劉　鋒，張光鋒，康新梅（重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400054）

協(xié)變量缺失下線性模型序列相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)似然比檢驗(yàn)

劉鋒，張光鋒，康新梅
（重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶400054）

研究了協(xié)變量隨機(jī)缺失下的線性模型的序列相關(guān)檢驗(yàn)問題。首先，采用借補(bǔ)的方法對(duì)協(xié)變量缺失的部分進(jìn)行處理，再運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)似然方法對(duì)殘差部分進(jìn)行序列相關(guān)性檢驗(yàn)，構(gòu)造了經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量并得到其漸近性質(zhì)。通過數(shù)值模擬可以看出：該檢驗(yàn)方法具有較理想的檢驗(yàn)功效。

缺失數(shù)據(jù)；線性模型；借補(bǔ)；經(jīng)驗(yàn)似然；序列相關(guān)檢驗(yàn)

缺失數(shù)據(jù)是指在實(shí)際的數(shù)據(jù)收集過程中，由于各種原因?qū)е乱徊糠謹(jǐn)?shù)據(jù)未被觀測(cè)到，從而得到存在缺失值的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)缺失的現(xiàn)象十分普遍，也逐漸引起人們的關(guān)注。在對(duì)缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，如果忽略缺失值，得到的結(jié)果往往會(huì)有偏差，而且通常不是漸近有效的。學(xué)者往往運(yùn)用借補(bǔ)的方法解決這個(gè)問題。很多學(xué)者對(duì)缺失數(shù)據(jù)作了進(jìn)一步的研究，并獲得成果。Liang［1］采用局部線性回歸和加權(quán)的方法對(duì)協(xié)變量缺失下廣義線性模型的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)。此后，楊宜平［2］對(duì)協(xié)變量缺失下的線性模型進(jìn)行了經(jīng)驗(yàn)似然推斷；Xue［3］討論了響應(yīng)變量缺失下廣義線性模型的經(jīng)驗(yàn)似然方法。序列相關(guān)性檢驗(yàn)一直是統(tǒng)計(jì)學(xué)中重要的研究課題。一般來說，對(duì)一個(gè)擬合較好的模型，其殘差是一列獨(dú)立同分布的白噪聲。在此前提下，才可對(duì)模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，否則，推斷將失去有效性。較強(qiáng)的序列相關(guān)性則意味著一些重要的解釋變量未得到應(yīng)用。Liu［4］在對(duì)部分線性模型的序列相關(guān)性進(jìn)行研究時(shí)，首次引入經(jīng)驗(yàn)似然的方法。Robinson［5］采取忽略缺失數(shù)據(jù)的缺失值的方法研究了由靜態(tài)時(shí)間序列回歸到線性模型的序列相關(guān)性。目前，對(duì)于缺失數(shù)據(jù)下各種統(tǒng)計(jì)模型的研究主要集中在對(duì)模型的估計(jì)和置信區(qū)間的構(gòu)造上，而對(duì)數(shù)據(jù)缺失時(shí)的序列相關(guān)性研究還比較少。本文首先運(yùn)用借補(bǔ)的方法對(duì)線性模型協(xié)變量缺失部分進(jìn)行借補(bǔ)，再運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)似然的方法對(duì)模型的殘差部分進(jìn)行序列相關(guān)性檢驗(yàn)，構(gòu)造了殘差序列相關(guān)檢驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量，并證明了對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量趨于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的卡方分布。

1　理論與方法

1.1對(duì)缺失值進(jìn)行借補(bǔ)

考慮如下線性模型：

其中：Y是響應(yīng)變量；β是未知參數(shù)；X是協(xié)變量；ε為隨機(jī)誤差，滿足E（ε|X）=0。

假設(shè)｛（Xi，Yi，δi），i=1，…，n｝是來自模型（1）的一組不完全隨機(jī)樣本，其中｛Xi，i=1，2，…，n｝存在缺失。當(dāng)δi=1時(shí)，Xi有觀測(cè)值；當(dāng)δi=0時(shí)，Xi缺失。假定缺失類型為隨機(jī)缺失（MAR），則P（δi=1|Xi，Yi）=P（δi=1|Yi），說明在給定Xi條件下，δi和Xi條件獨(dú)立。

