魏正元，張　鑫，趙　瑜（重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶400054）

上證380高頻指數(shù)數(shù)據(jù)已實現(xiàn)GARCH（1，2）模型的風險測量

魏正元，張鑫，趙瑜
（重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶400054）

針對高頻金融數(shù)據(jù)收益率序列的厚尾和偏斜性，建立了偏t誤差分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型，對上證380指數(shù)5 min頻率的高頻數(shù)據(jù)進行了VaR預(yù)測，并與經(jīng)典的正態(tài)分布和t分布誤差假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型的預(yù)測精度進行了對比分析。結(jié)果表明，誤差項服從偏t分布的R-GARCH（1，2）模型能夠有效識別上證380指數(shù)收益率序列的分布特征，并且能夠精確地測量其收益風險。

高頻金融數(shù)據(jù)；已實現(xiàn)GARCH；VaR；偏t分布；厚尾特征；偏斜性

風險測量是金融市場風險管理的核心和基礎(chǔ)［1］，準確度量和預(yù)測金融資產(chǎn)的收益風險有利于投資者做出正確的投資決策。目前，VaR方法已成為被金融機構(gòu)和監(jiān)管當局認可的最重要的金融風險管理方法之一。國內(nèi)外對VaR的研究都是以低頻金融數(shù)據(jù)為研究對象。隨著計算機存儲技術(shù)的飛速發(fā)展，采集和記錄高頻金融數(shù)據(jù)日趨便捷，因而對高頻金融數(shù)據(jù)的研究日益受到廣泛關(guān)注。金融市場的信息連續(xù)影響證券市場價格的運動過程，收集樣本數(shù)據(jù)的頻率越高，信息丟失就越少。由于比低頻數(shù)據(jù)包含了更多的市場信息，因此基于高頻數(shù)據(jù)的金融風險測量也更為準確。

在VaR的傳統(tǒng)計算中，以GARCH類模型最為流行［2-7］，但是GARCH類模型的研究對象是低頻數(shù)據(jù)。2002年Andersen［8］針對高頻數(shù)據(jù)提出了“已實現(xiàn)”波動率，是通過加總某一頻率下的日內(nèi)分時數(shù)據(jù)的收益平方來得到對真實波動率的一個估計。Hansen［9］于2012年提出了一種將GARCH類結(jié)構(gòu)應(yīng)用到高頻數(shù)據(jù)的模型，稱為“已實現(xiàn)”GARCH模型（R-GARCH）。R-GARCH模型是在傳統(tǒng)的GARCH模型的基礎(chǔ)上加入了波動率的“已實現(xiàn)”測度，并通過一個測量方程將“已實現(xiàn)”波動率與真實的波動率整合起來。在預(yù)測風險時R-GARCH模型一般都假定金融收益率序列服從正態(tài)分布或t分布，但其實際收益率并不嚴格服從正態(tài)分布或t分布，而是具有非對稱性和厚尾特征［10］，所以使用誤差項服從正態(tài)分布和t分布的RGARCH模型度量市場風險時會造成風險的高估或低估。為了處理金融數(shù)據(jù)波動率表現(xiàn)出來的厚尾現(xiàn)象和偏斜現(xiàn)象，R-GARCH模型除了使用一般的正態(tài)分布和t分布之外，還使用偏t分布作為收益率誤差項的分布。與t分布相比，偏t分布在描述收益率序列厚尾現(xiàn)象的同時還考慮了分布存在偏斜的可能性，所以誤差項服從偏t分布的R-GARCH模型能夠更好地反映出收益率的風險特性。本文使用5 min頻率的高頻數(shù)據(jù)，基于偏t誤差分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型對上證380指數(shù)進行風險預(yù)測，并與正態(tài)分布和t分布誤差假設(shè)下RGARCH（1，2）模型的VaR預(yù)測值進行比較，在一定程度上拓展了ToshiakiWatanabe的工作。

