

3.2 基于MATLAB優(yōu)化程序設(shè)計(jì)

部分優(yōu)化程序如下：適應(yīng)度函數(shù)的建立：

function［sol，y］=GA_VY（sol，options）

%設(shè)計(jì)變量

x（1）=sol（1）；x（2）=sol（2）；x（3）=sol（3）；

%目標(biāo)函數(shù)

i=20；

f=1.48*pi*（x（3）+2）*（40*x（1）-0.9）*x（2）^3；

%性能約束

K=1.1；P1=6；n1=1450；sigma_HP=220；

eta=1-0.035*sqrt（i）；T1=9550*P1/n1；T2=i*eta*T1；

g1=K*T2*（15150/（i*x（1）*sigma_HP））^2-x（2）^3*x（3）；

g2_1=0.729*i^3*x（1）^3*sqrt（（2*T1/（x（2）*x（3）））^2+（T2*tan（pi/9）/（i*x（1）*x（2）））^2；

g2_2=157.7*pi*x（2）^2*x（3）*（x（3）-2.4）^4；

g2=g2_1-g2_2；

r0=0.1；r1=0.05；

p=r0*g1^2+r1*g2^2；

if（g1<=0）&（g2<=0）

y=-f；

else y=-（f+p）；

end

%編碼和生成初始種群，個(gè)體數(shù)目一般取20～100

bounds=［2 3；3 5；5 16］；

startPop=initializega（50，bounds，’GA_VY’，［］）；

%遺傳算法優(yōu)化搜索，終止進(jìn)化代數(shù)一般取100～500

［xf，endP，beestS，trace］=ga（bounds，’GA_VY’，［］，［］，［］，’maxGenTerm’，500，）；

3.3 優(yōu)化結(jié)果分析

根據(jù)3.2節(jié)中的程序，運(yùn)行此程序，繁殖到251代得到穩(wěn)定解，即得到遺傳算法最優(yōu)解：

x=（z1，m，q）=（2.9969，3.9910，15.2265）Vmin=605794.2268mm3。

對(duì)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行圓整，得到取蝸桿頭數(shù)z1=3，模數(shù)m=4mm，直徑系數(shù)q=16，蝸輪齒圈體積V=637 934.1165 mm3。將最優(yōu)解代入性能約束條件中，驗(yàn)證均滿足約束條件。經(jīng)圓整后的結(jié)果與常規(guī)設(shè)計(jì)對(duì)比，如表1所示。

4 結(jié)論

1）從表1中知道，相比常規(guī)設(shè)計(jì)結(jié)果，蝸輪齒圈體積減少31%。顯而易見(jiàn)，用優(yōu)化設(shè)計(jì)的得到的方案更加緊湊，充分顯示了它的應(yīng)用價(jià)值。

表1 優(yōu)化設(shè)計(jì)與常規(guī)設(shè)計(jì)對(duì)比

2）應(yīng)用遺傳算法進(jìn)行設(shè)計(jì)能夠提高設(shè)計(jì)水平，減少材料的使用，這為產(chǎn)品的優(yōu)化改進(jìn)設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。

［1］ 陳倫軍，羅延科，陳海虹，等.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)遺傳算法［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

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［3］ 賈毅朝，曲爾光，張慧鵬.基于MATLAB的蝸桿傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2010（5）:97-99.

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