令θi=δixTiβ+（1-δi）yi，則當(dāng)δi=0時(shí)，θi= yi；當(dāng)δi=1時(shí)，θi=xTiβ。當(dāng)｛Xi，i=1，2，…，n｝隨機(jī)缺失時(shí)，E（θ|Y）=Y，即

且滿足E（ei|yi）=0，δiεi=ei。這里ei和εi具有相同的序列相關(guān)結(jié)構(gòu)，因此檢驗(yàn)εi的序列相關(guān)性等價(jià)于檢驗(yàn)ei的序列相關(guān)性。設(shè)

則對(duì)ei的序列相關(guān)檢驗(yàn)可轉(zhuǎn)化為：

令φi1=eiei+1，φi2=eiei+2，…，φip=eiei+p，i= 1，2，…，n-p，φi=（φi1，φi2，…φip）T，則在零假設(shè)下，E（φi）=0；在備擇假設(shè)下，E（φi）≠0。這樣，檢驗(yàn)ei是否存在序列相關(guān)性就是檢驗(yàn)E（φi）是否為零。

1.2構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量定義φi的分布函數(shù)F，則F的非參數(shù)似然

其中pi=F（φi）是φi處的概率。φi的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)其中δA=I（x∈A）為示性函數(shù)。若使上式達(dá)到最大值，則在 E（φi）=0時(shí)，使得非參數(shù)似然比取到最大值，從而得到經(jīng)驗(yàn)似然比函數(shù)式（3）。

由于R含有模型的參數(shù)β，因此不可直接進(jìn)行序列相關(guān)檢驗(yàn)，需要用β的估計(jì)β^來替換。

根據(jù)文獻(xiàn)［6］可知

采用Largrange乘數(shù)法求出式（4）中關(guān)于pi的最優(yōu)解，得

其中λ為方程（6）的解

將式（5）代入式（4）得：

定理1假設(shè)第4部分的條件1～2都滿足時(shí)，在零假設(shè)條件下，當(dāng)N→∞時(shí)，-2log R^依分布收斂于χ2p，即

2　數(shù)值模擬

本節(jié)通過數(shù)值模擬來研究協(xié)變量缺失情況下的經(jīng)驗(yàn)似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)。

考慮線性模型

數(shù)據(jù)產(chǎn)生如下：X～N（0，1），ε～（0，0.1），為方便起見，取β=2。

根據(jù)以上述模型，現(xiàn)考慮以下3種缺失機(jī)制：

1）當(dāng)p（δi=1）=0.9，p（δi=0）=0.1時(shí)，即缺失概率為10%的缺失狀態(tài)；

2）當(dāng)p（δi=1）=0.8，p（δi=0）=0.2時(shí)，即缺失概率為20%的缺失狀態(tài)；

3）當(dāng)p（δi=1）=0.6，p（δi=0）=0.4時(shí)，即缺失概率為40%的缺失狀態(tài)。

對(duì)于ei分別假定其服從一下平穩(wěn)時(shí)間序列模型：

樣本量分別取n=50，100，200，以驗(yàn)證經(jīng)驗(yàn)似然比檢驗(yàn)的功效。這里取顯著性水平為0.05各做1 000次模擬，結(jié)果如表1～12所示。

表1　缺失概率為0.1時(shí)AR（1）

表2　缺失概率為0.2時(shí)AR（1）

表3　缺失概率為0.4時(shí)AR（1）

表4　缺失概率為0.1時(shí)MA（1）

表5　缺失概率為0.2時(shí)MA（1）

表7　缺失概率為0.1時(shí)AR（2）

表8　缺失概率為0.2時(shí)AR（2）

表9　缺失概率為0.4時(shí)AR（2）

表10　缺失概率為0.1時(shí)MA（2）

表11　缺失概率為0.2時(shí)MA（2）

表12　缺失概率為0.4時(shí)MA（2）

從表1～12中可以看出：在零假設(shè)條件下，經(jīng)驗(yàn)似然比檢驗(yàn)的size隨著缺失率的增大而趨于偏大，但是隨著樣本量的增大，檢驗(yàn)的size越來越接近預(yù)設(shè)的顯著性水平，檢驗(yàn)的power較為理想。

在證明過程中，由于N=n-p，不區(qū)別op（n）和op（N）等，設(shè)C為絕對(duì)常數(shù)，在不同的地方取值不同。為證明定理1，本文先給出以下條件和引理：