1　模型及參數(shù)估計

由圖1、2可以看到，收益率的分布存在厚尾現(xiàn)象和波動聚集的特征。從圖3收益率的樣本ACF可以看出對數(shù)收益率沒有顯著的序列相關(guān)性。圖4是收益率的絕對值的樣本ACF，圖5是收益率平方的樣本ACF，這兩幅圖表明對數(shù)收益率不是序列獨立的。綜合以上情況，說明上證380指數(shù)的對數(shù)收益率序列｛rt｝確實是序列不相關(guān)的，但是是相依序列，說明對該收益率R-GARCH模型是一個合適的模型。又用AIC方法確定R-GARCH（p，q）模型中的p=1，q=2，因此對其波動率進行建模，并且設(shè)定R-GARCH（1，2）模型如下：

其中：rt（t=1，…，n）表示第t天的收益率；xt是第t天收益的“已實現(xiàn)”波動率（realized volatility）；條件方差ht=var（rtFt-1），F(xiàn)t-1=σ（rt，xt，rt-1，xt-1，…）。

圖1　上證380指數(shù)收益率分布

圖2　5 min頻率的已實現(xiàn)波動率

ToshiakiWatanabe估計了rt的條件期望μ≠0時的各參數(shù)值，發(fā)現(xiàn)μ的估計值非常小，即ht很接近于μ=0的情況，因此本文采用rt的條件期望）=0的基準模型。方程（2）是ht的動態(tài)方程，在GARCH模型中ht是ht-1和誤差項zt的函數(shù)，而在R-GARCH模型中ht是ht的過去值和波動率的“已實現(xiàn)”測度xt的函數(shù)。測量方程（3）中的τ1zt+τ2（z2t-1）是杠桿函數(shù)，表明過去一期的收益率不僅在大小上影響波動率，也在方向上影響波動率，正的價格擾動和負的價格擾動對波動率產(chǎn)生不一樣的影響。杠桿函數(shù)的設(shè)定與收益率誤差項分布的設(shè)定相關(guān)。收益率的誤差zt～i.i.d.（0，1），zt的分布也影響著模型參數(shù)估計的精確度。由于上證380指數(shù)的日收益率數(shù)據(jù)存在厚尾現(xiàn)象和偏斜現(xiàn)象，收益率誤差項的分布除了考慮正態(tài)分布和標準t分布之外，還考慮偏t分布。本文使用Bollerslev（1987）的標準t分布，其形式如下：

其中υ為標準t分布的自由度。在標準t分布的基礎(chǔ)上，Hansen進一步提出了偏t分布。本文采用Fernandez and Steel（1998）的偏t分布，其形式為：

R-GARCH模型本質(zhì)上是一個離散時間的隨機波動率（stochastic volatility）模型，但是由于波動率“已實現(xiàn)”測度的存在，R-GARCH模型可以用極大似然估計將所有參數(shù)一次性估計［11-12］。對模型進行參數(shù)估計時，假定收益率rt最初的條件方差h0為無條件方差，通過式（2）迭代計算ht，然后由收益方程（1）得到收益率rt的對數(shù)似然函數(shù)，取最小值得到模型的參數(shù)估計值。

2　實證分析

上證380指數(shù)是上海證券交易所和中證指數(shù)公司于2010年11月29日正式發(fā)布的新興藍籌指數(shù)，它是上海市場藍籌股指數(shù)的主要組成部分。本文采用上證380指數(shù)2013年238個交易日的5 min頻率數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)從銳思數(shù)據(jù)庫下載www.resset.cn），基于3種不同誤差項分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型對我國股票市場風險進行風險預(yù)測，其收益率定義為rt=ln Pt-ln Pt-1。

記｛rt｝為上證380指數(shù)對數(shù)收益率時間序列，｛xt｝為其“已實現(xiàn)”波動的時間序列，分別對基于標準正態(tài)分布、標準t分布和偏t分布的R-GARCH（1，2）模型進行參數(shù)估計，得到3種模型的參數(shù)估計。

由表1的估計結(jié)果可以看出：3種模型的參數(shù)的估計值τ1和τ2符號確實是相反的，表明一般的金融資產(chǎn)會對負的收益率擾動做出更大的反應(yīng)；偏t分布的參數(shù)ξ＞1，表明收益率的分布不是對稱的而是右偏的（如圖4）。根據(jù)表1中t分布的自由度υ和偏t分布的參數(shù)（υ，ξ）的估計值畫出3種分布的密度函數(shù)圖（圖6）。

表1　基于不同分布假定下Realized GARCH（1，2）模型的參數(shù)估計結(jié)果

圖3　上證380日收益率的自相關(guān)函數(shù)

圖4　上證380日收益率的絕對值的自相關(guān)函數(shù)

圖5　上證380日收益率的平方的自相關(guān)函數(shù)

圖6　不同誤差項的分布

得到這些參數(shù)的估計值后將參數(shù)的估計值和最初的條件方差h0帶入式（2）迭代計算h1，…，hn進行多步預(yù)測，根據(jù)分位數(shù)的線性性質(zhì)計算在給定置信水平下的238個VaR值，該值給出了上證380指數(shù)在一定的置信水平下的一個上界。當實際收益率超出VaR預(yù)測值時則視為失敗。表2給出了模型預(yù)測風險的失敗率，可以看出：在99%、90%置信水平下，基于正態(tài)分布和t分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型的分位點估計明顯偏高；在49%置信水平下，這2種模型的分位點估計偏低，都與實際情況相差很大，而偏t分布假設(shè)下的模型的溢出率接近于實際情況；在50%置信水平下，雖然3種模型的分位點估計與實際情況相差不大，但是正態(tài)分布和t分布假設(shè)下模型的預(yù)測效果沒有偏t分布假設(shè)下模型的預(yù)測效果好?？傊?，利用偏t分布假設(shè)下的R-GARCH模型對金融市場進行風險度量得到的VaR值比正態(tài)分布和t分布假設(shè)下R-GARCH模型得到的VaR值更加穩(wěn)健、精確。以上的實證分析表明：正態(tài)分布和t分布假設(shè)下的的R-GARCH模型并不適合金融市場，而偏t分布假設(shè)下的R-GARCH模型是一個合適的模型。

表2　基于不同分布假設(shè)下Realized GARCH（1，2）模型計算的VaR值的經(jīng)驗失敗率

3　結(jié)束語

在風險值的計算中大都假定金融收益序列服從正態(tài)分布，但研究表明金融資產(chǎn)收益率序列的真實分布是厚尾的，而由于受到市場發(fā)展水平和參與者成熟程度以及對利空和利好信息的反應(yīng)差異等諸多因素的影響，收益率序列往往也不是對稱分布，而是呈現(xiàn)出不同程度的左偏和右偏。雖然t分布能夠較好地描述收益率的厚尾特征，但t分布是對稱分布時不能描述收益率分布的偏性。本文用偏t分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型計算VaR值，通過與正態(tài)分布和t分布假設(shè)下的RGARCH（1，2）模型的比較可以看出：偏t分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型對風險價值的測度優(yōu)于正態(tài)分布和t分布假設(shè)下的R-GARCH（1，2）模型，表明基于偏t分布的R-GARCH（1，2）模型更加適合金融市場分析。

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（責任編輯劉舸）

M easurement of Risk Based on Realized GARCH（1，2）M odel w ith Different Residual

WEIZheng-yuan，ZHANG Xin，ZHAO Yu

（College of Mathematics and Statistics，C? hongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

We built the realized GARCH（1，2）modelwith skewed student's t distribution to forecast VaR of Shanghai Stock Exchange380 index for the high-frequency financial data with a fat tail and asymmetry.The model with normal distribution and student's t distribution was used for comparison. The empirical results show that the realized GARCH model with the skewed student's t distribution can identify the characteristics of the return series of Shanghai Stock Exchange 380 index and measure the risk of Shanghai Stock Exchange 380 indexmore accurately.

high-frequency data；realized GARCH；VaR；skewed student's t distribution；fat tail；asymmetry

O21

A

1674-8425（2015）05-0137-05

10.3969/j.issn.1674-8425（z）.2015.05.024

2015-02-10

重慶市自然科學(xué)基金資助項目（cstc2012jjA00018）；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項目（KJ130810）；重慶市高等教育教學(xué)改革研究項目（1203053）

魏正元（1975—），男，博士，副教授，主要從事應(yīng)用概率統(tǒng)計、金融統(tǒng)計、金融數(shù)學(xué)研究。

魏正元，張鑫，趙瑜.上證380高頻指數(shù)數(shù)據(jù)已實現(xiàn)GARCH（1，2）模型的風險測量［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015（5）：137-141.

format：WEIZheng-yuan，ZHANG Xin，ZHAO Yu.Measurement of Risk Based on Realized GARCH（1，2）Model with Different Residual［J］.Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（5）：137 -141.