上述的假定條件是很合理的，見參考文獻(xiàn)［6］。

引理1在零假設(shè)和條件1～2下，有：β^-β= Op（n-1/2）。

證明類似文獻(xiàn)［6］。

引理2在零假設(shè)及條件1～2下，可得

其中Ip為p階單位矩陣。

證明當(dāng)條件1～2成立時(shí)，有

3　定理的證明

其中：

令ν為任意p維非零向量，可知：在零假設(shè)下，νTφi為p步相依的隨機(jī)變量序列，但對(duì)于i≠j，有

故由m步相依隨機(jī)變量中心極限定理得

其中Ω=ννTσ4，由Cramer-Wold方法就能得到引理2所要的結(jié)果。

引理3在零假設(shè)和條件1～2下，有

證明應(yīng)用類似引理2的證法可證明引理3。

引理4的證明見參考文獻(xiàn)［7］。

由上述引理1～4，再根據(jù)文獻(xiàn)［8］的研究成果可得：當(dāng)

4　結(jié)束語(yǔ)

通過數(shù)值模擬的結(jié)果可以看出本文方法具有較為理想的檢驗(yàn)功效。本文采用經(jīng)驗(yàn)似然的方法檢驗(yàn)協(xié)變量缺失下的線性模型的序列相關(guān)性，而當(dāng)前對(duì)缺失數(shù)據(jù)的研究主要集中在于對(duì)統(tǒng)計(jì)模型的估計(jì)和置信區(qū)間的構(gòu)造上，對(duì)序列相關(guān)性的研究較少，因而本文的研究具有重要的理論價(jià)值。本文的方法為協(xié)變量缺失下部分線性模型及其他模型的序列相關(guān)性檢驗(yàn)提供了重要的參考，而具體的結(jié)合與應(yīng)用方法需要做進(jìn)一步的深入研究。

［1］Liang H.Generalized partially linearmodelswithmissing covariates.ScienceDirect［J］.2008，99：880-895.

［2］楊宜平.協(xié)變量隨機(jī)缺失下線性模型的經(jīng)驗(yàn)似然推斷及其應(yīng)用［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2011，30（4）：655 -663.

［3］Xue D，Xue L，Cheng W.Empirical likelihood for generalized linear models with missing responses［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，2011，141（6）：2007 -2020.

［4］劉鋒，陳敏，鄒捷中.部分線性模型序列相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)似然比檢驗(yàn)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，29（4）：577-586.

［5］Robinson PM.Testing for serial correlation in regression with missing observations［J］.Journal of the Royal Statistical Society.Series B（Methodological），1985，47：429 -437.

［6］Xue L.Empirical likelihood for linearmodelswithmissing responses［J］.Journal of Multivariate Analysis，2009，100（7）：1353-1366.

［7］Owen A B.Empirical likelihood ratio confidence intervals for a single functional［J］.Biometrika，1988，75（2）：237 -249.

［8］Owen A B.Empirical likelihood ratio confidence regions［J］.The Annals of Statistics，1990，18：90-120.

（責(zé)任編輯劉舸）

Em pirical Likelihood Ratio Test for Serial Correlation in Linear M odel w ith M issing Covariates

LIU Feng，ZHANG Guang-feng，KANG Xin-mei
（College of Mathematics and Statistics，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

This paper studied the linearmodel with missing covariates at random.In thismodel，we fired fill themissing part of covariates in using imputation，then we applied the empirical likelihood methods to serial correlation tests for the linearmodel's error，and then we derived the empirical likelihood test ratio statistics and its asymptotic quality.Simulation results show that the testmethod in this paper has good test power.

missing data；linearmodel；imputation；empirical likelihood；serial correlation tests

O212

A

1674-8425（2015）05-0124-06

10.3969/j.issn.1674-8425（z）.2015.05.022

2014-12-12

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11471060）

劉鋒（1973—），男，湖南新化人，博士，副教授，主要從事非參數(shù)統(tǒng)計(jì)研究；張光鋒（1988—），男，河南信陽(yáng)人，碩士研究生，主要從事非參數(shù)統(tǒng)計(jì)研究。

劉鋒，張光鋒，康新梅.協(xié)變量缺失下線性模型序列相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)似然比檢驗(yàn)［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015（5）：124-129.

format：LIU Feng，ZHANG Guang-feng，KANG Xin-mei.Empirical Likelihood Ratio Test for Serial Correlation in Linear Modelwith Missing Covariates［J］.Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（5）：124-129.